金融數(shù)量方法完整教學(xué)課件

金融數(shù)量方法完整教學(xué)課件2《金融數(shù)量方法》

QuantitativeMethods

inFinance3課前說明課程性質(zhì)：專業(yè)選修課（考查）教學(xué)時間：第1周-16周教學(xué)學(xué)時：32課時考核成績：總評成績=平時成績×30%+期末成績×70%授課方式：課堂講授+課中后練習(xí)4主要參考文獻[英]特里·J.沃特沙姆；基思·帕拉莫爾著，陳工孟，陳守東譯：《金融數(shù)量方法》，上海人民出版社，2004。2.[美]SheldonM.Ross著，陳典發(fā)等譯：《數(shù)理金融初步》，機械工業(yè)出版社，2005。3.張樹德編著《金融數(shù)量方法教程》，經(jīng)科出版社，2010年8月

4.約翰·赫爾著，張?zhí)諅プg：《期權(quán)、期貨和衍生證券》，華夏出版社，19975.鄭志勇：《金融數(shù)量分析——基于MATLAB編程》，北京航空航天大學(xué)出版社，20096.楊云紅編著：《金融經(jīng)濟學(xué)》，武大出版社，20065本課程特點1.注重金融學(xué)中使用的定量方法，量化投資模型（包括數(shù)學(xué)工具）及其應(yīng)用2.需要一定量的理論推導(dǎo)3.有些內(nèi)容與金融經(jīng)濟學(xué)內(nèi)容重復(fù)，但側(cè)重背后的理論方法4.可能有些難度6內(nèi)容簡介本課程的內(nèi)容含量較大，信息量較多。從涉及的學(xué)科分支來看，將涉及高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、西方經(jīng)濟學(xué)、計量經(jīng)濟學(xué)、多元統(tǒng)計分析、投入產(chǎn)出學(xué)、投資學(xué)、金融學(xué)等多個分支。該課程將全面地、系統(tǒng)地、深入淺出地講授數(shù)量分析方法，以及其如何應(yīng)用于經(jīng)濟問題中，從而解釋和解決實際金融現(xiàn)象，不僅使學(xué)生更好地體會和掌握數(shù)量分析方法的思想精髓，而且使他們基本把握分析實際問題的關(guān)鍵因素，可以說它是一門集數(shù)量分析方法與金融學(xué)應(yīng)用于一體的綜合性課程，具有交叉學(xué)科的屬性。具體來說，本課程在簡介數(shù)量分析方法的思想精髓的基礎(chǔ)上，重點對其在經(jīng)濟領(lǐng)域中的大量應(yīng)用實例進行詳細和深入的剖析。由于總學(xué)時所限，本課程內(nèi)容共分如下六章。7本課程主要內(nèi)容體系CH1金融中的微分法CH2數(shù)據(jù)描述與描述統(tǒng)計學(xué)CH3金融中的概率方法Ch4金融中的優(yōu)化方法CH5金融計量學(xué)方法

CH6金融衍生品定價中的數(shù)量方法8CH1金融中的微分法

主要內(nèi)容§1.1微分法基礎(chǔ)§1.2金融中的微分法9§1.1微分法基礎(chǔ)主要內(nèi)容一、極限的概念及其性質(zhì)二、一階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義三、Taylor級數(shù)展開及其近似逼近10一、極限的概念及其性質(zhì)１.函數(shù)在某一點的極限定義：2.重要極限之一：3.極限性質(zhì)：四則運算11

二、一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)及其幾何意義在經(jīng)濟和金融問題中常用到變化率的概念，而變化率又分為平均變化率與瞬時變化率。平均變化率主要用于離散問題的分析，意思就是函數(shù)增量和自變量增量之間的比率。用符號表示為

△y/△x瞬時變化率則是指自變量連續(xù)變化的情形，也就是某一個函數(shù)關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)自變量增量趨于零時的平均變化率的極限。用符號表示為121.一階導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在x0可導(dǎo)，則在范圍（x0,x0+△x）內(nèi)的平均變化率為而在x=x0處的瞬時變化率為可見，瞬時變化率就是函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)。表示切線的斜率數(shù)值在經(jīng)濟學(xué)中，將這兩種變化率統(tǒng)稱為y在x=x0前一個單位時y的邊際變化。區(qū)別是前者在實際應(yīng)用中常用于有函數(shù)形式下的離散情形，而后者則用于已知函數(shù)條件下的連續(xù)情形。13若導(dǎo)數(shù)值在某一區(qū)間恒大于0，則是遞增函數(shù)，即f(x)隨著x的變大（或?。┒龃螅ɑ驕p少）。一階導(dǎo)數(shù)常用來判定函數(shù)的單調(diào)增減性。142.高階導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義實際上，對于任意給定的x,一階導(dǎo)數(shù)仍然是自變量x的函數(shù)，故稱為導(dǎo)函數(shù)．那么，我們稱一階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為原來函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．其符號表示曲線的彎曲方向，即凹凸性。其幾何意義為函數(shù)變化率隨x變動的變化率，常常用來判定函數(shù)的極大值，還是極小值。如，恒小于0，則表明切線斜率函數(shù)遞減，函數(shù)有極大值。15

3.隱函數(shù)及其求導(dǎo)公式

（1）隱函數(shù)的定義：已知二元方程F(x,y)=0,滿足該方程的兩個變量x與y之間就存在一個對應(yīng)，即任意給定x的數(shù)值，就有確定的y的數(shù)值與之對應(yīng)，從數(shù)學(xué)角度看，該對應(yīng)就是一個函數(shù)，即任意一個xy稱該對應(yīng)確定的函數(shù)為y對x的隱函數(shù),用符號表示為y=f(x)。如，x+y=0之所以稱為隱函數(shù)就是因為在多數(shù)情況下，不能將y寫成x的顯函數(shù)形式。例如，方程確定了一個隱函數(shù)y=f(x)16上述定義僅僅說明，由任何一個二元方程在一定條件下，就能確定一個隱函數(shù)，這屬于隱函數(shù)的確定問題。在隱函數(shù)確定了以后，我們還需要進一步求出該函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，即隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何計算？17（2）隱函數(shù)的求導(dǎo)公式于是，該隱函數(shù)關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)的計算公式為注意，這是有條件的，而且公式前面有負號。這說明一元的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可借助于已知的二元顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來表示關(guān)于隱函數(shù)的存在和求導(dǎo)問題在經(jīng)濟學(xué)中常常用于均衡分析（均衡的確定）及其比較靜態(tài)分析（均衡的變動）。18三、Taylor級數(shù)展開基本思想：把一個復(fù)雜的、非線性函數(shù)近似表示為簡單的函數(shù)，即用簡單的函數(shù)去近似一個復(fù)雜函數(shù)，其有利工具就是級數(shù)的展開。一般公式為這表明任何一個復(fù)雜的函數(shù)可表示為無窮多項簡單的冪函數(shù)之和。當(dāng)然，x可以選取所喜歡的任何一點去近似或逼近。當(dāng)h很小時，即在x附近的函數(shù)值，就可以省略掉后面的無窮多項，而只用前面的有限項的近似值來代替。如可用右邊的線性函數(shù)（可根據(jù)需要選擇一階或二階、甚至高階來近似）來近似。表達式會寫嗎？二階近似表達式呢？19當(dāng)x在x0附近變化很小時，可以只取一階導(dǎo)數(shù)部分來近似，即作為一階近似值，Y值的變化可以通過沿著直線，而非曲線移動取近似值。20圖像21§1.2金融中的微分法一、貨幣時間價值及其應(yīng)用二、使用Taylor級數(shù)估計債券價格的收益率曲線三、使用微分度量債券價格的風(fēng)險四、債券的凸性22一、貨幣時間價值及其應(yīng)用所謂貨幣的時間價值，是指一定量的貨幣在不同時點上的價值量的差額。對其定義有以下幾種：眾所周知，在市場經(jīng)濟條件下，既使不存在通貨膨脹，等量的貨幣在不同時點上的價值量也不相等。今天的1元錢與明年的1元錢是不等值的，前者要比后者的價值大。比如，若銀行的年利率為6%，今天的1元錢存入銀行，一年以后就會是1.06元?？梢姡?jīng)過一年時間，這1元錢就有了0.06元的增值，也就是說，今天的1元錢與一年后的1.06元錢等值。我們將貨幣（資金）在使用過程中隨時間推移而發(fā)生的增值現(xiàn)象，稱為貨幣具有時間價值的屬性。23Note:資金時間價值與利率不同資金時間價值：指沒有風(fēng)險和通貨膨脹下的社會平均資金利用率。利率：不僅包含著資金時間價值，而且也有風(fēng)險價值和通貨膨脹因素。實務(wù)上：通貨膨脹率很低情況下可以用政府債券利率來表示時間價值。24一、貨幣時間價值及其應(yīng)用

