(1.5)第五節(jié)極限運算法則(少學時簡約型)

中國藥科大學數學教研室楊訪第五節(jié)極限運算法則本節(jié)概要由于初等函數由基本初等函數經四則運算和復合運算構成，而微積分以極限為工具研究初等函數，故在微積分中主要討論極限的四則運算和復合運算。由極限與無窮小的關系，極限運算的討論可歸結為無窮小運算的討論。

極限理論可分為兩個部分，一是極限概念，二是極限計算。在理解極限概念的基礎上，可進一步討論極限的計算問題。利用極限與無窮小的關系，由無窮小的代數運算性質可方便地導出極限的四則運算法則。利用極限的四則運算法則可將初等函數的極限計算問題轉化為基本初等函數的極限計算。從而只需求出基本初等函數的極限就可計算出相當一部分初等函數的極限。1.極限的四則運算法則如果

limf(

x

)=A，limg(

x

)=B

，則lim

[

f(

x

)±

g(

x

)]

存在，且有l(wèi)im

[

f(

x

)±

g(

x

)]=A±B=

limf(

x

)±limg(

x

).定理

1和的極限運算法則(1)

函數和的極限因為limf(

x

)=A，lim

g(

x

)=B，由極限與無窮小的關系有f(

x

)=A

+

(

x

)，g(

x

)=

B

+

(

x

)，其中l(wèi)im

(

x

)=

0，lim

(

x

)=

0.

于是對不受極限號約束的函數形式有f(

x

)±

g(

x

)=[

A

+

(

x

)]±[

B+

(

x

)]=(

A

±

B)+[

(

x

)±

(

x

)].

由無窮小的代數運算性質知(

x

)±(

x

)也是無窮小。再由極限與無窮小的關系有l(wèi)im

[

f(

x

)±

g(

x

)]

=A±

B=

limf(

x

)±lim

g(

x

).證利用極限與無窮小的關系證明(2)

關于定理

1

意義的分析和討論

對定理

1

條件的理解

定理

1

的條件為，在自變量同一變化過程中，兩個單項極限均存在，即limf(

x

)=A，limg(

x

)=B.只有在兩個單項極限都存在的條件下，兩極限的和limf(

x

)±limg(

x

)才有意義。此時才能考慮極限和是否等于和的極限的問題。反之，若兩個單項極限有一個不存在，則極限和

limf(

x

)±

limg(

x

)沒有意義，自然也沒有確定結果，但此時兩函數和的極限

lim

[

f(

x

)±

g(

x

)]

卻可以有意義，也可能存在。

定理結論可分為定性和定量的兩個部分。定性結論是：和的極限

lim

[

f(

x

)±

g(

x

)]存在。此結論通常用于判別和函數極限的存在性。定量結論是：和的極限等于極限的和，即

lim[

f(

x

)±

g(

x

)]

=

limf(

x

)±limg(

x

).此結論通常用于和函數極限的計算。

對定理

1

結論的理解由歸納法原理，定理

1

可推廣至有限多個函數的和的情形，即如果

limfi(

x

)=A

i

，(

i=1,2,…,n

)，則

存在，且有

需注意的是，定理

1

的結論不能推廣至無窮多個函數和的情形，即無窮多個函數的和的極限未必等于各函數極限的和。

定理

1

的推廣例：求極限

這是

n

-

1

項的和的求極限問題，當

n

→

時，就成了無窮多項和的極限問題。

對此和式中的任一項容易求得有那么是否有分析本例極限的幾何意義圖示三角形面積可近似地表為各小矩形面積之和為應用和的極限運算法則進行計算，可考慮將給定的無窮和轉化為有限和。因為解化為有限和進行計算(3)

函數乘積的極限定理

2乘積的極限運算法則

如果limf(

x

)=A，limg(

x

)=B，則lim[

f(

x

)

g(

x

)]

存在，且有l(wèi)im

[

f(

x

)

g(

x

)]=A·B=

limf(

x

)limg(

x

).

按條件，由極限與無窮小的關系有

f(

x

)=A

+

(

x

)，g(

x

)=

B

+

(

x

)，其中l(wèi)im

(

x

)=

0，lim

(

x

)=

0

.對不受極限號約束的函數形式有f(

x

)

g(

x

)=

[

A

+

(

x

)][

B+

(

x

)]=AB+

[

A(

x

)+

B

(

x

)+

(

x

)

(

x

)]

.

