2011隨機(jī)過程備考

2011年《隨機(jī)信號分析》復(fù)習(xí)備考題第一章概率論簡介1.教材第9頁，例1.3.教材第14頁，例1.6.教材第16頁，例1.7教材第17頁，1.3,教材第18頁，1.5，1.10,1.11第二章隨機(jī)信號概論教材第35頁，習(xí)題2.1參考答案：X(t)的一個樣本函數(shù)的草圖時間連續(xù)，狀態(tài)離散，離散型隨機(jī)過程。一維概率密度函數(shù)：p(x,t)=25(x-A)+28(x+A), (n-1)T<t<nT二維概率密度函數(shù)：P(x,x;t,t)X1212-8(x-A)8(x-A)+_8(x+A)8(x+A), (n-1)T<t,t<nT,2 1 2 2 1 2 12=<t2<(n-1)T或七>nT1[8(x-A)+8(x+A)]5(x-A)+8(x+A)] t2<(n-1)T或七>nT、4 1 1 2 2 1n=0,±1,+2,教材第36頁，習(xí)題2.5參考答案：E[X(t)]=Zx(t)P[x(t)]=1x1+1x2+3x6+1x3=3.6251 18 4 8 4E[X(t)]=Zx(t)P[x(t)]=1x5+1x4+3x2+1x1=2.6252 2 8 4 8 4TOC\o"1-5"\h\zE[x(t)X(t)]=ZXXP(X,X)1 2 12 12113 1=_x(lx5)+-x(2x4)+-x(2x6)+-x(3xl)=7.875p(x,x;t,t)=-8(x-1)8(x-5)+-8(x-2)8(x-4)X1212 8 1 2 4 1 23、 1+-5(x-6)5(x-2)+-8(x-3)8(x-1)

8 1 2 4 1 2教材第36頁，習(xí)題2.10參考答案：①的概率密度為—,0<cp<2k〃(cp)=〈271[0,其它均值：m。)=e[x("]=e[qcos(cd1+①)]=j2兀gcos(cor+<!>)?】』①=0TOC\o"1-5"\h\zx o o 02k方差：O2°)=d[x(r)]=E^X(?)-m(1))2】=eCpcos2(cdt+①)]X X 0=—+——ELcos2((0t+①)」=—2 2 o 2自相關(guān)函數(shù)：R(t)=E[x(t)X(t)]=E[acos(co?+O)??cos(cot+①)]X12 1 2 01 02=—e[cos(cot-cot)+COS(CDt+C0t+20)]2 o1 02 01 02=—cosco(t—t)2 01 2教材第36頁，習(xí)題2.11(教材附有答案)教材第33頁,例2.3第三章平穩(wěn)隨機(jī)過程教材第72頁，習(xí)題3.5參考答案：而=lim± =Hm±Pa*(們t+①w=limAcosOsin(%r)=oTOC\o"1-5"\h\z2T_t 2T_To coTTToo TToo TToo qA2TA2COS(CD￡+①)COS(C0f+CDT+①)力=——COS(CDT)IT_T 0 0 0 2 0由于A和①為統(tǒng)計獨立的隨機(jī)變量，于是有EE[X(t)]=E[a]-E[cos(①ot+①)]=E[A]?j2兀cos(①ot+①)2^d①=0Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]=E[A21E[cos(①t+①)cos(①t+WT+①)]=2E[a21E〔cos(①t)+cos(2①t+①t+2①)]；E[a2]cos(wt)由圖3.5可看出，不同樣本函數(shù)的A由圖3.5x(t)x(t+T)也不同，x(t)x(t+T)=RX(t,t+T)不能以概率1成立，因此該隨機(jī)過程不具有各態(tài)歷經(jīng)性。教材第73頁，習(xí)題3.8(參考答案如下)，習(xí)題3.12(教材附有答案)參考答案：X(t)和Y(t)是平穩(wěn)過程，所以有E[X(t)]=m，E[Y(t)]=mR(t,t)=R(t)R(t,t)=R(t)t=t—tX12X，Y12Y， 2 1E[X2(t)]<3，E[Y2(t)]<3因為X(t)和Y(t)統(tǒng)計獨立，于是有E[Z(t)]=E[X(t)]?E[Y(t)]=mmR(t,t)=E[X(t)X(t)]?E[Y(t)Y(t)]=R(t)R(t)=R(t)Z12 1 2 1 2XY ZEZ2(t)]=EX2(t)EY2(t)]<3故Z(t)=X(t)Y(t)教材第74頁，習(xí)題3.15(教材附有答案)教材第67頁，例3.8教材第69頁，例3.9第72頁，3.5,3.6,3.10,3.12，3.15,3.16第四章隨機(jī)信號的功率譜密度教材第109頁，習(xí)題4.1參考答案：顯然該有理函數(shù)為非負(fù)的實偶函數(shù)，且滿足功率譜密度性質(zhì)5,是功率譜密度的正確表達(dá)式。該函數(shù)不是偶函數(shù)，不是功率譜密度的正確表達(dá)式。