在金融學(xué)、投資學(xué)以及財務(wù)管理中，貨幣（資金）的時間價值問題具有廣泛的應(yīng)用。其中,兩個最重要的概念是現(xiàn)值(PresentValue)與終值（FinalValue）.現(xiàn)值是指將來得到或支付的一筆資金在今天的價值。終值是指今天得到或支付的某筆資金在將來某時刻的價值。計算現(xiàn)值的過程稱作貼現(xiàn)（Discounting），計算終值的過程稱作復(fù)利(compounding)。25（一）貨幣的終值例如，你今天存入銀行1000元，存期為1年，在年利率為6%的條件下，一年后將得到本金與利息的總和，共計1000+60=1060元。也就是這筆資金在一年后時刻的終值。那么，本息之和與哪些因素有關(guān)呢？26從中可以看出，一筆資金的終值大小取決于以下幾個因素：1.利率（rateofinterest）：rori2.存款期限(timetomaturity):n3.計息方式包括：單利(simpleinterest),復(fù)利(compoundinterest)如果是復(fù)利計息的話，還要考慮計息頻率、(frequencyofthecompounding)27（一）單利

1.單利的終值（F）單利，是指每期都按照初始本金計算利息，當(dāng)期利息即使不取出也不計入下一期本金，即計息本金額始終為初始本金，保持不變。單利特點：只有本金計息，利息不計息。例：本金10000元，年利息率為10%，期限3年，則3年后的本息和為：

10000×（1＋10%×3）＝13000元單利終值=本金+單利利息

=P+P·i·n=P(1+i·n)282.單利現(xiàn)值：是單利終值計算的逆運算比如，你打算5年后積蓄到10萬元，若現(xiàn)在的年利率為4%，則現(xiàn)在應(yīng)該一次性存入銀行多少錢？（按照目前銀行的單利計算）29（二）復(fù)利的終值與現(xiàn)值

復(fù)利計息特點：不僅本金計息，利息也計息。俗稱“利滾利”年期初金額（本金或現(xiàn)值）利息期末金額（本息和，即終值）110000100011000211000110012100312100121013310假設(shè)年利率為10%30例：一次投資100元，利息為每年10％，各年末的終值為一年后：100×（1+10%）＝110

二年后：5年后：...100×1.1×…×1.1＝100×1.15用復(fù)利方式計算終值311.復(fù)利計息下的終值復(fù)利終值，是指一定量的本金按照復(fù)利計算若干期后的本利和（價值）。若每年計息一次復(fù)利，某筆資金P在年利率為i的條件下,n年后的終值的計算公式為其經(jīng)濟意義是什么？復(fù)利終值系數(shù)，記為(F/P，i，n),書后面有附錄A可查出其值32復(fù)利計息的收益變化規(guī)律是，在最初較短的時間內(nèi)，終值（收益）增速比較緩慢，但隨著時間的推移，收益就呈現(xiàn)幾何級數(shù)的增長態(tài)勢，并且時間越長，收益的增長速度變得越高。從數(shù)學(xué)角度看，這是指數(shù)函數(shù)，它的圖形你會畫嗎？33理財學(xué)中有著名的“72法則”若存入1元錢，且年利率為1%，則大約經(jīng)過72年后，其值就會翻番至2元。若年利率為2%,則需要多少年呢？你能否給出一般性公式？34復(fù)利的魔力在金融實務(wù)和現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，人們利用復(fù)利原理進行長期投資具有神奇和巨大的威力。著名科學(xué)家阿爾伯特·愛因斯坦曾將其認(rèn)為：復(fù)利是世界上的最奇異的現(xiàn)象，它的奧秘在于既簡單又不可思議，是投資理財?shù)闹匾A(chǔ)原理之一。35前面的計息方式是一年復(fù)利一次。

但在許多金融交易中，復(fù)利計算的頻率比一年1次要多，例如，利息經(jīng)常是按照季度、月度加入到本金中的，于是會更早些時候計算利息加入到本金中，且利息本身會更早的獲得新利息。一般的，若一年復(fù)利計息次數(shù)為m,那么n年后的本息和，即復(fù)利終值則為每期利率計算復(fù)利的總次數(shù)36例如，存入1000元，年利率為6%，按照季度計算復(fù)利，則3年后的終值為可以看出，把年計息改為按照季度計息會得到更多的利息，即終值會更大一些（請問按照年復(fù)利計算的終值是多少？）。37可以想象和證明，當(dāng)計息頻率m越來越頻繁時，以至于每時每刻都計息，則會導(dǎo)致終值越來越大。當(dāng)m無限增大時（計息頻率無限大）,復(fù)利終值是不會無限增加的，會收斂到某個有限的常數(shù)值。這就是極限方法的一個重要應(yīng)用，稱為連續(xù)復(fù)利(continuouscompounding)。其經(jīng)濟意義是，隨著計息頻率無窮大以至于利息被不間斷的增加到本金中，導(dǎo)致本金呈現(xiàn)指數(shù)增長。其中e為指數(shù)常數(shù)，近似為2.71828382.連續(xù)復(fù)利的作用很多金融學(xué)理論中都用到連續(xù)復(fù)利的假設(shè)期權(quán)定價模型中也使用了連續(xù)復(fù)利。另外，把具有不同計息頻率的利率轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連續(xù)復(fù)利也便于利率之間的比較。因此，分期復(fù)利率與連續(xù)復(fù)利之間的轉(zhuǎn)化就成為必要393.把分期復(fù)利率轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連續(xù)復(fù)利率條件：某筆資金投資于連續(xù)復(fù)利率(continuouscompounding)得到的終值，與投資于相應(yīng)的分期復(fù)利率(discretecompounding)下的終值相等因此容易解得：例如，與年利率6%，按季度計息的分期復(fù)利相對應(yīng)的連續(xù)復(fù)利率為顯然，比分期利率要小，Why?請思考如何直觀理解！404.把連續(xù)復(fù)利率轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分期復(fù)利率根據(jù)等式解得：例如，假設(shè)連續(xù)復(fù)利率每年為12.5%，那么相應(yīng)的每年4次計息的分期復(fù)利率為顯然，比連續(xù)復(fù)利率要大，Why?請思考！415.復(fù)利的現(xiàn)值

例如：某人存入一筆錢，想5年后得到10萬，若銀行存款年利率為5%，請問：現(xiàn)在應(yīng)一次性存入多少？

答案：單利：P=S/（1+n×i）=10/（1+5×5%）=8（萬元）

復(fù)利：P

=S×（1+i）-n=10×（1+5%）-5

=10×0.7835=7.835（萬元）

這就是復(fù)利的現(xiàn)值計算了！425.復(fù)利的現(xiàn)值復(fù)利現(xiàn)值，就是指未來時點上收到或支付的一筆款項，按照某個利率所計算出的現(xiàn)值。它是終值的逆運算。其優(yōu)點是，通過計算現(xiàn)值，能夠使得在未來不同時點上發(fā)生的若干筆現(xiàn)金流可以比較，因而它們可以被加總。