由無窮小的運算性質知

(

x

)=A(

x

)+

B

(

x

)+

(

x

)

(

x

)為無窮小，故有f(

x

)

g(

x

)=AB+

(

x

)，lim

(

x

)=

0.

即lim[

f(

x

)

g(

x

)]

=AB=limf(

x

)limg(

x

).證利用極限與無窮小的關系進行證明由歸納法原理，定理

2

可推廣至有限多個函數的乘積的情形，即如果

limfi(

x

)=A

i

，(

i=1,2,…,n

)，則

存在，且有

需注意的是，定理

2

不能推廣至無窮多個函數的乘積情形，即無窮多個函數的乘積的極限未必等于各函數極限的乘積。

定理

2

的推廣推論

1冪的極限運算性質如果

limf(

x

)存在，而

n

為正整數，則lim[

f

(

x

)]n

=[

lim

f(

x

)]n

.如果

limf

(

x

)存在，而

C

為常數，則

lim

C

f(

x

)=

C

limf(

x

).常數可從極限號中提出推論

2推論1f(

x

)＝g(

x

)推論2g(

x

)＝C

結果說明對初等函數的討論，所遇到的冪函數指數常常不一定是正整數，因此推論

1

的應用會出現一些問題。由復合函數的極限運算性質還可得到如下更具一般性的結果：若

limf(

x

)=A>0

，則對一切實數

有l(wèi)im[

f

(

x

)]

=[

lim

f

(

x

)]

.推論1的更一般性的結果(5)

函數商的極限定理

3商的極限運算法則

如果

limf(

x

)=A，limg(

x

)=B，且

B

0，則

由極限與無窮小的關系，為證明此商的極限運算法則，可設法證明在自變量的一定趨向下為無窮小。

為證

(

x

)為無窮小，首先需使(

x

)有意義，即使

g(

x

)在自變量的相應趨向下沒有零點。分析證利用極限與無窮小的關系證明證明

x→

x

0時的情形。因為

由局部保號性定理可推出，存在

1>0

，使得當0

<x-

x

0<

1時從而當0

<

x-

x

0<

1時，總有意義。因為

f(

x

)=A+

(

x

)，g(

x

)=B+

(

x

)，其中

由無窮小的性質知，當x→

x

0時，B(

x

)+A(

x

)為無窮小，故要證(

x

)為無窮小，只需證在點x

0的某鄰域內有界。因為當x→

x

0時，(

x

)為無窮小，由極限定義知

對，存在滿足條件

1

>

2

>0

的

2，使得當0

<

x-

x

0<

2時有于是有即當0

<

x-

x

0<

2時有界。

從而當x→

x

0時為無窮小。

由極限與無窮小的關系知證利用極限與無窮小的關系證明證明

x→

時的情形。因為

由局部保號性定理可推出，存在

X

1>0

，使得當

x

>

X

1時從而當

x

>

X

1時，

總有意義。因為

f(

x

)=A+

(

x

)，g(

x

)=B+

(

x

)，其中

由無窮小的性質知，當x→

時，B(

x

)+A(

x

)為無窮小，故要證(

x

)為無窮小，只需證在當x

的充分大時有界。因為當x→

時，(

x

)為無窮小，由極限定義知

對，存在滿足條件

X

2

>

X

1

>0

的

X

2，使得當

x

>

X

2時有于是有即當

x

>

X

2時有界。從而當x→

時為無窮小。

由極限與無窮小的關系知定理

4局部比較定理如果

(

x

)

(

x

)，而

lim

(

x

)=a

,

lim(

x

)=

b

,那么

ab.

如果將定理

1

3

理解成在等式兩邊實施極限運算的條件和規(guī)則的話，定理

4

則可理解成在不等式兩邊實施極限運算的條件和規(guī)則，即如果(

x

)

(

x

)，而

lim

(

x

)

,

lim(

x

)存在，則可在不等式

(

x

)

(

x

)兩邊取極限，且有

lim(

x

)

lim

(

x

)

.分析證利用局部保號性定理進行證明

作輔助函數f(

x

)=

(

x

)-

(

x

).由和的極限運算法則有

lim

f(

x

)=

lim

[(

x

)-

(

x

)]

=

lim

(

x

)-

lim

(

x

)=

a-

b

.由條件知

f(

x

)=

(

x

)-

(

x

)0，故由局部保號性定理推論有l(wèi)im

f(

x

)0，即有a-

b

0，因此ab

.條件

(

x

)

(

x

)僅是局部性的要求，并非要求在函數

(

x

)、

(

x

)的定義域內恒成立，方可在其兩邊取極限。對

x

→

x

0的情形，不等式

(

x

)

