備戰(zhàn)高考真題測試：數(shù)列理科教師版

數(shù)列強化測試、選擇題1.已知an為等比數(shù)列，a4 a72,a5a6 8,則a1 a10TOC\o"1-5"\h\zA.7 B.5【答案】D【解析】a4a72,a5a6a4a7

C. D.8 a4 4,a7 2或24 2,a7 4a4 4,a72a1 8,aio 1 a〔 a)oa4 2,a7 4a10

8,a1 1 a1 a10 72.設(shè)Sn是公差為dd0的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的??是 （ ）A.若d0,則數(shù)列S有最大項B.若數(shù)列&有最大項，則d0C.若數(shù)列&是遞增數(shù)列，則對任意的nN,均有&0D.若對任意的nN,,均有&0,則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【答案】C【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：1,0,1,2,3，.滿足數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，但是Sn0不成立..在等差數(shù)列｛an｝中，a21,a5,則｛an｝的前5項和S5=A.7 A.7 B.15【答案】B【解析】2da4a2514C.20 D.25d2,a1a2d12 1,一 (a1a5)565a5a23d167,故S5(-1~~52———15.2 2

n項和公式，解題時要認(rèn)真【考點定位】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前審題，仔細(xì)解答n項和公式，解題時要認(rèn)真4.設(shè)函數(shù)f(x)2xcosx,{an}是公差為一的等差數(shù)列，82c13D.—16f(a1)f(a2) f(a5)5，則[f(a3)]ac13D.—16TOC\o"1-5"\h\z1 2 1A.0 B2 C16 8【答案】D【解析】?數(shù)列an是公差為一的等差數(shù)列，且f(a1)f(a2) f(a5)58,,2(a1a2,,2(a1a2a5)(cosa1cosa2cosa5)5(cosa1cosa2cosa5) 0,即2(a1 a2aj 25a3 5TOC\o"1-5"\h\z得a3 —,a1 ,a53232 1316 162 2??[f(a3)] a1a3(2a3cosa3) a1a5【點評】本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí).另外，(cosa〔cosa2 cosas)0,隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力1n5.設(shè)an—sin——,Sna〔a2 an.在&$,，&00中，正數(shù)的個數(shù)是n25()A.25. B.50. C.75. D.100.【答案】D【解析】對于1k25,ak0a250,Sk1k25都是正數(shù).當(dāng)26k. k49時，令石，則以k當(dāng)26k. k49時，令石，則以k一畫出k終邊如右,其終邊兩兩關(guān)于X軸對稱,即有sinksin(50k),其終邊兩兩關(guān)于X軸對稱,即有sinksin(50k),所以Sk1 1-sin -sin 2 ...1 21 .2 1 .c——sin26 ——sin2726 271 1sin23 —sin2423 241…...—sink

k1 1-sin —sin 21 21 1 sin50k1 1-sin —sin 21 21 1 sin50k50kksin24 sin232426 2327，其中k26,27,...,49,止匕時050kk,1 1所以——‘0又0(50k)24 ,所以sin(50k)0,50kk'從而當(dāng)k26,27,...,49，時，Sk都是正數(shù)，S50 S490 S490對于k從51至IJ100的情況同上可知Sk都是正數(shù).綜上，可選D.【評注】本題中數(shù)列難于求和，可通過數(shù)列中項的正、負(fù)匹配來分析Sk的符號，為此，需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學(xué)思想 .而重中之重,是看清楚角序列的終邊的對稱性，此為攻題之關(guān)鍵.6.在等差數(shù)列an中，已知a4a816,則該數(shù)列前11項和S1 ( )A.58 B.88 C.143 D.176【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，Qa1ana4%16,、1 11(a1a11)882【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、 性質(zhì)及其前n項和公式，同時考查運算求解能力，屬于中檔題.解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確.7.觀察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則io.10 / 、ab ( )A.28 B.76 C.123 D.199【答案】C【解析】本題考查歸納推理的思想方法.觀察各等式的右邊,它們分別為1,3,4,7,11,發(fā)現(xiàn)從第3項開始,每一項就是它的前兩項之和，故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123故a10b10123.【點評】歸納推理常?？山柚皫醉椀墓残詠硗瞥鲆话阈缘拿} .體現(xiàn)考綱中要求了解歸納推理.來年需要注意類比推理等合情推理.8.定義在(，0)U(0,)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(,0)U(0,)上的如下函數(shù)：①f(x)X2;②fx 2x; ③f(x)7lxl； ④f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)"的f(x)的序號為 ( )A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】C【考點分析】：本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計算.【解析】：等比數(shù)列性質(zhì),anan2an21,①fanfan2fanfan2anan2 an1f an1;f an f an 2 2an2an2 2an an2 22an 1f2 an 1;③fanfan2lnanlnan2lnan1f2ani.選C9.等差數(shù)列an中，& a5 10,a4 7,則數(shù)列an的公差為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】Qa1a5102a14d10,而a4a【解析】Qa1a510【考點定位】該題主要考查等差數(shù)列的通項公式，考查計算求解能力【考點定位】該題主要考查等差數(shù)列的通項公式，考查計算求解能力.10.已知等差數(shù)列a10.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a55,S515,則數(shù)列1 ，… 的前100anan1項和為AW0101B.理AW0101B.理101C,國100D.出100【答案】An項和的公式的運用，n項和的公式的運用，以及裂項求和的綜合運用，通過已知中兩項，得到公差與首項，得到數(shù)列的通項公式，并進(jìn)一步裂項求和.【解析】由Sn,a55s15可得a14dai5al4——d1521【解析】由Sn,a55s15可得a14dai5al4——d1521ann1anan11

n(n1)§00 (11)(12 21、, ,1)L( 3 1001、( 1 100)1-101 101 10111.某棵果樹前n年得總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示，從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)A.5B.7D.11巨--