復(fù)利現(xiàn)值的計算公式：復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，記為(P/F，i，n),可查附錄B查出值復(fù)利終值系數(shù)與復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)！復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的經(jīng)濟意義是什么？436.分期復(fù)利現(xiàn)值與連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值為了能把未來不同時刻到期的不同現(xiàn)金流價值進行比較，就需要把未來現(xiàn)金流貼現(xiàn)成他們的現(xiàn)值。同樣，金融實務(wù)中，也經(jīng)常遇到一年中計息頻率多于1次，其現(xiàn)值計算公式為當(dāng)復(fù)利計息次數(shù)m無限大時，就成為連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值，或者叫做連續(xù)貼現(xiàn)：此時稱利率為貼現(xiàn)率。顯然，現(xiàn)值與貼現(xiàn)率成反比，44（二）貨幣時間價值的應(yīng)用1.抵押貸款問題住房抵押（按揭）貸款是一種常見的貸款形式，其特點是在給定的利率下，在貸款期內(nèi)債務(wù)人周期性的進行等額的還款支付。在抵押的初期，本金最大，每月的還款支付額主要是利息支付，其本金償付很少。但隨著本金的減少，用于償還本金的數(shù)額在增加。45例如，以等額還款的方式，償還20年期、年復(fù)利利率為10%的抵押貸款100，000元，分別求每年和每月的還款額為多少？分析：假設(shè)每年末的還款額為X，則第二年初的債務(wù)余額為100，000×1.1-X;同理，第三年初的債務(wù)余額為（100，000×1.1-X）×1.1-X=100，000×1.12-1.1X-X重復(fù)上述過程20次，就得到第21年初的債務(wù)表達式，此時應(yīng)該正好還清債務(wù)，即其中，括弧內(nèi)是等比數(shù)列的前20項之和。46化簡后得到方程為解方程，解得每年的還款額為：對于一般貸款問題，若貸款總額為P，償還n年，年利率為r，其每年的等額還款額的公式為現(xiàn)行居民購房按揭貸款的每年還款額是計算公式如果是月供應(yīng)該是多少？47如果進一步計算現(xiàn)實生活中按每月的等額還款，則需要把上述的年利率轉(zhuǎn)化為等價的月利率的同時，還需要把償還次數(shù)修改為240次，仍用X表示月供額假設(shè)等價的月度復(fù)利因子是C，那么有那么關(guān)于X的方程為代入C值得：顯然，這種月度還款方式比年度還款方式一年下來少支付大約500元，WHY？48對于一般貸款問題，若貸款總額為P，償還n年，年利率為r，其每月的等額還款額的公式為492.（永久）年金問題現(xiàn)在考慮一個年金問題。年金：是指在某一時期內(nèi)等間隔的發(fā)生的一系列等額的收入或支付款項。比如，希望從今后的若干年內(nèi)每年獲得一筆等額的收入流，那么需要現(xiàn)在一次性存入或投資多少錢？這是抵押貸款的反問題，即初期進行一筆大的支付，以便以后在某時期內(nèi)得到一系列等額的小的現(xiàn)金流入。假設(shè)希望未來20年內(nèi)，每年能夠得到1200元的年金收入（如生活費），年收益率為10%，那么現(xiàn)在應(yīng)該一次性投入多少？50這屬于求年金的現(xiàn)值問題第一年末收到的1200元的現(xiàn)值為1200/1.10，第二年末的1200元的現(xiàn)值為1200/1.102以此類推，那么這20筆收入流的現(xiàn)值為51年金現(xiàn)值的一般公式為其中，a為每年的年金數(shù)額，其余同上當(dāng)有限期的收付年金變?yōu)闊o限期，即收入流或支付流的次數(shù)n無限大，以至于趨于無窮時，其年金現(xiàn)值為對于此例中的數(shù)據(jù)來說，現(xiàn)值為1200/0.1=12000元，也就是說，只要現(xiàn)在一次性存入12000元，就可以無限期的每年永遠得到1200元。這又一次體現(xiàn)了極限的應(yīng)用52如果將此例中的年度收入流改為月度收入流（比如用于養(yǎng)老年金）也就是說，每月能得到100元的收入，一共持續(xù)240個月。那么你知道這些年金的現(xiàn)值是多少嗎？請寫出公式，并計算出來數(shù)額。53二、使用Taylor級數(shù)近似估計債券價格的收益率曲線債券價格的含義：其價格就是其未來逐筆實現(xiàn)的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值總和。對于附息債券價格的公式為Y——收益率（計量單位：%）CF——現(xiàn)金流（cashflow）顯然，債券價格P是關(guān)于收益率y的函數(shù)，且是遞減的、非線性函數(shù)，稱為債券價格的收益率曲線。記作P=f(y)54債券價格收益率曲線的近似——可用直線或二次曲線近似55三、利用微分度量債券價格的風(fēng)險已經(jīng)知道，債券的價格受到收益率的影響，現(xiàn)在的問題是，當(dāng)收益率y變動1%時，價格P變動百分之多少？該衡量指標(biāo)叫做修正久期（modifiedduration）由于收益率y本身的單位是%，所以收益率的變動量為絕對變量△y,但需要考慮價格P的相對變動△P/P，用公式表示為56可見，計算修正久期的關(guān)鍵在于計算導(dǎo)數(shù)dP/dy對債券價格公式求導(dǎo)，得到方括號內(nèi)的表達式為久期，等號右邊稱為修正久期。修正久期在債券市場上常常被用作衡量債券的利率風(fēng)險的指標(biāo)。其經(jīng)濟意義為，當(dāng)收益率在下一瞬間發(fā)生1%變化時，債券價格將隨之變化的近似百分比57計算債券價格風(fēng)險的數(shù)據(jù)實例：假設(shè)有一個2年期的債券，面值為100，每半年付息5，到期收益率為8%，則其現(xiàn)金流方式與價格為為了計算修正久期，首先計算公式中方括號內(nèi)的值：誰知道負號的含義？58再乘以1/(1+y)，再除以債券價格103.6299，得到修正久期的值為通常，債券市場的習(xí)慣是使用年久期，并且省略負號。由于本例中債券是每年付息2次，所以年久期還要把結(jié)果除以2，得到3.5853/2=1.7926。這說明當(dāng)債券收益率上升1%時，債券價格將下降1.7926%多么有力量的分析，得出了有用的結(jié)論59四、債券凸性（convex）——二階導(dǎo)數(shù)，即變化率的變化率由于債券久期表明了其價格對利率的敏感程度，為了度量這種敏感性隨利率變化的情況，需要利用債券價格對到期收益率的二階導(dǎo)數(shù)來衡量，即所謂的債券凸性。

根據(jù)債券價格公式可以求二階導(dǎo)數(shù)：60債券凸性的數(shù)據(jù)實例仍以前面的2年期債券為例，其面值為100，每半年付息5，到期收益率為8%。在這里凸性等于債券價格對收益率的二階導(dǎo)數(shù)除以2倍的債券價格（因為年付息2次）。二階導(dǎo)數(shù)為再除以2倍的價格103.6299，得到凸性為正如修正久期一樣，在債券市場中實際使用的是以年的平方形式使用凸性，因此還要把上述數(shù)值除以每年現(xiàn)金流數(shù)目的平方，在本例中每年有2個現(xiàn)金流，要除以22=4，債券的凸性等于2.103161本章作業(yè)1.由第一和第二小組分別各自尋找一個應(yīng)用實例來說明微分學(xué)方法在你們已學(xué)過的許多金融知識中的應(yīng)用，并撰寫一個應(yīng)用分析小論文。2.某高校準(zhǔn)備設(shè)立某項獎學(xué)金，希望每年能拿出10萬元用于學(xué)生的獎學(xué)金的發(fā)放，并且不間斷，現(xiàn)需要一次性籌資多少錢？（假設(shè)年復(fù)利利率為5%）3.請證明連續(xù)復(fù)利下的終值公式：并畫出圖形來加以說明62第二章數(shù)據(jù)描述與描述統(tǒng)計學(xué)本章內(nèi)容包括§2.1數(shù)據(jù)的計量尺度與類型§2.2數(shù)據(jù)的圖表描述§2.3數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量描述§2.4相關(guān)性的度量§2.5指數(shù)及其應(yīng)用63內(nèi)容包括一、數(shù)據(jù)的計量尺度二、數(shù)據(jù)的類型§2.1數(shù)據(jù)計量尺度與數(shù)據(jù)類型64一、數(shù)據(jù)的計量尺度定類尺度

nominalscale定序尺度

ordinalscale定距尺度

intervalscale定比尺度

ratioscale

按照某屬性對事物進行平行的分類。（=≠）

對事物類別間等級或順序差別的測度。（＜＞）對事物類別或次序之間差距的測度。

(+、-）對事物類別或次序之間差距及差別程度的測度。

（×、÷）65變量變量值編碼性別男女12人種白黃棕黑1234定類尺度的數(shù)據(jù)沒有順序和大小的區(qū)別。1.定類尺度的數(shù)據(jù)66變量編碼定序尺度數(shù)據(jù)不能測量差別的多少，只能優(yōu)劣排序。產(chǎn)品等級一等品二等品三等品123對事物的態(tài)度很滿意滿意中立不滿意反對12345變量值2.定序尺度的數(shù)據(jù)67定距尺度數(shù)據(jù)不能計算比值。3點6點3.定距尺度的數(shù)據(jù)例如，張三身高比李四高10厘米68定比尺度數(shù)據(jù)可以計算比值。6枚3枚例如，張三月收入是李四月收入的2倍4.定比尺度的數(shù)據(jù)69

