大學(xué)物理-量子2

§3波函數(shù)的概率解釋

P1926年波恩提出了概率波的概念。光的二向性條紋的明暗強(qiáng)度分布曲線~光子數(shù)的堆積曲線中央明紋強(qiáng)度大~光子數(shù)多各級次極大強(qiáng)度較弱~光子數(shù)較少暗紋處強(qiáng)度為零~沒有光子到達(dá)~光波的強(qiáng)度大小~到達(dá)屏幕上光子數(shù)的多少~概率大~概率小~概率為0物理意義？~粒子的運(yùn)動(dòng)、行為條紋的強(qiáng)弱光子到達(dá)的概率1電子束電子的單縫衍射電子數(shù)1.電子束強(qiáng)度極弱，電子一個(gè)一個(gè)通過狹縫每個(gè)電子——2.隨著電子總數(shù)的增多，電子堆積情況逐漸顯示出條紋單個(gè)電子的去向?yàn)楦怕市缘模湓诿恳稽c(diǎn)的概率都是確定的........3.電子束的強(qiáng)度很大，許多電子同時(shí)入射屏幕上很快就出現(xiàn)衍射圖象1）落點(diǎn)不確定，去向?yàn)楦怕适录辽系碾娮訑?shù)分布與光的衍射光強(qiáng)分布一樣?????????????????2）圖象由散亂的點(diǎn)構(gòu)成確定的概率分布確定的宏觀后果2電子束電子的單縫衍射電子數(shù)設(shè)電子波Ψ

電子波強(qiáng)度|Ψ|2則電子出現(xiàn)在x處dx范圍內(nèi)的電子數(shù)dN將比例系數(shù)歸到推廣到空間：設(shè)空間處的波函數(shù)為，則電子出現(xiàn)在附近dV空間范圍內(nèi)的電子數(shù)?????????????????微觀粒子的波性不能完全等同于經(jīng)典的波而是一種概率波按照以上的討論可知3|Ψ|2的物理意義：1、對N個(gè)電子而言出現(xiàn)在x點(diǎn)附近單位區(qū)間內(nèi)的電子數(shù)dN占總電子數(shù)N的比。

2、對單個(gè)電子而言，出現(xiàn)在x點(diǎn)附近單位區(qū)間內(nèi)的概率——概率密度——概率幅粒子出現(xiàn)在x1-x1+dx范圍內(nèi)的概率為出現(xiàn)在x1-x1+dx范圍內(nèi)的粒子數(shù)為這很象氣體分子的速率分布！微觀粒子遵循的規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律4例.圖示為某一維不含時(shí)的波函數(shù)及由它給出的概率分布粒子出現(xiàn)在xo點(diǎn)附近的可能性最大出現(xiàn)在x>>x1的可能性幾乎為零所以與經(jīng)典力學(xué)不同：經(jīng)典力學(xué)

“一定的狀態(tài)”~量子力學(xué)

“一定的狀態(tài)”~一定的概率分布——Ψ|Ψ|2Ψ,|Ψ|2雖然沒有直接給出微觀粒子的p,E,Ek通過在量子力學(xué)中軌道的概念失去意義如何來的？5下列各式的物理意義[]粒子出現(xiàn)在x附近單位間隔內(nèi)的概率[]粒子出現(xiàn)在x——x+dx間隔內(nèi)的概率[]出現(xiàn)在x——x+dx間隔內(nèi)的粒子數(shù)[]出現(xiàn)在x1——x2間隔內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比率[]粒子出現(xiàn)在x1——x2間隔內(nèi)的概率[]出現(xiàn)在x1——x2間隔內(nèi)的粒子數(shù)[4][2][3][1][5]6波函數(shù)的性質(zhì)：1、歸一性2、有限性|Ψ

|2~概率，所以不能無限大。否則物理上無意義。3、連續(xù)可微（主要是為了處理問題更方便）§4、不確定關(guān)系？經(jīng)典粒子微觀粒子宏觀現(xiàn)象局限性描述微觀粒子不可能分布在一個(gè)確定的點(diǎn)程度借助7§4不確定關(guān)系對于微觀粒子我們?nèi)钥梢跃_知道它“從什么位置、以什么大小和方向的動(dòng)量”通過小窗口的嗎？8電子束電子德布洛意波長x方向坐標(biāo)x方向動(dòng)量的不確定范圍電子通過孔時(shí)從縫出射后的動(dòng)量和入射前一樣嗎？出射電子x方向動(dòng)量的變化量是不確定的而有一個(gè)不確定的范圍——?jiǎng)恿康牟淮_定量（范圍）概率θ1不是電子的最大偏轉(zhuǎn)角電子從單縫出射時(shí)，坐標(biāo)和動(dòng)量的測量值均有一個(gè)不確定的范圍的不確定范圍9雖然電子的坐標(biāo)準(zhǔn)確知道，但同時(shí)的結(jié)果是電子出射以后的動(dòng)量將朝哪個(gè)方向偏轉(zhuǎn)完全不可預(yù)測反之雖然電子的出射后的動(dòng)量準(zhǔn)確知道，但同時(shí)的結(jié)果是將完全不可預(yù)知電子是從寬孔的什么位置通過10量子力學(xué)證明這兩個(gè)不確定量Δx、Δp之間有一定關(guān)系或——粒子坐標(biāo)的不確定范圍——粒子動(dòng)量的不確定范圍微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)x和動(dòng)量p與經(jīng)典粒子不同11對不確定關(guān)系的要求：1、了解Δx、Δp產(chǎn)生的原因是微觀粒子的波粒二向性而不是實(shí)驗(yàn)裝置的精確度問題。2、利用該關(guān)系式對一些問題進(jìn)行估算。方法：(1)不確定關(guān)系式(2)借用一些經(jīng)典式。如例.原子的線度為10-10米。求原子中電子速度的不確定量。Δr=10-10m由不確定關(guān)系有12例、設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)圖線分別如下所示，那么其中確定粒子動(dòng)量的精確度最高的波函數(shù)是哪個(gè)圖？(B)(C)（A）（D）13例.估算質(zhì)量為m的一維諧振子的最小能量（微觀振子）作為估算可認(rèn)為Δp~p具有相同數(shù)量級