C)當(dāng)0<co|<l時，該函數(shù)小于0,不滿足非負(fù)性，不是功率譜密度的正確表達(dá)式。d)該函數(shù)不是實函數(shù)，不是功率譜密度的正確表達(dá)式。教材第110頁，習(xí)題4.11參考答案：對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)是功率譜密度的傅立葉反變換，于是有n/、 1L八，、 , 1確, 11/ 、sincoTTOC\o"1-5"\h\zR(t)=——JG(co)ejtoT^co=——J"加:次d=——.——(g叫T—= o-X2兀_8X 2n 2k7T 71TA "教材第110頁，習(xí)題4.15(教材附有答案)教材第89頁，例4.6教材第110頁，習(xí)題4.15(教材附有答案)教材第89頁，例4.6第109頁，4.4,4.5,4.7,4.12.4.17.教材第111頁，習(xí)題4.23參考答案：X。)可改寫成以下形式：。 、CtOXQ)=—+*[acos(〃①r+①)+bcos(〃①r+①)]2 n 0 1〃 0 2n=l71其中①二〃cor,中=71CDt-—o1 00 2 00 2由于，在一個周期內(nèi)均勻分布，所以①和中扣除2兀周期歸入(0,2k)之后仍0 1 2然為均勻分布。利用教材第103頁例4.8中式(4.8.2)的結(jié)論可得X。)的功率譜密度為(a)—9-G(co)=27i?X28(co)+"7X ]i i(228(G3-72(0)+—128(0+"CD)+— (co—〃CD)+—人2&(CD+ )n 0 2n 。2〃 o2n 0n=l=—<225((0)+—S^(22+Z?2)[S(G3-neo)+8(CD+nd))]}20 2nn 0 0n=lX(t)是高斯白噪聲(方差a2),對X(t)采樣后得到白序列X(n)(0<n<N-1)，對X(n)進(jìn)行FFT得到離散頻譜N-1 .2^/ ,.、G(k)=tX(n)e-JNnk, 0<k<N-1 (1)n=0如將Gx(k)也看作隨機(jī)序列，則Gx(k)也是白序列參考答案：X(n)是方差為a2的白序列，則有E[X(n)]=0 (2)Rxx(n「n2)=E[X(ni)X*(n2)]=a28(n-n)Ja2, n=n[0,non綜合(1)、(2)和(3)式可得E[G(k)]=切JE[X(n)]-e~Cnk[=^0-e*=0X」TOC\o"1-5"\h\zn=0I )n=°L 」R(k,k)=E[G(k)G*(k)] 0<k,k<N-1GG1 2 X1X2 1 2=E['如X(n)e~J:吧.切X*(n)eJ:nk2Ln=0 n=0 」=祝云JE[X(n)X*(n)]eJ專(n如叫>〔 1 2n1=0n2=0=祝云a28(n-n)eJ:(七*.￥1 2"1=°%=0L 」=a2祝eJTn(k2-3(3)(4)(3)(4)(5)_JNa2,k=k[0,kok=Na28(k-k)12根據(jù)白序列的定義，并由(4)和(5)式可知，Gx(k)作為一個隨機(jī)序列也是白序列。這說明白序列經(jīng)過FFT后在頻域中仍然是白化的，頻譜中每個譜點都是方差相同且相互獨立的零均值高斯隨機(jī)變量。第五章隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)教材第123頁，例5.3。教材第152頁，習(xí)題5.7,5.8,5.9(教材附有答案)。教材第154頁，習(xí)題5.23,5.26,5.27。教材第155頁，習(xí)題5.28。第六章窄帶隨機(jī)過程第163頁，性質(zhì)6的證明。教材第174頁，習(xí)題6.2,習(xí)題6.6。教材第175頁，習(xí)題6.10(教材附有答案)。平穩(wěn)噪聲X0)可表示為X(t)=a(t)cos%t-b(t)sin%t，其功率譜密度函數(shù)如下圖所示，當(dāng)氣=2(氣+%)時，畫出a(t)和b(t)各自功率譜密度函數(shù)SS)和SbS)的頻譜圖；(2(2)畫出互譜功率密度函數(shù)S偵)的頻譜圖。ab第八章馬爾可夫過程教材第230頁，習(xí)題8.4。教材第232頁，習(xí)題8.8。把兩個黑球和兩個白球放在兩個壇子中，每次從每個壇子中隨機(jī)地取出一個球，然后把被取出的球交換放到壇子中，設(shè)X(0)表示開始時第一個壇子中的白球數(shù)，對于n>1，X(n)表示經(jīng)過n次交換后在第一壇子中的白球數(shù)。、說明X(n)構(gòu)成一個齊次馬爾可夫，并寫出狀態(tài)空間。、寫出一步、二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。例：天氣預(yù)報。假設(shè)明日是否有雨只與今日的天氣狀況有關(guān)，而與以前的天氣狀況無關(guān)。在今日有雨的條件下，明日有雨的概率為0.6，明日無雨的概率為0.4；在今日無雨的條件下，明日有雨的概率為0.3，明日無雨的概率為0.7；用1表示有雨，用2表示無雨。求1一4步的轉(zhuǎn)移概率矩陣。求今日有雨，第2日(后日)有雨的概率。求今日有雨，第3日無雨的概率。求今日無雨，求第4日有雨的概率。解：幻=尸明日有雨|今日有雨}=pk^=吒=1}=0.6P=P12Pn+1=2|xn=1}=0.4馬廣尸明日有雨今日無雨｝=pX+i=ix=2L0.3P2=P明日無雨今日無雨｝=PX+1=2|x=2）=0.70.60.4P=0.30.7P(2)