變量類型計量尺度品質(zhì)型變量數(shù)值型變量定類變量定序變量數(shù)值型變量定類變量定序變量定距變量定比變量定類（=、≠）定序（＜、＞）定距（+、-）定比（×、÷）∨∨∨∨∨∨

∨∨

∨

∨變量類型的劃分70二、數(shù)據(jù)的類型按照取值性質(zhì)不同，數(shù)據(jù)可分為1.連續(xù)型（continuous）：可以取連續(xù)區(qū)間內(nèi)的任何值，定距尺度的數(shù)據(jù)均為連續(xù)型。比如，投資收益率、速度、時間等2.離散型(discrete)：取值是間隔的取不同的數(shù)值比如，金融工具的價格，滬市和深市交易所每天綜合指數(shù)的報價是多少點，上證30指數(shù)？滬深300指數(shù)？71按照與時間的關(guān)系，數(shù)據(jù)也可分為1.橫截面數(shù)據(jù)：在某一時點一組變量的數(shù)據(jù)。比如，我國滬深兩市在某一特定時間內(nèi)某100只股票的價格數(shù)據(jù)2.時間序列數(shù)據(jù)：某一特定變量隨時間變化的依次排列的數(shù)據(jù)。比如，2年內(nèi)每天的股票價格數(shù)據(jù)；外匯匯率在近三年內(nèi)的變動數(shù)據(jù)72還可分為未分組數(shù)據(jù)與分組數(shù)據(jù)1.未分組數(shù)據(jù)：金融時報100指數(shù)（FTSE100）在1989年9月至1992年12月每月末的值及其月收益率數(shù)據(jù)73可歸納為頻數(shù)分布表，又分為離散組數(shù)據(jù)與連續(xù)組數(shù)據(jù)2.分組數(shù)據(jù)：74數(shù)據(jù)的圖表描述方式分為一、頻數(shù)分布表或分布圖二、累積頻率分布圖或累積曲線三、直方圖§2.2數(shù)據(jù)的圖表描述75一、頻數(shù)分布表顯然，這是未分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布76一、頻率分布圖從中可看出什么？77二、累積頻率分布圖或累積曲線78三、直方圖（Histogram）以分組數(shù)據(jù)為依據(jù)繪制，矩形寬度是1%，高度是百分比，表中的相對頻率的計量單位是十分之幾79通過前面的頻數(shù)分析把握了數(shù)據(jù)的總體分布狀況之后，還需要進一步對連續(xù)型數(shù)據(jù)的分布特征有更為精確的認(rèn)識，這就需要通過計算基本描述統(tǒng)計量等途徑來實現(xiàn)。用統(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)的三大特征——集中趨勢（Centraltendency）離散趨勢（Dispersion)分布形態(tài)(Distribution)§2.3描述統(tǒng)計量（統(tǒng)計量描述）80觀測值的分布同時具有集中與離散兩個方面的趨勢一、集中趨勢——平均值的度量集中趨勢是對數(shù)據(jù)中心值的總度量，常用平均值代表離散趨勢是衡量數(shù)據(jù)與平均值的偏離程度81集中趨勢的極端情況離散趨勢的極端情況集中趨勢一、集中趨勢82集中趨勢一、集中趨勢眾數(shù)（Mode）中位數(shù)(Median)四分位數(shù)(quartile)算數(shù)平均值(Mean)幾何平均值831.眾數(shù)(Mode)眾數(shù)就是數(shù)據(jù)集合中出現(xiàn)頻數(shù)或次數(shù)最高的那個數(shù)值。比如，在15天期間，某一只股票每天的價格數(shù)據(jù)為10，12，9，8，12，15，14，12，11，10，12，10，12，10，11其中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值12就是眾數(shù)。84軟飲料頻數(shù)頻率%可口可樂1938雪碧1326杏仁露816新騎士510醒目510總計5010001020可口可樂雪碧杏

仁露

新

騎士醒目Mo=可口可樂定義：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的那個觀測值。50次購買軟飲料的頻數(shù)1.眾數(shù)(Mode)某企業(yè)工人按日產(chǎn)量分組日產(chǎn)量（件）人數(shù)比重%８１０４９３０１２１０６０２４１１７０２８１２５０２０１３２２8.8１４８3.2合計２５０100.0甲、乙兩城市家庭對住房狀況評價頻數(shù)分布非常不滿意不滿意一般滿意非常

滿意Mo=不滿意甲城市乙城市Mo=不滿意85小時數(shù)燈泡數(shù)43-48248-53153-58258-632163-682868-732873-783378-832683-882188-931993-981098-1036103-1082108-1130113-1181200只燈泡使用壽命頻數(shù)分布表200只燈泡使用壽命頻數(shù)分布直方圖眾數(shù)1.眾數(shù)——對于分組數(shù)據(jù)而言分組（組距式）離散數(shù)據(jù)的眾數(shù)計算公式眾數(shù)是此組中間的某個值86

回答類別頻頻累積次數(shù)

數(shù)

率%向上向下非常不滿意不滿意一般滿意非常滿意24108934530836311510241322252703003002761687530合計300100--

定義：將觀測值數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┡判蚝?，處于中間位置的觀測值就是中位數(shù)。Me=一般甲、乙兩城市家庭對住房狀況評價頻數(shù)分布2.中位數(shù)(Median)872.中位數(shù)(Median)對于未分組數(shù)據(jù)，首先把數(shù)據(jù)按照升序排列，比如，前面例子中15天股價數(shù)據(jù)排列后為8，9，10，10，10，10，11，11，12，12，12，12，12，14，15所以中間第八位的觀測值11就是中位數(shù)。88對于分組數(shù)據(jù),又細分為分組的離散數(shù)據(jù)與分組連續(xù)數(shù)據(jù)兩種，需要估計出中位數(shù)這個描述統(tǒng)計量分組離散數(shù)據(jù)：首先，要構(gòu)造累計頻率分布。其次，再估計第（n+1）/2位置的觀測值所在區(qū)間范圍。最后，使用插值法，求出該區(qū)間內(nèi)的具體的中位數(shù)。89比如，金融時報100指數(shù)的離散價格分組數(shù)據(jù)FTSE100觀測值數(shù)目（頻數(shù)）累計頻數(shù)≤20002000.1-21002100.1-22002200.1-23002300.1-24002400.1-25002500.1-26002600.1-27002700.1-28002800.1-29002900.1-30003000.1-31003100.1-32003200.1-3300026469751712110281218273439404748505152合計5252第（52+1）/2=26.5個位置的中位數(shù)在組（2400.1-2500）之間由于26.5的位置很接近27，故中位數(shù)應(yīng)接近2500，需要用插值法確定具體中位數(shù)的值90組距數(shù)據(jù)的中位數(shù)的計算原理——線性插值法利用兩個三角形相似原理，得到比例關(guān)系，從中求出x91對于分組的連續(xù)數(shù)據(jù)這是資產(chǎn)投資的月度收益率數(shù)據(jù)，n=51是奇數(shù)個數(shù)據(jù)9225%分位數(shù)50%分位數(shù)75%分位數(shù)最大

觀測值最小

觀測值中位數(shù)上四分位數(shù)下四

分位數(shù)（lowquartile）（upperquartile）50%的觀測值小于中位數(shù)50%的觀測值位于上下四分位數(shù)之間50%的觀測值大于中位數(shù)四分位數(shù)3.四分位數(shù)按照位置來確定四分位數(shù)93小時數(shù)燈泡數(shù)累積43-482248-531353-582558-63212663-68285468-73288273-783311578-832614183-882116288-931918193-981019198-1036197103-1082199108-1130199113-1181200Me=75.5QU=85QL=67結(jié)論：有50%的燈泡的壽命在67-85小時之間200只燈泡使用壽命頻數(shù)分布表四分位數(shù)3.四分位數(shù)94定義：所有觀測值相加再除以觀測值的個數(shù)為樣本均值，又稱為算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticmean）。簡單算數(shù)平均值加權(quán)算數(shù)平均值均值4.平均值（Mean）例如，一星期5個工作日內(nèi)，某特定資產(chǎn)的價格觀測值為225，225，240，215，230=227，所以該資產(chǎn)在此期間內(nèi)的平均價格為22795小時數(shù)燈泡數(shù)f組中值x43-48245.548-53150.553-58255.258-632160.563-682865.568-732870.573-783375.578-832680.583-882185.588-931990.593-981095.598-1036100.5103-1082105.5108-1130110.5113-1181115.5200只燈泡使用壽命頻數(shù)分布表均值4.平均值=76.1（小時）所以這批燈泡的平均壽命為76.1小時96平均值的性質(zhì)1.所有觀測值與其均值的離差之和等于0。2.所有觀測值與其均值的離差平方和最小。+-均值4.平均值97性質(zhì)1性質(zhì)2均值平均值的性質(zhì)證明98關(guān)于統(tǒng)計量描述的收益與損失27.023.941.633.140.618.812.728.913.214.527.034.828.93.250.16028.815.07.25.116.713.719.111.115.610.05.61.533.98.3直方圖原始數(shù)據(jù)均值=19.2

