《空間向量基本定理》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《空間向量基本定理》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.掌握共面向量的判斷方法；2.理解空間向量基本定理，會用空間三個不共面的向量表示其他向量，解決立體幾何中的簡單問題；3.通過空間向量基本定理的推導(dǎo)過程，體會由低維到高維，由簡單到復(fù)雜的思維方法，培養(yǎng)類比的思想方法和空間想象能力．教學(xué)重難點教學(xué)重難點重點：掌握空間向量基本定理．難點：空間向量基本定理的證明．教學(xué)過程教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入回顧：你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？答案：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實數(shù)λ1a=λ若e1，e2不共線，我們把想一想：平面向量基本定理的價值是什么？在平面內(nèi)，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面內(nèi)的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x，y，使得p=xa+yb．特別地，當(dāng)a，那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結(jié)論呢？設(shè)計意圖：通過回顧平面向量基本定理的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進行思考，為講解空間向量基本定理作鋪墊．二、新知探究問題1：為了表示空間中的任意向量，我們至少需要幾個向量？兩個不共線的向量還夠用嗎？答案：由向量共面的充要條件可知，空間任意兩個非零向量，只能表示與其共面的任意一個向量，因此，至少需要三個向量．追問：任給三個向量都可以表示空間中的任意向量嗎？答案：當(dāng)三個向量共面時，無法表示與其不共面的向量，因而必須要求所給的三個向量不共面．問題2：設(shè)a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p？答案：由于向量具有可平移性，我們令表示向量a，b，c的有向線段都以空間任一點O作為起點．如圖，過點O作OA=a，OB=b，OC=c，因為向量a，b，c不共面，所以O(shè)，A作OP=當(dāng)點P不在直線OC上時，過點P作與OC平行的直線交平面AOB于點Q，則QP//OC，故存在實數(shù)z，使得在平面AOB內(nèi)，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x，yOQ=從而，存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組x，yp=OP當(dāng)點P在直線OC上時，則p//c，故存在唯一的實數(shù)z，使得p=zc．從而也存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組x我們也可以進一步將圖形補成一個長方體，將z倍的向量c平移至以O(shè)為起點，則三個分向量分別對應(yīng)從同一個頂點O出發(fā)的長方體的三條棱，向量p對應(yīng)這個長方體從頂點O出發(fā)的一條體對角線．追問：你能驗證這種表示方法的唯一性嗎？答案：假設(shè)還有另一個三元有序?qū)崝?shù)組x'，y'，0=x不妨設(shè)x≠a=-也就是說，向量a可以被向量b，c線性表示，不難得出，此時，向量a應(yīng)該與向量b，c共面，這與a，b，c是空間三個不共面的向量矛盾．因此，x=x'，y=因此，空間向量基本定理中三元有序?qū)崝?shù)組具有唯一性．空間向量基本定理：如果向量a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組x，y，z由上述定理可知，如果向量a，b，c是空間三個不共面向量，那么所有的空間向量組成的集合就是pp=xa+yb+zc，x，y，z∈R思考：空間的基有多少個，需要滿足什么條件？答案：無數(shù)個，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基．說明：如果向量中存在零向量，則不能作為基；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基．問題3：平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？答案：平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實數(shù)λ1，λ空間向量基本定理：如果向量a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組x，y，z1λ當(dāng)且僅當(dāng)λ11x當(dāng)且僅當(dāng)x=2任意兩個不共線的向量都可以作為平面的一組基，基不唯一．2任意三個不共面的向量都可以作為平面的一組基，基不唯一．3任意一個向量與有序?qū)崝?shù)對x，y3任意一個向量與有序?qū)崝?shù)對x，y4平面向量基本定理的模型是：平行四邊形．5空間向量基本定理的模型是平行六面體．思考：若O，A，B三點不共線，已知OP=mOA+nOB，其中m，n∈R，m+n類似地，設(shè)空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若點P滿足向量關(guān)系OP=xOA+yOB+zOC，其中x，y，z∈答案：由x+y+OP=xOA=xOA∴OP-OC即，CP=xCA+yCB．從而可得P設(shè)計意圖：類比平面向量基本定理，得出空間向量基本定理，加強學(xué)生知識遷移的能力，進一步探究空間四點空面的條件．三、應(yīng)用舉例例1：如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，點M是?A'B'C'D'的對角線的交點，點N是棱BC的中點．如果AB=a，AD=b，AA'=c解：∵點M是?A'B'C'D'的對角線的交點∴MA'=又AA'=-c所以MN=四、課堂練習(xí)1.設(shè)x=a+b，y=b+A．a(chǎn)，b，xB．x2.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，現(xiàn)用基向量OA，OB，OC表示向量OG，設(shè)OGA．x=13，y=13，z=13C．x=13，y=16，z=13參考答案：1.解：如圖所示，令A(yù)B=a，AA1=b，AD=c，則由于A，B1，C，D1四點不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a+2.解：連接ON．∵M，N分別是對邊OA，BC的中點，∴OM=∴OG=1∴x=16，y=1五、課