痛點問題之概率統(tǒng)計經(jīng)典解答題2023高考數(shù)學-考前高效沖刺-新高考版

23痛點問題之概率統(tǒng)計經(jīng)典解答題秒殺總結★我們用三條主線將高中數(shù)學概率、統(tǒng)計的有關概念串聯(lián)起來：一是統(tǒng)計的基本研究過程：收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→統(tǒng)計推斷．收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)統(tǒng)計推斷三種抽樣方法：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機法），系統(tǒng)抽樣，分層抽樣．五種統(tǒng)計圖表：頻率分布表，頻率分布直方圖，莖葉圖，散點圖，列聯(lián)表．兩種數(shù)字特征：集中趨勢(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))，離散程度（極差、方差、標準差）．三種統(tǒng)計推斷：用樣本估計總體（估計思想），回歸分析（擬合思想），獨立性檢驗（檢驗思想）．二是隨機事件的基本研究過程：隨機事件→事件概率→基本概型．隨機事件事件概率基本概型八種常見事件：隨機事件，基本事件，等可能事件，并事件，交事件，互斥事件，對立事件，相互獨立事件．三種常見求法：用頻率估計概率，利用基本概型的概率公式，轉化為簡單事件的概率.七種概率模型：古典概型，幾何概型，互斥事件概率，對立事件概率，條件概率，相互獨立事件概率，獨立重復試驗概率．三是隨機變量的基本研究過程：隨機變量→概率分布模型→分布列及數(shù)字特征．隨機變量概率分布模型分布列及數(shù)字特征兩類隨機變量：離散型隨機變量，連續(xù)型隨機變量．四種分布模型：兩點分布，超幾何分布，二項分布，正態(tài)分布．三個問題：概率分布列，數(shù)學期望，方差．典型例題例1．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））1971年“乒乓外交”翻開了中美關系的新篇章，2021年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內涵和外延得到了進一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.(1)比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【解析】【分析】（1）“比賽完3局時，求三人各勝1局”分為兩種情況，①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬輸給小張；②小張勝小王，小張輸給小馬，小馬輸給小王.（2）比賽完4局時，小馬做1次裁判分為兩種情況：①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬勝小張；②小王輸給小張，小張輸給小馬，小馬勝小王.比賽完4局時，小馬最多做2次裁判.(1)設小王與小張比賽小王獲勝記為事件A，小馬與小張比賽小張獲勝記為事件B，小馬與小王比賽小馬獲勝記為事件C，且A，B，C相互獨立.則設“比賽完3局時，三人各勝1局”記為事件M，則(2)X的可能取值為1，2則X的分布列為X12P則例2．（2022·全國·高三專題練習（理））2021年4月23日是第26個“世界讀書日”，某校組織“閱百年歷程，傳精神力量”主題知識競賽，有基礎題、挑戰(zhàn)題兩類問題.每位參賽同學回答次，每次回答一個問題，若回答正確，則下一個問題從挑戰(zhàn)題庫中隨機抽??；若回答錯誤，則下一個問題從基礎題庫中隨機抽取.規(guī)定每位參賽同學回答的第一個問題從基礎題庫中抽取，基礎題答對一個得10分，否則得0分；挑戰(zhàn)題答對一個得30分，否則得0分.已知小明能正確回答基礎類問題的概率為，能正確回答挑戰(zhàn)類問題的概率為，且每次回答問題是相互獨立的.(1)記小明前2題累計得分為，求的概率分布列和數(shù)學期望；(2)記第題小明回答正確的概率為，證明：當時，，并求的通項公式.【答案】(1)01040數(shù)學期望為(2)證明見解析，【解析】【分析】（1）寫出的可能取值，并求出相應的概率，從而求出分布列及期望；（2）根據(jù)題意列出與的關系式，利用構造法求出的通項公式.(1)的所有可能取值為0，10，40，.∴的分布列如下：01040；(2)根據(jù)題意得：第題回答正確的概率為，則，所以，而，∴成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故.例3．（2022·廣東·高三開學考試）學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數(shù)學期望；(2)設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時，取得最大值．【答案】(1)分布列見解析，（分）(2)【解析】【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出對應隨機變量的概率，從而可求出分布列，再根據(jù)期望公式求出數(shù)學期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為，再根據(jù)導出求出函數(shù)的單調區(qū)間，即可得出答案.(1)解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；(2)解：設一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值.例4．（2022·全國·高三專題練習）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.平均溫度21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)/個7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出關于的回歸方程.（計算結果精確到0.01）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應的概率.附：回歸方程中，，.