當(dāng)數(shù)據(jù)集合被圖示或計算出統(tǒng)計量時，其總體水平和結(jié)構(gòu)狀況就顯示出來了。但同時數(shù)據(jù)集的某些豐富詳細信息也丟失了。102030405060501015均值4.平均值總之，均值和其他統(tǒng)計量僅能反映數(shù)據(jù)整體的基本特征99度量平均值的另一種方法：

幾何平均值（geometricmean）當(dāng)需要計算一定時期內(nèi)的平均變化率時經(jīng)常使用。比如，某股票交易所指數(shù)在5年內(nèi)按照以下年速度增長：+10%、+20%、+15%、-30%、+20%；那么算數(shù)平均比例就是+35%/5=7%但如果按年投資，每年得到的是下列定基指數(shù)：110、132、151.80、106.26、127.51,顯然，5年期的實際累計增長只有27.5%，再除以5，得到每年5.5%的平均增長率，對嗎？100上述計算不正確！我們想得到這樣一個增長率，使得如果每年都按照該增長率重復(fù)滾動增長5次，就會從110%變動到127.51%。這種周期性增長率的度量指標(biāo)是幾何平均數(shù)。對于已知的每年增長率為r1,r2,…,rn來說，先轉(zhuǎn)換成定基增長率X1=1+r1，X2=1+r2，…，Xn=1+rn,再用公式計算得出年平均增長率。在上面數(shù)值例子中，正確的5年內(nèi)的平均增長率的幾何平均值為101眾數(shù)是觀測值的重點中位數(shù)是觀測值的中心均值是觀測值的重心5.眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較102左偏右偏對稱三者的近似關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較5.眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較103不同類型變量適用的集中趨勢測度指標(biāo)變量類型定類變量定序變量定距變量集中趨勢測度指標(biāo)※眾數(shù)---※中位數(shù)四分位數(shù)眾數(shù)-※均值中位數(shù)四分位數(shù)眾數(shù)※為該類變量最適用的測度指標(biāo)眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較5.眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較104雖然兩組數(shù)據(jù)的平均值都是，但二者的離散程度不同。離散趨勢二、離散趨勢數(shù)據(jù)除了具有集中趨勢特征外，還有分散趨勢的特征105四分位差極差平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù)離散趨勢二、離散趨勢10625%分位數(shù)50%分位數(shù)75%分位數(shù)最大

觀測值最小

觀測值中位數(shù)上四分位數(shù)下四

分位數(shù)（lowquartile）（upperquartile）50%的觀測值小于中位數(shù)50%的觀測值位于上下四分位數(shù)之間50%的觀測值大于中位數(shù)四分位數(shù)1.四分位數(shù)差按照位置來確定四分位數(shù)107與中位數(shù)一樣，處于數(shù)據(jù)量的25%和75%位置的數(shù)據(jù)分別稱為低四分位數(shù)（LowQuartile）Q1和高四分位數(shù)（UpperQuartile）Q3四分位差：將高低兩個四分位數(shù)之間的范圍（Q3-Q1）被稱為四分位數(shù)偏差或半四分位數(shù)，是衡量數(shù)據(jù)圍繞中位數(shù)離散程度的度量指標(biāo)。（1）未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)所在位置的計算公式：1.四分位差108例如，對于前面使用的某股票價格數(shù)據(jù)：8，9，10，10，10，10，11，11，12，12，12，12，12，14，15Q1的位置=(n+1)/4=3.75,也就是近似為4；Q3的位置=3(n+1)/4=11.25,也就是近似為11;所以，Q1的數(shù)值是10，Q3的數(shù)值是12所以，Q3-Q1=12-10=2表示四分位數(shù)的范圍再除以２后等于１，表示整個數(shù)據(jù)與中位數(shù)的偏差程度．109（2）分組數(shù)據(jù)的四分位差的計算與分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的計算方法類似110四分位數(shù)（偏差）的計算111QU=85QL=6718小時數(shù)燈泡數(shù)累積43-482248-531353-582558-63212663-68285468-73288273-783311578-832614183-882116288-931918193-981019198-1036197103-1082199108-1130199113-1181200200只燈泡使用壽命頻數(shù)分布表四分位差與盒形圖說明有50%的觀測值集中于盒子之內(nèi)。盒子越窄，表明集中程度越高，即離散程度越低。QU=85QL=67四分位差1.四分位差112某地一星期中申請結(jié)婚女性年齡30275640303631242325293329223329462534192323442930252360252737242231242627一般情況下，極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，但其值易受極端值影響，且大部分?jǐn)?shù)據(jù)信息沒有利用極差2.極差（全距Range）113在這兩個例子中，雖然極差及四分位差均相等，但離散程度不同。所以前兩個指標(biāo)失效，需要用新的指標(biāo)3.平均差(AverageDeviation)11450名工人日產(chǎn)零件數(shù)的平均差計算表按零件分組組中值x頻數(shù)f105-110110-115115-120120-125125-130130-135135-140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2

合計-50-312

定義：所有觀測值與其平均值的離差絕對值的均值。平均差3.平均差115

用于統(tǒng)計描述，n為樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)。

用于統(tǒng)計推斷，因為s2為總體方差δ2的無偏估計量。n-1稱為自由度。方差是所有觀測值與其均值離差的平方的均值。標(biāo)準(zhǔn)差是所有觀測值與其均值離差的平方的均值的平方根。方差公式1方差公式2方差與標(biāo)準(zhǔn)差

此處，自由度是指樣本數(shù)據(jù)中可以自由取值的個數(shù)。譬如：

樣本容量為n，均值確定后，觀測數(shù)據(jù)中只有n-1個可以自由取值，其中必有一個不能自由取值，因此自由度為樣本容量減掉1。均方差公式1均方差公式2

方差的含義不易理解，且它的計量單位是觀測值計量單位的平方。而標(biāo)準(zhǔn)差的計量單位與觀測值計量單位是一致的。用于統(tǒng)計描述用于統(tǒng)計推斷4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差116按生產(chǎn)的零件數(shù)分組組中值x頻數(shù)f105-110110-115115-120120-125125-130130-135135-140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96

合計——50——3100.550名工人日產(chǎn)零件數(shù)的方差計算表方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差117S=3.00S=2.71S=0.82S=0.00理解標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差雖然均值都是6.0，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，則數(shù)據(jù)分散程度有很大差異11868%95%約100%經(jīng)驗法則

如果數(shù)據(jù)近似于鐘形分布，則有：約有68%的數(shù)據(jù)量與均值的距離在1個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；約有95%的數(shù)據(jù)量與均值的距離在2個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；幾乎所有的數(shù)據(jù)與均值的偏差在3個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差119企業(yè)編號產(chǎn)品銷售額銷售利潤1234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.08個企業(yè)的有關(guān)產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)離散系數(shù)離散系數(shù)（可用于統(tǒng)計推斷）5.離散系數(shù)（方差系數(shù)）120再比如，英國的FTSE100指數(shù)水平的變化離散性與美國的標(biāo)準(zhǔn)普爾S&P500指數(shù)變化的離散性前者在觀測期的指數(shù)水平的平均值大約是3700，而后者的平均值大約是650，這時應(yīng)使用離散系數(shù)來比較二個指數(shù)的離散性。如果僅僅衡量這兩個指數(shù)的收益情況的離散性，則可使用標(biāo)準(zhǔn)差就行了，因為數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)水平已經(jīng)剔除掉了。121關(guān)于離散性度量指標(biāo)的選擇這是由所使用的集中趨勢的度量指標(biāo)所決定的。如果采用中位數(shù)來衡量集中趨勢，就可用四分位數(shù)偏差作為離散程度的度量；如果采用平均值度量集中趨勢，就選用方差或標(biāo)準(zhǔn)差作為離散度量指標(biāo)1221.偏度2.峰度三、分布形態(tài)123頻數(shù)分布的對稱程度對稱左偏右偏1.偏度考慮數(shù)據(jù)離散狀況時是否有偏差也十分重要124頻數(shù)直方圖表現(xiàn)的偏度的三種形式