里取C高，m的值為【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長最快，超過平均值，所以應(yīng)Ig加入，因此選C.【考點定位】本小題知識點考查很靈活，要根據(jù)圖像識別看出變化趨勢，判斷變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來解，當(dāng)然此題若利用數(shù)學(xué)估計過于復(fù)雜，最好從感覺出發(fā)，由于目的是使平均產(chǎn)量最高，就需要隨著n的增大，Sn變化超過平均值的加入，隨著n增大，Sn變化不足平均值,故舍去.

TOC\o"1-5"\h\z.公比為3/2等比數(shù)列⑶｝的各項都是正數(shù),且a3a1116,則 ( )A.4 B.5 C. D.【答案】B2 9【解析】a3a11 16 a? 16 a? 4a^ a? q32 log2a16 5二、填空題.數(shù)列｛an｝滿足an1(1)nan2n1,則｛a0｝的前60項和為【答案】1830【解析】｛an｝的前60項和為1830可證明：bn1可證明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3 a4n2a4n2a4n16bn16, 「 _ /… 1514 _b1 a1 a2 a3 a410 S15 1015 --- 16 1830.設(shè)公比為qq0的等比數(shù)列an的前n項和為S.若S23a22,S43a42,貝Uq.2【解析】將S23a22,S43a42兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用口，q表示的式子.即a1a1q3a1q23 3 兩式作差得：aq2aq33alq(q21),即：a1aqa〔q aq 3a1q 22q2q30,解之得：q30rq1(舍去)..已知等差數(shù)列an的首項及公差均為正數(shù)，令bn 向Ja2012nnN,n2012當(dāng)bk是數(shù)列bn的最大項時，k【答案】1006【解析】因為bn0，當(dāng)b2最大時，bk也最大。b2ana2012n2.012n2為2a2012n當(dāng)且僅當(dāng)n2012n,n1006時取等。.已知等比數(shù)列為為遞增數(shù)列，且a；a10,2(ana02)5an1,則數(shù)列的通項公式an.【答案】2n【解析】Qa2胡，9簿4)2aq9,a〔q,anqn,1Q2(an an 2) 5an1,2an(1q) 5anq, 2(1q)5q,解得q 2或q 一(舍去)，an 22【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題..設(shè)數(shù)列an , bn都是等差數(shù)列，若a1 b1 7,a3 b321,則a5 b5 o【答案】35【解析】本題考查等差中項的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想(解法一)因為數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，所以數(shù)列anbn也是等差數(shù)列.故由等差中項的性質(zhì)，得a5b5 aih 2a3b3,即a5b57221,解得a5b535.(解法二)設(shè)數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,因為a3 b3 (ai2d1) (b1 2d2) (a〔 bi) 2(G d2) 72(d1 d2) 21,所以d1 d2 7.所以a5 b5 a b3) 2(d〔 d2) 35.【點評】對于等差數(shù)列的計算問題，要注意掌握基本量法這一通法，同時要注意合理使用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行巧解.體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來年需要等差數(shù)列的通項公式，前n項和，等差中項的性質(zhì)等..設(shè)N2nnN,n2,將N個數(shù)x1,X2,...,Xn依次放入編號為1,2,...,N的N個位置，得到排列Po X1X2 Xn,將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對應(yīng)的前段和后”位置，得到排列NPiX1X3X5 Xn1X2X4X6 Xn,將此操作稱為C變換，將Pl分成兩段,每段一2個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當(dāng)2in2時，將Pi分成2回，每段Nr2個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi,例如，當(dāng)N8時，P2 X1X5X3X7X2X6X4X8，此時X7位于P2中的第4個位置.(1)當(dāng)N16時，X7位于P2中的第_個位置；(2)當(dāng)N2nn8時，X173位于P4中的第___個位置.【答案】(1)6;(2)32n411【解析】(1)當(dāng)N16時，RX1X2X3X4X5X6LX16,可設(shè)為(1,2,3,4,5,6,L,16),P X1X3X5X7LX15X2X4X6LX16，即為(1,3,5,7,9,L2,4,6,8,L,16),PX1X5X9X13X3X7X11X15X2X6L%6，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,L,16),X7位于PZ中的第6個位置,；(2)方法同(1)，歸納推理知X173位于R中的第32n411個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題..回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù) .如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33,...,99.3位回文數(shù)有90個:101,111,121，…，191,202，…,999.則(I)4位回文數(shù)有(U)2n1(nN)位回文數(shù)有 個.【答案】：90,910n【考點分析】：本題考查排列、組合的應(yīng)用.【解析】：(1)4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0,有91:9種情況，第二位有100：9種情況，所以4位回文數(shù)有91090種.(H)法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n1位回文數(shù)和2n2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n2位回文數(shù)的個數(shù).2n2位回文數(shù)只用看前n1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項