隨機(jī)數(shù)學(xué)課件：第3章 二維隨機(jī)變量

一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二、邊緣分布三、隨機(jī)變量的獨(dú)立性第一節(jié)二維隨機(jī)變量１.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)(1)定義實(shí)例1

炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個二維隨機(jī)變量.實(shí)例2

考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H

和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).(2)分布函數(shù)的定義:

聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):xy(x,y)xy(1)xyxy固定x,對任意的y1<y2,固定y,對任意的x1<x2,F(x

,y)=F(x+0,y

)F(x

,y)=F(x

,y

+0)

對每個變量單調(diào)不減(２)對每個變量右連續(xù)(3)F(x,y1)F(x,y2)F(x1,y)F(x2,y)證明:說明：在計(jì)算二維隨機(jī)變量落在區(qū)域內(nèi)的概率時，很少直接通過聯(lián)合分布函數(shù)來求得。

這是因?yàn)閷τ谟?jì)算落在不是矩形形狀區(qū)域內(nèi)的概率時不易找到一個直接用聯(lián)合分布函數(shù)來表示的顯式．例1設(shè)討論F(x,y)能否成為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)？解：xyx+y=1?(0,0)?(2,0)?(2,2)?(0,2)故F(x,y)不能作為某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).注意對于二維隨機(jī)變量xyac(a,c)(a,+)(+,+)(+,c)1.2.邊緣分布

為隨機(jī)變量

(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).

可以將二維隨機(jī)變量及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到n

維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù).(請同學(xué)們課下自行閱讀教材P96)例1

設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A,B,C

為常數(shù).確定A,B,C；

求X和Y的邊緣分布函數(shù)；求P(X>2)解(1)(2)(3)1.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)，若對任意則稱隨機(jī)變量X

和Y相互獨(dú)立.

任意x,y都有定義由定義知：二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立（1）定義

若二維隨機(jī)變量

(X,Y)所取的可能值是有限對或無限可列多對,則稱

(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.

第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量

2.1二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布（2）二維離散型隨機(jī)變量的分布律二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為的求法:⑴利用古典概型直接求；⑵利用乘法公式解且由乘法公式得例2

（書P98第3題）2.2離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

例2

已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.注意聯(lián)合分布邊緣分布解（書P66例2.1）2.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)概率分布為（X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率分布分別為X與Y

獨(dú)立即對一切i,j

有書P69例2.3，P70例2.4(X,Y)所取的可能值是解抽取兩支都是綠筆抽取一支綠筆,一支紅筆1.從一個裝有3支藍(lán)色、2支紅色、3支綠色圓珠筆的盒子里,隨機(jī)抽取兩支,若X、Y分別表示抽出的藍(lán)筆數(shù)和紅筆數(shù),求(X,Y)的分布律.課堂練習(xí)：故所求分布律為2.一個袋中有三個球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個,設(shè)每次取球時,各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求(X,Y)的分布律.

(X,Y)的可能取值為解故(X,Y)的分布律為二、邊緣概率密度

第三節(jié)二維離散型隨機(jī)變量

一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度三、隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、二維均勻分布和正態(tài)分布（1）定義3.1

3.1二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（2）概率密度的性質(zhì)表示介于f(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.

說明：例1解:

(3)將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有解:例23.2邊緣概率密度分布同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.

注意：在求連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度時，往往要對聯(lián)合密度在一個變量取值范圍上進(jìn)行積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計(jì)算積分時應(yīng)特別注意積分限.解例3（習(xí)題課教程P375例11-（1））解例4連續(xù)型說明：二維隨機(jī)變量

(X,Y)

相互獨(dú)立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布。法2

X與Y

獨(dú)立對任何x,y有3.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性法1X與Y

獨(dú)立對任何x,y有例5

已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1)(2)討論X,Y是否獨(dú)立？解：(1)由圖知邊緣概率密度為11顯然，故X,Y相互獨(dú)立.(2)由圖知邊緣概率密度為顯然，故X,Y不獨(dú)立.11（書P74例3.3）判斷連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的有關(guān)命題:（1）設(shè)f(x,y)是連續(xù)二維隨機(jī)變量

(X,Y)的聯(lián)合概率密度，則X,Y相互獨(dú)立。

當(dāng)它在D上可表達(dá)成分離變量形式（包括全平面、半平面等）時，

(2)設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù),則U=u(X),V=v(Y)也相互獨(dú)立.即獨(dú)立隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)仍獨(dú)立.若X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量則aX+b,cY+d也相互獨(dú)立；X2,Y2也相互獨(dú)立；由命題知：說明兩點(diǎn)：（1）此性質(zhì)是相互獨(dú)立的必要而非充分條件；（2）即使由相同的隨機(jī)變量構(gòu)成的不同函數(shù)也可能相互獨(dú)立。

隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念可以推廣到n

維隨機(jī)變量（書P97）若則稱隨機(jī)變量

X

1,X

2,,X

n

相互獨(dú)立

若兩隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且又有相同的分布,不能說這兩個隨機(jī)變量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互獨(dú)立，則X-11

-110.250.25Ypij0.250.25故不能說X=Y.注意由左表易得：（1）均勻分布定義設(shè)

D是平面上的有界區(qū)域,其面積為

A,若二維隨機(jī)變量

(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在D上服從均勻分布.3.4二維均勻分布和正態(tài)分布

向平面上有界區(qū)域D上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在D內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（X,Y）在D上服從均勻分布.