右偏：有一個向右的長尾，平均值被少數(shù)很大的觀測值提高了左偏：有一個向左的長尾。平均值被少數(shù)很小的觀測值降低了125三階矩偏度1.偏度——矩偏度系數(shù)偏度系數(shù)等于三階矩除以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方α3＞0，正偏（右偏）；α3＜0，負偏（左偏）；α3=0，對稱；α3越大，說明偏態(tài)程度越大。補充：矩（Moment）的概念126偏度1.偏度偏度系數(shù)為正，說明數(shù)據(jù)呈現(xiàn)正偏態(tài)。股票指數(shù)數(shù)據(jù)先算收益率與其均值偏差的三次方的第四列，再相加總后除以11，得到163.56，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的3次方，得到偏度系數(shù)0.87127頻數(shù)分布的陡峭程度尖頂峰正態(tài)峰平頂峰峰度計算公式峰度2.峰度比正態(tài)分布更尖端的分布是尖（高）峰態(tài)比正態(tài)分布更扁平的分布是平（低）峰態(tài)128直方圖顯示的峰度的三種形式129峰度2.峰度峰度（矩）系數(shù)的計算公式：四階矩除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方。也可用n,而不用n-1α4＞3，尖頂峰（高峰態(tài)）；α4=3，正態(tài)峰（常峰態(tài)）；α4＜3，平頂峰（低峰態(tài)）。130峰度2.峰度金融時報100指數(shù)的收益率的峰度計算由于計算得出的峰度系數(shù)是2.51，小于3.0，所以數(shù)據(jù)呈現(xiàn)低峰態(tài)131第二章描述統(tǒng)計學(xué)之二§2.4變量相關(guān)性的度量§2.5指數(shù)及其應(yīng)用132§2.4變量相關(guān)性的度量主要問題：一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)三、協(xié)方差和相關(guān)性的應(yīng)用四、投資多元化的風(fēng)險減少效應(yīng)133一、協(xié)方差(Covariance)在金融學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中，常常需要知道兩個隨機變量之間如何相互影響。例如，在投資組合管理中，為了度量投資組合的風(fēng)險，就需要知道組合中證券X的價格如何影響證券Y的價格，即欲知道兩個資產(chǎn)收益間的協(xié)方差或相關(guān)性。134（樣本）協(xié)方差的計算公式可見，（樣本）協(xié)方差依賴于X與Y的觀測值，因此較大的協(xié)方差有可能是由于較高的觀測值引起的，而不一定真正說明變量間的關(guān)系更密切，即協(xié)方差并不是反映變量間相關(guān)關(guān)系的最好指標(biāo)換言之，由于協(xié)方差是個絕對指標(biāo)，其數(shù)值有量綱，因而存在局限性，不便于兩個不同的協(xié)方差間的比較。135如果協(xié)方差為正，說明X與Y正相關(guān)，當(dāng)X取較大的數(shù)值時，Y也取較大的數(shù)值。反之，則反是。若協(xié)方差為0，表示X與Y不相關(guān)。左邊的散點圖說明X與Y間有較強負相關(guān)性；右圖說明基本無相關(guān)性，協(xié)方差近似為0136二、相關(guān)系數(shù)（Correlation）相關(guān)系數(shù)是度量兩變量之間（線性）相關(guān)性程度的指標(biāo)，是一個無量綱的度量，不受觀測值大小的影響，從而克服了協(xié)方差的局限性。相關(guān)系數(shù)的計算公式：其數(shù)值大小在-1與+1之間137數(shù)值舉例現(xiàn)有兩項資產(chǎn)：標(biāo)準(zhǔn)普爾(S&P)500指數(shù)的收益率X與金融時報100指數(shù)收益率Y，欲計算二者的相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)=21.499/（4.73×5.74）=0.793注意：相關(guān)系數(shù)僅僅是一種統(tǒng)計意義上相互聯(lián)系的度量，并不說明有因果關(guān)系。需要進行回歸分析以反映因果關(guān)系138三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用——

資產(chǎn)投資組合的風(fēng)險度量協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)在金融理論和實踐中有很多應(yīng)用。在這里，僅僅說明其在風(fēng)險資產(chǎn)投資組合中風(fēng)險方面的應(yīng)用。至于套期保值風(fēng)險的回歸分析有關(guān)的相關(guān)性在后面介紹。1391.投資組合的風(fēng)險度量單項資產(chǎn)的風(fēng)險可以用該資產(chǎn)收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來度量。類似地，投資組合的風(fēng)險可以用該投資組合收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來衡量。原理：資產(chǎn)收益是一個隨機變量，故對其取值波動的衡量（方差）用以表示風(fēng)險大小。投資組合的方差，等于投資組合中每對資產(chǎn)間協(xié)方差的加權(quán)之和。其中每個協(xié)方差的權(quán)重是這兩個資產(chǎn)各自權(quán)重的乘積，特定資產(chǎn)自己的方差就是一種自己與本身的協(xié)方差。1402.舉例：兩項資產(chǎn)A與B的投資組合風(fēng)險假設(shè)每項資產(chǎn)的收益分別是a、b,（它們均是隨機變量，常用相對數(shù)表示），組合中每項資產(chǎn)投資額的權(quán)重分別為wA，wB

，可記為權(quán)重列向量為W=（wA，wB

）T我們視該投資組合為一項抽象的資產(chǎn)，則該投資組合的收益的協(xié)方差矩陣可表示：141該投資組合的風(fēng)險（用方差衡量）可以表示為這里實際上是矩陣代數(shù)中的二次型W’ΣW的展開式142四、投資多元化的風(fēng)險減少效應(yīng)我們已經(jīng)知道，通過多元化的投資組合方式能夠有效降低或減少風(fēng)險。下面，我們將討論這一主題。假設(shè)，資產(chǎn)A和B的投資收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15%和14%，且組合中資產(chǎn)的投資額權(quán)重相等。首先，考慮資產(chǎn)的收益完全正相關(guān)，即ρ=+1.0的特殊情況。則投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差為這說明在兩資產(chǎn)收益率完全正相關(guān)的特殊情況下，投資組合的風(fēng)險是各個單項資產(chǎn)的風(fēng)險的加權(quán)平均。143其次，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0.6時，投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差為注意：這時組合后的風(fēng)險低于其中任何單項資產(chǎn)的投資風(fēng)險。再次，當(dāng)二資產(chǎn)收益呈完全負相關(guān)（即ρ=－1.0

）時，組合投資的風(fēng)險為可見，組合投資的風(fēng)險大大降低以至于接近0。因為當(dāng)一項資產(chǎn)收益增長時，另一項資產(chǎn)收益將下降同樣幅度，則組合資產(chǎn)收益不變，這就是套期保值交易的基礎(chǔ)。144重要啟示由上可見，進行投資組合能減少風(fēng)險的程度取決于風(fēng)險資產(chǎn)之間的相關(guān)性狀況。只有當(dāng)資產(chǎn)間有更強的負相關(guān)性時才能更有效的降低風(fēng)險。因此，所謂投資組合的多元化能有效降低（非系統(tǒng)）風(fēng)險的含義，不僅僅是指單純增加持有資產(chǎn)的數(shù)目，而關(guān)鍵在于增加那些與現(xiàn)有資產(chǎn)收益呈負相關(guān)或不相關(guān)的資產(chǎn)數(shù)量。145推廣到一般情形：組合投資資產(chǎn)數(shù)目有N項資產(chǎn)組合的方差表達式：只有當(dāng)各投資資產(chǎn)彼此相互獨立時，且投資權(quán)重也相同時候，則可以依靠單純增加資產(chǎn)數(shù)目N而減少投資組合的風(fēng)險。146投資組合能有效降低風(fēng)險的原理結(jié)論：當(dāng)資產(chǎn)組合數(shù)目N很大時，投資組合的風(fēng)險趨近于單個資產(chǎn)間的平均協(xié)方差。因為第一項趨近于0，只剩下第二項這一常數(shù)。因此，一個單項資產(chǎn)的總風(fēng)險會比在投資組合中的風(fēng)險要大。所以更多的選擇不太相關(guān)的資產(chǎn)納入到組合中能有效降低風(fēng)險。重要結(jié)論：投資組合的總風(fēng)險包括兩部分：一部分可以通過多樣化分散掉的部分，另一部分是不能通過多樣化分散掉的部分147§2.5指數(shù)(Index)指數(shù)與人們的日常生活密切相關(guān)。例如，居民消費價格指數(shù)CPI、零售物價指數(shù)、股票價格指數(shù)，等等。指數(shù)：是指某一經(jīng)濟現(xiàn)象在某一時期內(nèi)的數(shù)值與同一現(xiàn)象在另一個時期內(nèi)的數(shù)值的比值，它是個相對數(shù)，是一個描述統(tǒng)計量。指數(shù)之所以有用，就是概括了一組變量的綜合變化。如零售價格指數(shù)概括了“典型”家庭購買的一籃子商品或服務(wù)價格的變化。FTSE100指數(shù)概括了紐約股票交易所中列出的100種股票的價格變化。性質(zhì)：相對性、綜合性、平均性。148一、比較指標(biāo)指數(shù)價格指數(shù)的最簡單形式可以設(shè)計成單一商品的價格比值。如某一商品今天價格為P1,而昨天價格為P0，則此商品的相對價格就是價格比值，即P1/P0。如果價格比值>１,則說明價格上漲了。例如，如果第０天價格為12，第１天價格為14，則價格比值就是14/12＝1.1667,即價格上漲了？；若第１天價格下降為11,則比值11/12=0.9167,說明價格下降了？所以，指數(shù)的特點是要有一個可供比較的基期。指數(shù)的另一個特點是基礎(chǔ)價格（或基礎(chǔ)數(shù)量）被按照比例調(diào)整成100,或1000,則我們僅需要將價格比值乘以100或1000,如前例中，價格比值為116.67