(

x

)僅要求在點x

0的某空心鄰域內成立即可。對

x

→

的情形，不等式

(

x

)

(

x

)僅要求對某個正數

X，當

x

>

X

時成立即可。

定理說明

對定理

4條件的理解對定理條件和結論的理解定理

4

可理解為在不等式兩邊取極限的運算條件和規(guī)則，需注意的是，若將條件改成

(

x

)>

(

x

)，定理結果仍為

ab，即如果

(

x

)>

(

x

)，而

lim

(

x

)=a

,

lim(

x

)=

b

,那么

ab.不能將此定理想當然地推廣為如果

(

x

)>

(

x

)，而

lim

(

x

)=a

,

lim(

x

)=

b

,那么

a>b.

對定理

4結論的理解例：設(

x

)=x

4+

x

2+1，(

x

)=

x

2+1，

由極限運算法則容易求得

結果分析：

由給定函數表達式易見，當

x

0

時有x

4+

x

2+1

=

(

x

)>

(

x

)=

x

2+1，因此由(

x

)>

(

x

)只能導出lim(

x

)lim

(

x

).解應用極限運算法則進行計算用極限四則運算法則討論和計算函數極限，首先需注意的是，這些法則都是在一定條件下成立的，應用時應注意考察相應條件是否滿足。只有當運算法則條件滿足時，才能應用這些法則進行計算。然而，對于某些極限，盡管其不滿足運算法則的條件，極限卻仍可能存在。因此，從計算角度可將極限可分為兩類，一類稱之為“定式”，一類稱之為“不定式”。2.極限四則運算法則的應用所謂“定式”就是滿足極限運算法則條件的極限式,而“不定式”則是指雖不滿足極限運算法則條件，但其極限仍可能存在的那類極限式。對于“定式”，只需按極限運算法則計算就可以了，而對于“不定式”，通常不能直接根據法則計算，而需先對給定“不定式”進行適當的變形或轉化，使其滿足運算法則條件，再考慮按極限運算法則進行計算。由于“定式”計算相對簡單，所以極限計算主要研究“不定式”的計算。(1)

定式極限的計算例：求極限

對此三次多項式的極限計算，

由極限的加法及乘法運算法則有需注意的是：此處計算的是三次多項式的極限值，而不是函數值，即并不是將

x

=

1

代入該三次多項式求得的值。解用極限運算法則計算

由于多項式總是經由加法和乘法運算構成的，因此本例的計算過程也適用于一般多項式在一點

x

0

處的極限的計算。對于一般的多項式

P

n(

x

)=

a

0x

n+

a1

x

n

-1+

…

+

a

n

-1x

+

a

n，求其在一點

x

=

x

0處的極限可作如下計算

因為對1

k

n有于是由極限運算法則有例：求極限

對此分式的極限，考慮由極限的運算法則進行計算，為此先驗證商的極限運算法則條件是否滿足。因為

因此由商的極限運算法則有解用極限運算法則計算

由于有理分式函數總是經由加、減、乘、除四種運算構成的，因此本例的計算過程也適用于一般有理分式函數在一點

x

0處的極限計算。對于一般的有理分式函數

P

m(

x

)=a

0x

m+a1x

m-

1+…+a

m

-

1x+a

m，Q

n(

x

)=b

0x

n+

b

1

x

n

-

1+…+

b

n

-

1x+

b

n，Q

n(

x0

)0

,求其在一點

x

=x

0處的極限可作如下計算

由于故由商的極限法則有由上計算看出，對有理函數

f(

x

)而言，只要

f(

x

)在點

x

0處有定義，則當

x

→

x

0時，f(

x

)的極限必存在,且其極限值等于

f(

x

)在點

x

0處的函數值。此處不加證明地指出：一切基本初等函數在其定義域內都具有這樣的性質，即若

f(

x

)是基本初等函數,其定義域為

D

f，則當

x0

D

f時有

由此可得計算基本初等函數在一點處的極限的一種簡便的方法：為求基本初等函數在其定義域內的點

x

0處的極限，只需計算函數在該點處的函數值即可。方法歸納基本初等函數極限的計算(2)

