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文檔簡介

定義1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)說明1.維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義．內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)定義2

令向量的長度具有下述性質(zhì)：二、向量的長度及性質(zhì)證（1）和（2）是顯然的，下面證明（3）.由Schwarz不等式，有從而即證畢于是有下列定義由Schwarz不等式，有故（當(dāng)時(shí)），解單位向量夾角1.正交的概念2.

正交向量組的概念

若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法證明得左乘上式兩端以,1aT0111=aalT3

正交向量組的性質(zhì)例1

已知三維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求a3使構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.４向量空間的正交基或解之得由上可知構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.則有解5

規(guī)范正交基定義3

設(shè)n維向量是向量空間V的一個(gè)基,如果兩兩正交且都是單位向量,則稱是V的一個(gè)規(guī)范正交基.設(shè)表達(dá)式為為求其中的系數(shù)可用左乘上式，有即這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計(jì)算公式。若是V的一個(gè)規(guī)范正交基，那么V中的任一向量a應(yīng)能由線性表示，（1）正交化，取，６求規(guī)范正交基的方法（2）單位化，取施密特正交化過程解例2再把它們單位化，取幾何解釋例解把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．亦即取證明定義4四、正交矩陣與正交變換命題

A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交．正交矩陣有如下性質(zhì)

（1）若A為正交矩陣，則A-1=AT也是正交陣.且|A|=1或（-1）.（2）若A和B都是正交陣，則AB也是正交陣

(練習(xí)5:4題).因?yàn)锳TA=E與AAT=E等價(jià)，所以上述結(jié)論對A的行向量亦成立。證(2).(1).性質(zhì)

正交變換保持向量的長度不變．證明例（練習(xí)5:2)

判別下列矩陣是否為正交陣．定義5

若P為正交陣，則線性變換y=Px

稱為正交變換．解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于例4解1．將一組基規(guī)范正交化的方法：先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化．五、小結(jié)2．為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：求一單位向量，使它與正交．

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