(或91.67)149對于能概括出許多基礎(chǔ)變量的變化的指數(shù)而言，就必須面臨如何將眾多單一變量的變化“綜合”成一個指數(shù)問題。其中，包括兩個重要問題：一是如何“平均”這許許多多的變量的變化以便得到某一種單一的指數(shù)？二是怎樣看待其中的每個變量的相對重要性？150二、平均化方法的選擇如何把大量變量進行綜合和平均，常用的平均化方法有算數(shù)平均與幾何平均。以四種股價為例來加以說明：1.算數(shù)平均方法：通過簡單算術(shù)平均法得到的指數(shù)計算公式為：2.幾何平均法：公式但是幾何平均法有固有的偏差，其指數(shù)低估上升的幅度或高估下降的幅度，且一旦有一個成分股票下降到0，整個指數(shù)將下降到零，此外，指數(shù)表示的收益與成分股票構(gòu)成的投資組合的實際收益不盡一致。因此，我們選擇算數(shù)平均方法進行綜合151三、加權(quán)方法的選擇對指數(shù)中組成成分的股票賦予權(quán)重用來反映它們的相對重要性。通常有四種加權(quán)形式：對各成分同等加權(quán)；容易夸大小公司股價的變化，而低估大公司價格變化對各成分根據(jù)基期價格或數(shù)量加權(quán)；對各成分根據(jù)現(xiàn)期價格或數(shù)量加權(quán)；對各成分根據(jù)現(xiàn)期價值加權(quán)，即價格×數(shù)量為權(quán)重152其中，第四種加權(quán)法構(gòu)成的指數(shù)