不定式極限的計算例：求極限

這是個商的極限問題，由于不能直接應用商的極限運算法則計算。注意到

，故對此分母為無窮小的商的極限，可利用無窮小與無窮大的關系進行計算。

因為

故有利用無窮小與無窮大的關系計算解分析例：求極限

這是個商的極限問題，由于不能用商的極限運算法則計算。同時由于

故也不能利用無窮小與無窮大的關系進行計算。對此“0/0”型的不定式，由于其分子、分母是同類函數，因而它們必有公共的零因子，故可考慮消去二二者公共的零因子，將其轉化為定式進行計算。約去公共零因子，化為定式計算解分析本例的方法具有一般性，即對于“0/0”型不定式,若其分子、分母是同類函數，可設法先將分子、分母的零因子分離出來，并通過消去公共的零因子，將其轉化為定式計算，這一方法稱為“無窮小分離法”。方法歸納無窮小分離法例：求極限

對此“0/0”型不定式，由于其分子、分母是同類函數，故必有公共零因子，因此可考慮分離并消去公共零因子，將其轉化為定式進行計算。

分離出公共零因子，化為定式計算解分析例：設P

m(

x

)=

a

0

x

m+

a1x

m-

1+…+

a

m-

1

x

+

a

m，Q

n(

x

)=

b

0

x

n+

b

1x

n

-

1+…+

b

n-

1x

+

b

n，其中

a

0

0，b

0

0，求：這是個有理分式求

x

→

時的極限問題。容易看出它是個“/”型不定式。由于該有理式的分子、分母是同類函數，因此想到，在分離出二者的公共無窮大因子并消去，將其轉化為定式計算?！?”型不定式極限的存在性取決于分子、分母趨于無窮的速度之比，即取決于二者的無窮大級別。本例分子、分母的無窮大因子的級別顯然與

m、n

有關，因此應就

m、n

的不同取值進行討論。

分析按分子、分母無窮大級別討論計算解

m=n，即n

-

m=0

m<n，即n

-

m>0

綜上討論有

m>n，即m

-

n>0

本例所用的方法稱為無窮大分離法。對于“/”型不定式，若其分子、分母是同類函數，可設法先將二者的無窮大因子分離出來，并通過消去公共的無窮大因子將其轉化為定式進行計算。消去無窮大因子的方法是，通過觀察確定分子、分母中級別最高的無窮大因子，然后在分離出該無窮大因子并消去。因此，應用無窮大分離法的關鍵是確定分子、分母中級別最高的無窮大因子。方法歸納無窮大分離法例：求極限

對此“/”型的不定式，由于其分子、分母均是無理式，考慮分離并消去公共無窮大因子。觀察分子、分母形式可見，其間最大的公共無窮大因子為

n

.

分離出分子、分母的公共無窮大因子解分析此式已是定式例：求極限容易看出這是個“/”型不定式求極限問題。對此“/”型的不定式，由于其分子、分母均是多項式，屬同類函數，故考慮用無窮大分離法求之。觀察可見，分子、分母均是50次多項式，其間最大的公共無窮大因子為

x

50

.

分析用無窮大分離法求之解已是定式“0/0”和“/”型不定式是兩類基本的分式型不定式。分式型不定式的特點是便于約簡，當分子分母為同類函數時，這兩類不定式?？赏ㄟ^無窮小(無窮大)分離法約去公共因子，使其轉化為定式的極限計算，因而它們成為各類不定式計算常用的“中轉站”。對于各類其它形式的不定式，可先設法將其轉化為“0/0”型或“/”型不定式，再考慮對其進行化簡和計算。方法歸納關于“”型和“”型不定式例：求極限

這是個“

-

”型的不定式極限，不能直接按差的極限運算法則計算。因此考慮先將其化為分式型極限，再設法約去公共因子將其轉化為定式進行計算。

通分，化差為商再化簡解分析已是定式例：求極限

這是無窮多項和的極限，不能直接按和的極限運算法則計算，考慮先將無窮和化為有限和再求極限。

由自然數平方和公式有化無窮和為有限和計算解分析已是定式本例的一種錯誤解法錯例警示錯誤原因：和的極限運算法則不能推廣至無窮多項和的情形。例：求極限

這是無窮多項和的極限問題，為計算極限，宜先將無窮和化為有限和。

由此數列各項形式聯想到其各項是由簡單分式通分而來的，于是考慮先將其還原為簡單分式再作計算。用拆項法化簡求和解分析3.復合函數取極限法則函數復合是構成初等函數的一種基本方式，理解和掌握復合函數取極限法則是掌握極限運算的基本要求。復合函數取極限問題較極限的四則運算法則要復雜得多。因為在復合函數中，因變量對自變量的依賴關系是間接的，且其間還涉及內層函數值域與外層函數定義域的包容性問題。這里不對復合函數取