參考數(shù)據(jù)52151771371781.33.6【答案】（1）；（2）當時，.【解析】【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷更適宜作為關于的回歸方程類型；對兩邊取自然對數(shù)，求出回歸方程，再化為關于的回歸方程；（2）由對其求對數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，求出函數(shù)的最值以及對應的值.【詳解】解：（1）由散點圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)關于溫度的回歸方程類型.對兩邊取自然對數(shù)，得，令，，，則，由數(shù)據(jù)得，，，所以，，所以關于的線性回歸方程為，則關于的回歸方程為；（2）由得，因為，令得，解得；所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以有唯一的極大值為，也是最大值；所以當時，.【點睛】本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了概率的計算與應用問題，屬于中檔題.例5．（2022·全國·高三專題練習）2020年我國科技成果斐然，其中北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)7月31日正式開通．北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成．北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于10米，實測的導航定位精度都是2~3米，全球服務可用性99%，亞太地區(qū)性能更優(yōu)．（Ⅰ）南美地區(qū)某城市通過對1000輛家用汽車進行定位測試，發(fā)現(xiàn)定位精確度近似滿足，預估該地區(qū)某輛家用汽車導航精確度在的概率；（Ⅱ）（?。┠车鼗竟ぷ魅藛T30顆衛(wèi)星中隨機選取4顆衛(wèi)星進行信號分析，選取的4顆衛(wèi)星中含3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個基地同時獨立隨機選取1顆衛(wèi)星進行信號分析，選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目記為，求的數(shù)學期望．附：若，則，，．【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（?。┓植剂幸娊馕觯?；（ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)“”原則及圖形的對稱性即可求解；（Ⅱ）（?。┯深}可知服從超幾何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由題可知服從二項分布，利用公式即可求解．【詳解】（Ⅰ）由，易知，則預估該地區(qū)某輛家用汽車導航精確度在的概率為0.84．（Ⅱ）（ⅰ）由題意知，，∴的分布列為∴．（ⅱ）5個基地相互獨立，每個基地隨機選取1顆衛(wèi)星是中圓地球軌道衛(wèi)星的概率為，所以5個基地選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目，∴．【點睛】方法點睛：本題以北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)為背景，考查正態(tài)分布、超幾何分布、二項分布，求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出取各個值時對應的概率，對應服從某種特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，考查學生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.過關測試1．（2022·全國·高三專題練習）第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知這種球的質量指標ξ(單位:g)服從正態(tài)分布N(270，).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分，負隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負隊積1分.已知第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為p(0<p<1).（1）如果比賽準備了1000個排球，估計質量指標在(260，265]內的排球個數(shù)(計算結果取整數(shù)).（2）第10輪比賽中，記中國隊3:1取勝的概率為.（i）求出f(p)的最大值點;（ii）若以作為p的值記第10輪比賽中，中國隊所得積分為X，求X的分布列.參考數(shù)據(jù):ζ~N(u，)，則p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544.【答案】（1）136；（2）（i）；（ii）分布列見解析.【解析】【分析】（1）由正態(tài)分布原則即可求出排球個數(shù)；（2）（i）根據(jù)二項分布先求出，再利用導數(shù)求出取得最大值時的值；（ii）根據(jù)比賽積分規(guī)則，得出中國隊得分可能的取值，然后求出分布列.【詳解】（1）因為ξ服從正態(tài)分布N(270，)，所以，所以質量指標在(260，265]內的排球個數(shù)為個；（2）（i），令，得，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；所以的最大值點；（ii）的可能取值為0，1，2，3.；；；；所以的分布列為0123P【點睛】求隨機變量的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質對結果進行檢驗.還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布.2．