稱為資本加權(quán)指數(shù)大多數(shù)股票交易所，是根據(jù)市場組成成分的現(xiàn)期市場資本進行加權(quán)，即通過已發(fā)行證券的現(xiàn)期價格乘以現(xiàn)期數(shù)量來計算。該指數(shù)隨著每個證券相對價值的變化而變化，該變化也可能是單純由于價格、或單純數(shù)量、或二者同時變化引起的。如果某證券的相對價值上升，則其重要性會隨著權(quán)重（價格×數(shù)量）的增加而增加。當(dāng)然，若一個公司發(fā)行了更多股票，只要P不下降，則P×Q就會增加，則該證券在指數(shù)中的權(quán)重就增加。所以，資本加權(quán)指數(shù)偏向于比較成功的公司，因為這些公司有不斷上升的股價和增發(fā)股票，他們的權(quán)重就增加。另外，不成功的公司由于股價下降而最終會被擠出指數(shù)，為那些最初不是指數(shù)成分的其他更成功的公司的進入讓路。153目前，大部分的股票市場指數(shù)是市場資本加權(quán)法計算的，只有一小部分采用的是價格比值的算數(shù)平均值法，或者是幾何平均值法。比如，道·瓊斯工業(yè)平均指數(shù)、美國交易所的主要市場指數(shù)MMI都是采用算數(shù)平均形式計算。金融時報Ordinary指數(shù)就是30種股票同等加權(quán)的價格比值的幾何平均值。倫敦FTSE100和250指數(shù)、美國S$P100和500指數(shù)則是市場資本加權(quán)的價格比值的算數(shù)平均值。154舉例說明，市場資本加權(quán)的價格比值的算數(shù)平均法現(xiàn)構(gòu)造一個由四只股票構(gòu)成一個指數(shù)。已知：公司A發(fā)行1000股股票，每股股價100；公司B發(fā)行10000股股票，每股股價25；公司A發(fā)行5000股股票，每股股價50；公司A發(fā)行8000股股票，每股股價50；則每一個公司的市場資本為A：1000×100=100000；B：10000×25=250000；C：5000×50=250000；D：8000×50=400000市場資本的總價值就是1000，000，這就是指數(shù)的基本價值，比如它可抽象為1000點；155為了編制表示成分股票價格變化情況的指數(shù)，假如一天后股票價格分別為，PA=105；PB=260；PC=45；PD=55；此時的市場資本為1030000。則指數(shù)為1030000/1000=1030點；也就是說，雖然其中有的股價下降了，但指數(shù)的總價值比最初時候還是上升了。156四.股票價格指數(shù)的含義是指能夠反映某一股票市場上多種股票價格變動趨勢的相對數(shù)，或者說，是一種反映股市總體價格變動和走勢的指標(biāo)，簡稱股價指數(shù)。其單位一般用“點(point)”表示．一般將基期指數(shù)作為100，每上升或下降一個單位稱為“1點”。也有的成分指數(shù)的基期指數(shù)作為1000點。目前，世界各國主要交易所都有自己的股票價格指數(shù)，如美國的道·瓊斯股票價格指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)普爾股票價格指數(shù)、日本的日京指數(shù)、香港的恒生指數(shù)、等。我國，上海證券交易所和深圳證券交易所發(fā)布的綜合指數(shù)基準(zhǔn)日指數(shù)均為100點；而兩所發(fā)布的成分指數(shù)基準(zhǔn)日指數(shù)均為1000點。1571.股價指數(shù)的分類（1）根據(jù)股價指數(shù)反映的價格走勢所涵蓋的范圍不同，可以分為綜合指數(shù)：反映整個股市價格走勢。如，上證綜合指數(shù)、深證綜合指數(shù)分類指數(shù)：反映某一行業(yè)或某一類股票價格走勢。如，工業(yè)指數(shù)、農(nóng)林牧漁業(yè)指數(shù)（2）根據(jù)納入的股票樣本數(shù)量不同，可分為全上市股票價格指數(shù)：成分指數(shù)：如上證30指數(shù)、滬深300指數(shù)1582.股票價格指數(shù)的常用計算一般公式一般多采用以報告期的發(fā)行數(shù)量為權(quán)重的加權(quán)平均方法計算，其公式為其中，pi為第i種股票價格，qi為第i種股票的發(fā)行量，一般以報告期為權(quán)數(shù)。1593.舉例說明假設(shè)有三種股票的價格和發(fā)行量數(shù)據(jù)如下表所示。試計算股票價格指數(shù)。這說明股價指數(shù)上漲了24.68點.股票名稱基期價格p0某日收盤價pi報告期發(fā)行量qiABC102518152125250010001500160編制股票指數(shù)要考慮的因素基準(zhǔn)期的選擇：可以是過去的某一天，或某個時期，也可以是特定一段時間的平均值；同時基期不能是太遙遠的過去。指數(shù)成分的選擇：在金融市場，指數(shù)成分是由要反映的部門決定的，一般應(yīng)該是由大公司的股票構(gòu)成，但由于公司電話i便哈u的主題，股票指數(shù)的構(gòu)成成分也不斷變化，有些公司由于不再符合指數(shù)進入準(zhǔn)則而離開指數(shù)成分公司，也有些公司因符合進入準(zhǔn)則而進入指數(shù)，161舉例說明，股票價格指數(shù)FTSE100指數(shù)是由倫敦股票交易所根據(jù)資本價值確定的100家最大公司組成的。因而該指數(shù)是資本加權(quán)指數(shù)（按照市場資本劃分組成成分），指數(shù)成分隨相對資本變化而變化，基準(zhǔn)值是1000點，基準(zhǔn)日是1984年12月31日，在交易日內(nèi)分鐘計算一次股價指數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)普爾100指數(shù)，也是資本加權(quán)指數(shù)，包括美國前100只交易最活躍的股票；S%P500包括紐約股票交易所最大的456只股票，ＮＡＳＤＡＱ交易的３６只股票以及交易所其他８支股票；162本章作業(yè)由第三和第四小組分別各自尋找一個應(yīng)用實例來說明描述統(tǒng)計學(xué)方法在你們已學(xué)過的許多金融知識中的應(yīng)用，并撰寫一個應(yīng)用分析小論文。請通過查閱相關(guān)資料來分別舉例說明我國上海證券交易所和深圳證券交易所發(fā)布的一些綜合指數(shù)的基準(zhǔn)日是哪一天？其基礎(chǔ)價值又是多少？并舉出其中具體的一種股價指數(shù)的計算方法。1633.（1）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)構(gòu)建一個市場資本加權(quán)指數(shù)，基期值是1000。（2）如果股票價格發(fā)生如下變化，請重新計算指數(shù)值：A=2.7；B=1.3；C=1.2；D=1.4；E=2.7公司發(fā)行股本（萬元）股票價格（元）ABCDE10050010008007502.51.750.801.603.00164第三章金融中的概率方法內(nèi)容概覽§3.1概率論基礎(chǔ)及常用的金融概率分布§3.2金融中概率方法的應(yīng)用165§3.1概率論基礎(chǔ)及常用的金融概率分布一、概率論基礎(chǔ)二、幾個常用的金融概率分布166一、概率論基礎(chǔ)1.隨機事件及其概率計算2.隨機變量及其概率分布3.隨機變量的數(shù)字特征1671.隨機事件及其概率計算（1）隨機事件：A、B（2）事件的加法法則：P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)（3）事件的乘法法則：P(AB)=P(A)·P(B/A）=P(B)·P(A/B）168例如，假定金融時報100指數(shù)以0.55的概率上升，以0.45的概率下跌；還假定同一時間內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)以0.35的概率上升，以0.65概率下跌；再假定兩個指數(shù)可能以0.3的概率同時上升。那么，（1）金融時報100指數(shù)，或者標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)上升的概率是多少？（2）若兩指數(shù)相互獨立，二者同時上漲的概率多大？（3）在給定金融時報100指數(shù)已經(jīng)上漲的條件下，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)上漲的概率多大？1692.隨機變量及其概率分布（1）隨機變量的定義將隨機變量X（ω）視為定義在樣本空間Ω上的函數(shù)。簡言之，隨機變量是依賴于隨機結(jié)果的特殊變量。這是R.V.的本質(zhì)。（2）概率分布的定義一種描述概率分布的方法是，分別就離散型與連續(xù)型隨機變量分別討論：對應(yīng)地用分布列與密度函數(shù)來刻畫其概率分布；另一種刻畫概率分布的方法是，二者統(tǒng)一用分布函數(shù)來刻畫其概率分布狀況?！?703.隨機變量的數(shù)字特征：期望與方差1.數(shù)學(xué)期望2.方差注意其經(jīng)濟意義171二、幾個常用的金融概率分布1.離散型R.V.的分布：二項式分布、泊松（Poisson）分布2.連續(xù)型R.V.的分布：正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布1721.二項(式)分布金融中最重要的離散分布之一就是二項式分布,也稱為貝努利(Bernoulli)分布。某隨機變量X必須滿足下列條件：第一，每一次觀測或試驗中，變量只能出現(xiàn)兩個可能的取值或結(jié)果：“成功”或“失敗”第二，對于連續(xù)進行的n次觀測或試驗中每一次試驗，每個可能結(jié)果的概率是常數(shù)；第三，每次試驗是獨立的記每一次試驗中”成功”的概率為p,且連續(xù)進行的n次獨立試驗中“成功”的次數(shù)記作隨機變量X。則稱為X服從參數(shù)為n,p的二項式分布，記為其中，X可能取值為0，1，2，…，n173二項概率公式、期望值與標(biāo)準(zhǔn)差：假設(shè)用X表示連續(xù)獨立的n次試驗中，“成功”這一結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)，則X是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，…，n;且某一隨機結(jié)果（即”成功”出現(xiàn)j次）發(fā)生的概率為服從二項分布的隨機變量X的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為174特別的，當(dāng)n=1時,X就成為極其特殊的０—１分布Ｐ(Ｘ＝j(luò))=pj(1-p)1-j,(j=0,1)175比如，資產(chǎn)價格在下一分鐘內(nèi)上升或下降的概率均為0.5，那么，下兩分鐘內(nèi)，價格上升2次、1次和0次的概率分別為176當(dāng)二項分布的n很大時，即隨機結(jié)果有大量觀測值時，而且其均值既不接近于0，也不接近于n時，此時，二項分布接近于正態(tài)分布。二項分布是模擬資產(chǎn)價格的行為的有利工具。特別是在模擬衍生證券的定價，構(gòu)造數(shù)值近似的價格時非常有用，應(yīng)該深刻理解其概率分布的特點。1772.泊松（Poisson）分布我們假定，引起市場價格發(fā)生顯著變化的信息是以一種離散的、獨立、隨機和均勻速度運動的。比如，平均每分鐘有10條信息到達交易所，那么請問：“在下一分鐘內(nèi)僅有8條信息到達的概率為多少？”比如，我們嘗試用n=60,概率為p=1/6的二項公式分布來模擬它，那么，60秒(即一分鐘內(nèi)的間隔為一秒)內(nèi)信息到達的數(shù)量可能分別為0，1，2，…,60條，共計61種可能結(jié)果，對于可能的結(jié)果j=8而言，其概率為178二項分布模型的局限性：在信息高速發(fā)展的信息時代，每秒鐘內(nèi)甚至每個瞬間內(nèi)都有信息運動更細化為n=120（每半秒間隔）,p=1/12,其對應(yīng)的概率為類似地，隨著逐漸減少時間間隔，模型的數(shù)據(jù)量越來越多，隨機變量的可能取值越來越多，但最后的概率值并沒有多大改變：對于n=240,p=1/24,概率為0.113534；對于n=480,p=1/48,概率為0.113067；這就是該模型的局限性。即隨著觀測次數(shù)無限增大時，概率值不再敏感了179Poisson分布是二項式分布的極端情形當(dāng)試驗次數(shù)n趨于無窮大，成功的概率p趨于0，而均值λ=np為常數(shù)的情形。概率公式為記作P(λ)。Poisson分布有一個參數(shù)λ，代表事件發(fā)生的平均速度（數(shù)學(xué)期望），在上例中為10，即1分鐘內(nèi)平均有10條信息到達，且其具體的可能取值有無窮多。對于均值為10的Poisson分布，發(fā)生8次事件的概率為180Poisson分布的期望與方差相等，均為λ如果λ足夠大，我們就可用正態(tài)分布N（λ，λ）來近似估計Poisson分布181Poisson分布的應(yīng)用以金融時報100指數(shù)的日收益率大幅度波動的概率模型為例來說明Poisson分布的應(yīng)用。我們感興趣的是模擬該指數(shù)的日變化（即日收益率）超過1%的過程。首先，需要估計出來λ的數(shù)值才能已知Poisson分布。根據(jù)該指數(shù)自1984年1月3日到1992年4月3日期間的日數(shù)據(jù)的分析表明：在這8.25年中，每6個月內(nèi)該指數(shù)日變化超過1%的平均次數(shù)為5次，則λ=5。182那么，欲求在接下來的6個月內(nèi)，至少發(fā)生3次這種變化的概率多大？采用逆事件的概率求解。需要首先分別求出發(fā)生0、1、2次的概率，之后再用1減去這幾種可能的概率即可。設(shè)X表示發(fā)生的次數(shù)：則有概率如下183因此，有所以，在接下來的6個月內(nèi)該指數(shù)的日收盤價的變化至少有3次超過1%的可能性是95.1%，也就是說，該股價指數(shù)日收益率超過１％至少有三次的概率高達95.1％1843.正態(tài)分布(Normaldistribution)因為大多數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布都是正態(tài)或高斯（Gauss）分布，因而正態(tài)分布應(yīng)用最廣泛。它是連續(xù)分布，可用于模擬離散型的隨機變量。185正態(tài)分布的密度