Δx~x具有相同數(shù)量級不確定關(guān)系可寫成為求令代入14例：用電子顯微鏡來分辨大小為1nm的物體。估算所需要的電子動(dòng)能的最小值（以eV為單位）電子位置的不確定量為取則電子的動(dòng)能電子束15例.氦氖激光器所發(fā)出的紅光波長為λ=632.8nm,譜線寬度Δλ=10-9nm。求該光子沿運(yùn)動(dòng)方向的位置不確定量（即波列長度）

光子動(dòng)量光子動(dòng)量的不確定度由不確定關(guān)系得到光子位置的不確定量為由于波長有一個(gè)變化范圍導(dǎo)致動(dòng)量的不確定范圍16§5薛定諤方程已知：一維運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)由于與t無關(guān)。這時(shí)代表一種不隨時(shí)間變化的、穩(wěn)定的幾率分布定態(tài)推廣：當(dāng)波函數(shù)可以寫成如下形式則為定態(tài)波函數(shù)（能量有確定值的狀態(tài)）17波振幅

定態(tài)波函數(shù)波函數(shù)

設(shè)粒子的定態(tài)波函數(shù)為ψ(x)，則定態(tài)薛定諤方程為粒子質(zhì)量粒子在外場中的勢能粒子總能量微分方程P260(15-5-10)式

18自由粒子V（x）=0能量本征方程量子力學(xué)告訴我們薛定諤方程的一般形式——一般含時(shí)波函數(shù)所滿足一維情況若其他的解可以寫成這些特解的線性組合19經(jīng)典力學(xué)的任務(wù)——在各種初始條件下求解量子力學(xué)的任務(wù)——在各種邊界條件下求解薛定諤方程20第6節(jié)一維無限深勢阱??Ve——由其余正離子的庫侖引力造成粒子描述——粒子以恒定大小的動(dòng)量來回往返運(yùn)動(dòng)德布洛義波的描述——1、由p大小恒定預(yù)期—波具有恒定的波長（正弦波）2、必須滿足一定的邊界條件。往返傳播的波形成駐波。由于在反射點(diǎn)為剛性壁所以x=0與x=a處應(yīng)為波節(jié)—λ不可任意以上是我們預(yù)期的結(jié)果。到底有何結(jié)果？須由薛定諤方程求解自由運(yùn)動(dòng)端點(diǎn)反彈端點(diǎn)反彈21由定態(tài)薛定諤方程：或記——典型的諧振方程由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件——連續(xù)性有與兩端為波節(jié)的駐波的邊界條件一樣！設(shè)解為22量子數(shù)通過求解薛定諤方程加上邊界條件，很自然得出了粒子的能量。且為量子化的！對每一個(gè)量子數(shù)n，給出粒子的一個(gè)定態(tài)由歸一化條件：23阱外[2]對于分立的能級仍可用能級圖表示與玻爾頻率規(guī)則一樣當(dāng)粒子從高能級躍遷到低能級也會(huì)發(fā)光反之從低能級躍遷到高能級要吸收外來光子的能量或其它粒子交出的能量[1]阱中粒子波動(dòng)性呈現(xiàn)出的是穩(wěn)定的駐波討論：24物理意義：量子數(shù)為n的Ψn(x)態(tài)下粒子出現(xiàn)在x附近單位區(qū)間內(nèi)的概率每個(gè)定態(tài)：粒子出現(xiàn)在阱中各點(diǎn)的概率是不均勻的?匣中運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典粒子出現(xiàn)在各點(diǎn)的概率一致[3]

概率??????25如果我們說“勢阱中粒子處在n=1的態(tài)”則該態(tài)由描述此態(tài)下粒子的未用到經(jīng)典式子（4）動(dòng)量的平均值(3)坐標(biāo)不定—但出現(xiàn)在a/2附近的幾率最大??????這并不意味著總可以用經(jīng)典動(dòng)能式子求微觀粒子的能量——巧合反過來這個(gè)巧合又為我們求一維無限深勢阱中粒子的能量提供了方便[4]通過波函數(shù)知道粒子的什么“信息”26對應(yīng)原理：在量子數(shù)足夠大時(shí)，量子物理的結(jié)果與經(jīng)典物理的結(jié)果趨于一致丹麥物理學(xué)家玻爾越來越均勻、密集......................[5]量子數(shù)極大時(shí)量子化程度消失27阱外[1]畫出n=4的波函數(shù)及概率密度[2]該粒子的能量[3]