（山東省泰安肥城市2021屆高三高考適應性訓練數(shù)學試題（一））十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了關于國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要的決議，決定批準這個規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強原創(chuàng)性引領性科技攻關”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術，已成功實現(xiàn)離子注入機全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應用及第三代半導體等離子注入機，工藝段覆蓋至28，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機一站式解決方案.此次技術的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻.該企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次的芯片智能自動檢測顯示合格率為，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次芯片的次品率為，設個芯片中恰有個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機上使用.現(xiàn)對使用這款手機的用戶回訪，對開機速度進行滿意度調查.據(jù)統(tǒng)計，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對開機速度滿意的有人；安裝批次有部，其中對開機速度滿意的有人.求，并判斷是否有的把握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有關？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有關.【解析】【分析】（1）①利用對立事件、相互獨立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根據(jù)條件概率計算公式，計算出所求概率.（2）先求得的表達式，利用導數(shù)求得，填寫列聯(lián)表，計算，由此作出判斷.【詳解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率為.②設批次Ⅰ的芯片智能自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，由己知得，，則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事件，.（2）個芯片中恰有個不合格的概率.因此，令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為.由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片質量優(yōu)于批次.由數(shù)據(jù)可建立2×2列聯(lián)表如下：（單位：人）開機速度滿意度芯片批次合計IJ不滿意12315滿意285785合計4060100根據(jù)列聯(lián)表得.因此，有的把握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有關.【點睛】求解最值點有關的題目，是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，由此來求得最值點.3．（廣西桂林市、崇左市2021屆高三5月份數(shù)學（理）第二次聯(lián)考試題）十三屆全國人大常委會第二十次會議審議通過的《未成年人保護法》針對監(jiān)護缺失、校園欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡沉迷等問題，進一步壓實監(jiān)護人、學校、住宿經(jīng)營者及網(wǎng)絡服務提供者等主體責任，加大對未成年人的保護力度．某中學為宣傳未成年人保護法，特舉行一次未成年人保護法知識競賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲乙兩位同學組成一組，且同學甲和同學乙答對每道題的概率分為，．（1）若，，則在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；（2）當，且每輪比賽互不影響，如果甲乙同學在此次競賽活動中要想獲得“優(yōu)秀小組”的次數(shù)為9次，那么理論上至少要進行多少輪競賽？【答案】（1）；（2）至少要進行19輪競賽．【解析】【分析】（1）由題意可知獲“優(yōu)秀小組”的情況包含三種情況，分別計算概率，再求和；（2）首先計算甲乙同學獲得“優(yōu)秀小組”的概率，再根據(jù)，利用基本不等式求的范圍，再將概率表示為二次函數(shù)求的最大值，根據(jù)，計算的最小值.【詳解】（1）由題可知，所以可能的情況有：①甲答對1次，乙答對2次的概率②甲答對2次，乙答對1次的概率；③甲答對2次，乙答對2次的概率故所求的概率（2）他們在輪競賽中獲“優(yōu)秀小組”的概率為：因為，，，所以，，所以利用基本不等式知，當且僅當時，等號成立，，令，則，所以當時，，他們小組在競賽中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿足由，則，所以理論上至少要進行19輪比賽.【點睛】關鍵點點睛：本題考查獨立事件概率，二項分布，最值的綜合應用，重點考查讀懂題意，抽象與概括能力，屬于中檔題型，本題第二問的關鍵是求出每次獲得“優(yōu)秀小組”的概率的最大值，并能抽象概括他們小組在競賽中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿足.4．（2022·山東濰坊·模擬預測）某學校組織數(shù)學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了個相同的箱子，其中第個箱子中有個數(shù)學題，個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．(1)已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了個數(shù)學題，個物理題，且甲答對每一個數(shù)學題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時、的值．