《等差數(shù)列的概念及其通項公式》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

第一章數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念．2.掌握等差數(shù)列的通項公式，會利用通項公式求特定的項．3..掌握等差中項的概念．4.通過等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．5.借助于等差數(shù)列的通項公式提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)教學(xué)重難點教學(xué)重難點教學(xué)重點：等差數(shù)列概念的理解、通項公式的應(yīng)用．教學(xué)難點：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及等差數(shù)列的判定．教學(xué)過程教學(xué)過程新課導(dǎo)入情境：北京天壇圜丘壇為雕砌的三層露天圓臺，第一層臺面中央嵌一塊圓形石板，叫“天心石”，四周圍繞有九重石塊，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為：9,18,27,36,45,54,63,72,81，觀察這個數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？思考：觀察下面的數(shù)列，它們有什么共同特征？（1）S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上對應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48；測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位）依次為25，24，23，22，21；某電影院一個放影廳共有6排座位，各排座位數(shù)為：30，32，34，36，38，40，答：數(shù)列（1）的函數(shù)圖像上升,數(shù)列（2）的函數(shù)圖像下降,數(shù)列（3）的函數(shù)圖像值不變化.二、新知探究定義概念對于一個數(shù)列，如果從第2項起，每一項與前一項的差都是同一個常數(shù)，那么我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)問題1：數(shù)列{an}的各項為：n,2n,3n,4n，…，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？答：不是，2n?n=n,3n?2n=n,4n?3n=n,數(shù)列每一項與其前一項的差都是n，不是常數(shù)，所以不是等差數(shù)列．問題2：若一個數(shù)列從第二項起每一項與它前一項的差都是常數(shù)，這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？答：不一定，當(dāng)一個數(shù)列從第二項起每一項與它前一項的差都是同一個常數(shù)時，這個數(shù)列才是等差數(shù)列．如數(shù)列：1,2,3,5,7,9，就不是等差數(shù)列．問題3：當(dāng)公差d=0時，{a_n}是什么數(shù)列？答：顯然a1=a2設(shè)計意圖：從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出等差數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。思考：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？答：設(shè)一個等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得a所以a2?a1=d,a3?a2=于是a2=a1

a3=a2+d=(a1+d)+

a4=a3+d=(a1+2d歸納可得an=a1當(dāng)n=1時，上式為an因此，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項公式為an=a思考：還有其它推導(dǎo)方法嗎？如何操作？答：還可以用累加法，過程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，將上述(n－1)個式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，當(dāng)n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．定義概念從函數(shù)角度來看等差數(shù)列：若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d則an所以，當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項系數(shù)就是等差數(shù)列的公差.點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.若d>0，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，若d<0，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，若d=0，數(shù)列{an}為常數(shù)列.三、應(yīng)用舉例例1判斷下列無窮數(shù)列的增減性.(1)an=3?n解:(1)設(shè)an那么an所以數(shù)列an是等差數(shù)列(2)an那么an所以數(shù)列an不是等差數(shù)列歸納總結(jié)：判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法------定義法：根據(jù)等差數(shù)列的定義，對于數(shù)列an，若an+1?an例2.（1）已知等差數(shù)列an的通項公式為an=（2）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項。解：（1）當(dāng)n≥2時，由可得an?1=5?2于是d=an?an?1=(5?2n)-(把代入通項公式an=（2）由已知條件，得d=把a(bǔ)1=8,d=?3代入anan=8?3(n?1把n=20代入上式，得a20=11?所以，這個數(shù)列的第20項是?49

例3已知在等差數(shù)列{an}解設(shè){an}的通項公式是an由已知得：a解這個方程組得a故數(shù)列{an}的通項公式為an=歸納總結(jié)：(1)已知an，a1，n，d中的任意三個量，可以求出第四個量．(2)由等差數(shù)列的通項公式可以求出該數(shù)列中的任意項，也可以判斷某一個數(shù)是不是該數(shù)列中的項．(3)根據(jù)等差數(shù)列的兩個已知條件建立關(guān)于“基本量”a1和d的方程組，求出a1和d，從而確定通項公式，求出待求項．設(shè)計意圖：通過3個例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列及其通項公式的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).課堂練習(xí)1.等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝()A．8B．12C．16D．24 D ．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)2．判斷397是不是等差數(shù)列5，9，13，…的項，如果是，是第幾項？參考答案：1.C設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故選C.2.由a1＝5，d＝9－5＝4，得這個數(shù)列的通項公式為an＝5＋(n－1)×4＝4n+1.由題意，令397＝4n+1，得n＝99，即397是這