課件數(shù)學(xué)第八章d8.3

一、全微分的定義二*、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第三節(jié)全微分

一、全微分的定義————函數(shù)f(x,y)對x的偏微分——函數(shù)f(x,y)對y的偏增量————函數(shù)f(x,y)對y的偏微分

全增量zf(xx,yy)f(x,y).1.偏增量與偏微分f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,——函數(shù)f(x,y)對x的偏增量

根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系,有f(xx,y)f(x,y)f(x,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y2.全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān),則稱函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,而AxBy稱為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作dz,即

dzAxBy.

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.

如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量

zf(xx,yy)f(x,y)可表示為(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微

,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對x的偏增量因此有反例:

函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理2

(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1.

計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.

計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1.近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:(可用于近似計(jì)算;誤差分析)(可用于近似計(jì)算)內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連