(2)若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．【答案】(1)①；②至少要進行輪游戲，，．(2)【解析】【分析】（1）①利用獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；②利用導數(shù)求出學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為的最大值，可知學生甲在輪活動中獲得獎品的個數(shù)，由可求得的值，即可得解；（2）設選出的是第個箱子，計算出在第個箱子中第三次取出的是物理題的概率為，進而可求得所求概率為，結合數(shù)列的求和公式可求得所求事件的概率.(1)解：①記“學生甲第一輪活動獲得一個獎品”為事件．則；②學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為，令，，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，即當時，．學生甲在輪活動中獲得獎品的個數(shù)，由，知．故理論上至少要進行輪游戲，此時，．(2)解：設選出的是第個箱子，連續(xù)三次取出題目的方法數(shù)為．設數(shù)學題為，物理題為，第三次取出的是物理題有如下四種情形：取法數(shù)為，取法數(shù)為，取法數(shù)為，取法數(shù)為，從而，第三次取出的是物理題的種數(shù)為．則在第個箱子中第三次取出的是物理題的概率為．而選到第個箱子的概率為，故所求的概率為．【點睛】關鍵點點睛：本題考查概率與數(shù)列的綜合應用，在求解第三問時，關鍵要求出在第個箱子中第三次取出物理題的概率，那么就應該對前三次取出的題目所屬科目進行列舉，進而求解.5．（2022·湖南·一模）甲、乙運動員進行乒乓球友誼賽，每場比賽采用5局3勝制(即有一運動員先勝3局即獲勝，比賽結束)．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3：0或3：1取勝的運動員積3分，負者積0分，以3：2取勝的運動員積2分，負者積1分，已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為．(1)甲、乙兩人比賽1場后，求甲的積分的概率分布列和數(shù)學期望；(2)甲、乙兩人比賽2場后，求兩人積分相等的概率．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)題意知X的可能取值為0，1，2，3﹒X＝0時，乙以3：0或3：1成績勝甲；X＝1時，乙以3：2成績勝甲；X＝2時，甲以3：2成績勝乙；X＝3時，甲以3：0或3：1成績勝乙.(2)設第i場甲、乙兩名運動員積分分別為，則，則，即，則，據(jù)此根據(jù)(1)中分布列計算概率即可.(1)隨機變量X的所有可能取值為，，，，，∴X的分布列為：X0123P∴數(shù)學期望；(2)記“甲、乙比賽兩場后，兩名運動員積分相等”為事件M，設第i場甲、乙兩名運動員積分分別為，則，因兩名運動員積分相等，∴，即，則，∴．6．（2022·福建福州·模擬預測）某超市開展購物抽獎送積分活動，每位顧客可以參加（，且）次抽獎，每次中獎的概率為，不中獎的概率為，且各次抽獎相互獨立．規(guī)定第1次抽獎時，若中獎則得10分，否則得5分．第2次抽獎，從以下兩個方案中任選一個；方案①：若中獎則得30分，否則得0分；方案②：若中獎則獲得上一次抽獎得分的兩倍，否則得5分．第3次開始執(zhí)行第2次抽獎所選方案，直到抽獎結束．(1)如果，以抽獎的累計積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應該選擇哪一個方案？并說明理由；(2)記顧客甲第i次獲得的分數(shù)為，并且選擇方案②．請直接寫出與的遞推關系式，并求的值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：．）【答案】(1)應選擇方案①，理由見解析；(2)，【解析】【分析】（1）分別求得兩個方案的累計積分的期望值即可進行選擇；（2）依據(jù)題給條件即可求得的值．(1)若甲第2次抽獎選方案①，兩次抽獎累計積分為，則的可能取值為40，35，10，5．

，，，，所以．

若甲第2次抽獎選方案②，兩次抽獎累計積分為，則的可能取值為30，15，10，則，，，，

因為，所以應選擇方案①．(2)依題意得，

的可能取值為10，5其分布列為105P所以，則，

由得，

所以為等比數(shù)列．其中首項為，公比為．

所以，故．7．（2022·全國·模擬預測）某商店計劃七月份訂購某種飲品，進貨成本為每瓶元，未售出的飲品降價處理，以每瓶元的價格當天全部處理完.依經(jīng)驗，零售價與日需求量依據(jù)當天的溫度而定，當氣溫時，零售價為每瓶元，日需求量為瓶；當時，零售價為每瓶元，日需求量為瓶；當時，零售價為每瓶元，日需求量為瓶.已知七月份每天氣溫的概率為，的概率為，的概率為.(1)求七月份這種飲品一天的平均需求量；(2)若七月份某連續(xù)三天每天的氣溫均不低于，求這三天銷售這種飲品的總利潤的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)瓶(2)答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得日需求量分別為、、時的概率，然后利用隨機變量的數(shù)學期望公式即可求解；（2）先設出每天的進貨量，分和求出日利潤，然后由題意得和的概率，對這三天的氣溫情況討論，求得這三天的總利潤的所有可能取值及其對應的概率，進而得分布列，即可求得數(shù)學期望.(1)解：設七月份這種飲品的日需求量為，則的可能取值有、、，由題意知，，，所以，故七月份這種飲品一天的平均需求量為瓶.(2)解：因為這三天每天的氣溫不低于，所以這三天這種飲品每天的需求量至多為瓶，至少為瓶，設這三天每天的進貨量為瓶，則，當時，日利；當時，日利潤.由題意知七月份某一天的氣溫的概率，所以的概率，的概率.設這三天銷售這種飲品的總利潤為，若這三天的氣溫都滿足，則，；若這三天中有兩天的氣溫滿足，一天的氣溫滿足，則，；若這三天中有一天的氣溫滿足，兩天的氣溫滿足，則，；若這三天的氣溫都滿足，則，.所以的分布列如下表所示：故，其中.