例6

設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在上服從均勻分布，求：（1）(X，Y)的概率密度；（2）．

解（1）如圖，區(qū)域D的面積為，因此(X，Y)的密度為

（2）記區(qū)域，

,于是（2）二維正態(tài)分布（書P77）若二維隨機(jī)變量

(X,Y)具有概率密度二維正態(tài)分布的圖形

例7

設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為

求．解

（書P77例3.5）例8（教材P77例3.6）解（1）由于于是則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,（2）證對任何x,y有故將代入即得?。?）結(jié)論：X與Y相互獨(dú)立請同學(xué)們思考:

邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.第四節(jié)條件分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量

(X,Y)的分布若則稱為在X=xi

的條件下,隨機(jī)變量Y的條件分布律4.1離散隨機(jī)變量的條件分布律若則稱為在Y=yj

的條件下隨機(jī)變量X的條件分布律類似乘法公式類似于全概率公式例1

把三個球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中,每盒可容球數(shù)無限.記X為落入1號盒的球數(shù),Y為落入2號盒的球數(shù)，求(1)在Y=0的條件下，X的分布律；(2)在X=2的條件下，Y的分布律.解先求聯(lián)合分布，XYpij01230123000000pi?1p?j

X

0123將表中第一行數(shù)據(jù)代入得條件分布(1)

Y

01(2)當(dāng)X=2時，Y只可能取0與1.將表中第三列數(shù)據(jù)代入下式得Y的條件分布解例2

已知一射手每次擊中目標(biāo)概率為p(0<p<1),射擊進(jìn)行到擊中兩次為止.令X

表示首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù),Y

表示總共射擊次數(shù).求

的聯(lián)合分布律、條件分布律和邊緣分布律.由題設(shè)知故X與Y的邊緣分布律分別為的聯(lián)合分布律為律為當(dāng)

時,X的條件分布律為當(dāng)時,Y的條件分布

4.2連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布當(dāng)X連續(xù)時,條件分布不能用來定義,因?yàn)?來定義.而應(yīng)該用xy-yyy設(shè)xy-yy若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù),fY(y)在點(diǎn)y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱為Y=y

時，X

的條件分布函數(shù),記作定義類似地,稱為X=x

的條件下Y

的條件分布函數(shù);為X=x

的條件下Y

的條件概率密度稱為Y=y

的條件下X

的條件概率密度稱注意y是常數(shù),對每一fY(y)>0的y處,只要相仿論述.僅是x的函數(shù),

類似于乘法公式：符合定義的條件,都能定義相應(yīng)的函數(shù).類似于全概率公式類似于Bayes公式二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立例3

已知(X,Y)服從圓域x2+y2r2

上的均勻分布,求r解x-r=同理，邊緣分布不是均勻分布！當(dāng)

–r<y<r

時，y—這里y

是常數(shù)，當(dāng)Y=y時，當(dāng)

–r<x<r

時，—這里x

是常數(shù)，當(dāng)X=x時，x條件分布是均勻分布！例4

設(shè)求解y=x11y=x11當(dāng)0<y<1時，y當(dāng)0<x<1時，y=x11x例5

已知求解y=x11當(dāng)fX(x)>0時，即0<x<1時，當(dāng)fX(x)=0時，f(x,y)=0故x+y=11y=x10.5y=x110.5y=x110.5

例6

設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時，數(shù)Y在區(qū)間(0，x)上隨機(jī)地取值.求Y的概率密度.（書P83例4.3-（2））解：依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為

已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、小結(jié)一、問題的引入第四節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布4.1離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布已知隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布,

g(x,y)為已知的二元函數(shù),

轉(zhuǎn)化為(X,Y)的事件問題方法求Z=g(X,Y)的概率分布例1

設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解可得所以例2

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求：的概率分布解

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：P

X+Y

X

-Y

XYY/X(X,Y)(-1,-1)

(-1,0)

(1,-1)

(1,0)

(2,-1)

(2,0)-2-10112

0-12132

10-10-20

10-10-1/20故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123PXY-2-101PY/X-1-1/2011.設(shè)

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且獨(dú)立，具有可加性的兩個離散分布：2.設(shè)

X~(1),Y~(2),且獨(dú)立，則X+Y~B(n1+n2,p)則X+Y~P(1+2)

(教材P83例4.2)（習(xí)題課教程P383例18）結(jié)論：4.2連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布

1.

Z=X+Y的概率分布由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對稱,

當(dāng)X,Y獨(dú)立時,這兩個公式稱之為卷積公式。注意：被積函數(shù)變元之和x+(z-x)=(z-y)+y=z的聯(lián)合概率密度為，則的概率密度為

對兩隨機(jī)變量和的線性組合，我們也有如下推廣的卷積公式：設(shè)

(教材P85例4.3)例3

設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.得說明：

有限個相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,即正態(tài)分布具有可加性.

例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)論

若X,Y相互獨(dú)立,則

若(X,Y)則若相互獨(dú)立則推廣為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例４若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:

解法一由卷積公式也即（教材P85例4.4）為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域也即于是解法二

從分布函數(shù)出發(fā)x+y=z當(dāng)z<0時，1yx1當(dāng)0z<1時，yx11x+y=z?z?zx+y=z當(dāng)1

z<2

時，z-11yx1?z?z1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時，例５已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為Z=X+Y,求fZ(z)解（圖形定限法）由公式（1）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域zxz=xz=2xx=112當(dāng)z<0或z>2,zzzz當(dāng)0≤z<1,當(dāng)1≤z<2,

fZ

(z)=0這比用分布函數(shù)做簡便。同理可得故有當(dāng)X,Y獨(dú)立時,由此可得分布密度為解由公式例6得所求密度函數(shù)得