【點睛】思路點睛：求解隨機變量分布列的基本步驟如下：（1）明確隨機變量的可能取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；（2）求出每一個隨機變量取值的概率；（3）列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列、組合數(shù)公式求隨機變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計數(shù)原理求隨機變量在不同取值下的概率.8．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評估藥物對目標適應癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示臨床療效評價指標A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關關系.隨機征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了一組數(shù)據(jù)，，其中表示連續(xù)用藥i天，表示相應的臨床療效評價指標A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗，剛開始用藥時，指標A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計算得到如下一些統(tǒng)計量的值：，，，，，其中.(1)試判斷與哪一個適宜作為y關于x的回歸方程類型？并建立y關于x的回歸方程；(2)新藥經(jīng)過臨床試驗后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.012，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009，兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨立.（i）隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；（ii）若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.【答案】(1)適宜，(2)（i）；（ii）【解析】【分析】（1）判斷出適宜作為y關于x的回歸方程類型，利用公式求出y關于x的回歸方程；（2）（i）設出事件，利用全概率公式進行求解，（ii）在第一問的基礎上，利用條件概率進行求解.(1)剛開始用藥時，指標A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩，故適宜作為y關于x的回歸方程類型.令，得，于是，因為，，所以，，所以，，即；(2)（i）設“隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格”，“隨機抽取一件藥品為第1條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，“隨機抽取一件藥品為第2條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，又，，于是.（ii）.9．（2022·全國·高三專題練習）某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習慣，很快找到寶寶想聽的內容.同時提供快樂兒歌、國學經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內容，且云端內容可以持續(xù)更新.萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人（以下簡稱產(chǎn)品），統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該公司為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程.（i）建立關于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤-營銷費用，?。?參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.【答案】（1）每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元（2）（i）（ii）該廠應投入256萬元營銷費.【解析】【分析】（1）分別求出三類產(chǎn)品的頻率，求出分布列及其數(shù)學期望即可；（2）（i）利用公式求出相關系數(shù)，即可求出回歸方程；（ii）設年收益為萬元，求出，設，，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求出的最大值.【詳解】（1）設每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以隨機變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元；（2）（i）由得，，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，所以，，即，因為，所以，故所求的回歸方程為；（ii）設年收益為萬元，則，設，，則，當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，所以，當，即時，有最大值為768，即該廠應投入256萬元營銷費，能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大768萬元.【點睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題，求回歸直線方程的步驟：（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；（2）計算的值；（3）計算回歸系數(shù)；（4）寫出回歸直線方程.10．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（理））11月，2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過輪投球，用表示經(jīng)過第輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規(guī)定，經(jīng)過計算機計算可估計得，請根據(jù)①中的值分別寫出a，c關于b的表達式，并由此求出數(shù)列的通項公式.【答案】（1）分布列見解析；（2）①；②，.【解析】【分析】（1）經(jīng)過1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨立，計算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由兩輪的得分可計算出，計算時可先計算出經(jīng)過2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結合的分布列和的分布可計算，由，代入，得兩個方程，解得，從而得到數(shù)列的遞推式，變形后得是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式得，然后用累加法可求得．【詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經(jīng)過2輪投球，甲的得分取值：記，，，則，，，，由此得甲的得分的分布列為：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，∴．∴．【點睛】本題考查隨機變量的概率分布列，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查由數(shù)列的遞推式求通項公式，考查學生的轉化與化歸思想，本題難點在于求概率分布列，特別是經(jīng)過2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫出各種可能，然后由獨立事件的概率公式計算出概率．11．（2022·遼寧·一模）北京時間2021年11月7日凌晨1點，來自中國賽區(qū)的EDG戰(zhàn)隊，捧起了英雄聯(lián)盟S11全球總決賽的冠軍獎杯．據(jù)統(tǒng)計，僅在bilibili平臺，S11總決賽的直播就有3.5億人觀看．電子競技作為正式體育競賽項目已經(jīng)引起越來越多的年輕人關注．已知該項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2），兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組．第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3），獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4），失敗隊伍（已兩?。┍惶蕴ǐ@得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組．第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5），失敗隊伍被淘汰（獲得季軍);獲勝隊伍成為敗者組第一名．第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6），爭奪冠軍．假設每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5，每場比賽之間相互獨立．問：(1)若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們仍能在決賽中對陣的概率是多少？(2)已知隊伍B在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍B獲得亞軍的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)分析得到獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，從而求出相應的概率；（2）合理設出事件，利用條件概率公式進行求解.(1)由題意可知，第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，所以所求的概率為(2)設表示隊伍B在比賽i中勝利，表示隊伍B在比賽i中失敗，設事件E：隊伍B獲得亞軍，事件F：隊伍B所參加的所有比賽中敗了兩場，則事件F包括，，，，，且這五種情況彼此互斥，進而事件包括，且這兩種情況互斥，進而所以所求事件的概率為12．（2022·重慶八中高三階段練習）女排世界杯比賽采用局勝制，前局比賽采用分制，每個隊只有贏得至少分，并同時超過對方分時，才勝局；在決勝局（第五局）采用分制，每個隊只有贏得至少分，并領先對方分為勝.在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得分，并獲得下一球的發(fā)球權，否則交換發(fā)球權，并且對方得分.現(xiàn)有甲乙兩隊進行排球比賽.（1）若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；（2）若前四局比賽中甲?乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分為甲?乙各分，且甲已獲得下一發(fā)球權.若甲發(fā)球時甲贏分的概率為，乙發(fā)球時甲贏分的概率為，得分者獲得下一個球的發(fā)球權.求甲隊在個球以內（含個球）贏得整場比賽的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）先確定甲隊最后贏得整場比賽的情況，再分別根據(jù)獨立事件概率乘法公式求解，最后根據(jù)互斥事件概率加法公式得結果；（2）先根據(jù)比賽規(guī)則確定x的取值，再確定甲贏得整場比賽的情況，最后根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得結果.【詳解】（1）甲隊最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A，所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為，（2）設甲隊x個球后贏得比賽，根據(jù)比賽規(guī)則，x的取值只能為2或4,對應比分為兩隊打了2個球后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發(fā)球甲得分，打第二個球甲發(fā)球甲得分，此時概率為；兩隊打了4個球后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發(fā)球甲得分，打第二個球甲發(fā)球甲失分，打第三個球乙發(fā)球甲得分，打第四個球甲發(fā)球甲得分，或打第一個球甲發(fā)球甲失分，打第二個球乙發(fā)球甲得分，打第三個球甲發(fā)球甲得分，打第四個球甲發(fā)球甲得分，此時概率為.故所求概率為：13．（2022·全國·高三專題練習）有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有2個白球2個紅球，從甲袋中隨機取出一球與乙袋中隨機取出一球進行交換．（1）一次交換后，求乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率；（2）二次交換后，記X為“乙袋中紅球的個數(shù)”，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）分甲乙交換的均是紅球，甲乙交換的均是白球，兩種情況討論即可得解；（2）寫出隨機變量X的所有可能取值，先分別求出一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有1個白球3個紅球，乙袋中有3個白球1個紅球的概率，從而可求得對于隨機變量的概率，寫出分布列，根據(jù)期望公式即可求出數(shù)學期望.【詳解】解：（1）甲乙交換的均是紅球，則概率為，甲乙交換的均是白球，則概率為，所以乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率為；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球的概率為，乙袋中有1個白球3個紅球的概率為，乙袋中有3個白球1個紅球的概率為，則，，，，，所以隨機變量X的分布列為X01234P所以數(shù)學期望.14．（2022·全國·高三專題練習）安慶市某學校高三年級開學之初增加晚自習，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學校在原有一個餐廳的基礎上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復.假設學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學校解決以下問題：為提高學生服務意識和團隊合作精神，學校每天從20個班級中每班抽調一名學生志愿者為全體學生提供就餐服務工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.【答案】（1）分布列答案見解析，；（2）；（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.【解析】【分析】（1）依題意可得，進而可得分布列和期望；（2）由可得結果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【詳解】（1）某同學第二天選擇餐廳甲就餐的概率，某同學第二天選擇餐廳乙就餐的概率，位同學第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.，的分布列為0123故.（2）依題意，，即.（3）由（2）知，則當時，可得，數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列.，即.，所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.【點睛】關鍵點點睛：第（1）問的關鍵點是：探究得到；后兩問的關鍵點是得到遞推關系.15．（2022·全國·高三專題練習）國際比賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場比賽的失敗者直接淘汰，常見的有等等．表示雙方進行一局比賽，獲勝者晉級．表示雙方最多進行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級；若前兩局兩人各勝一局，則需要進行第三局決勝負．現(xiàn)在四人進行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進行，勝者晉級，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨立．（1）在C進入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；（2）記A參加比賽獲勝的局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立重復事件的概率公式，結合條件概率的計算公式進行求解即可；（2）參加比賽獲勝的局數(shù)的取值有0，1，2，3，求出每種可能性的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學期望公式進行運算求解即可.【詳解】解：（1）進入第二輪的概率為，與比賽，獲勝，與比賽，獲勝，且與比賽，獲勝，其概率為，故在進入第二輪的前提下，最終獲得冠軍的概率．（2）參加比賽獲勝的局數(shù)的取值有0，1，2，3．，，，．的分布列為：0123．【點睛】關鍵點睛：根據(jù)條件概率的運算公式、認真閱讀題干理解題意是解題的關鍵16．（2022·山東青島·一模）規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；(2)為驗證抽球試驗成功的概率不超過，有1000名數(shù)學愛好者獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關于的回歸方程，并預測成功的總人數(shù)（精確到1）；(3)證明：．附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為(2)回歸方程為，預測成功的總人數(shù)為465(3)證明見解析【解析】【分析】（1）結合相互獨立、獨立重復試驗的概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學期望.（2）利用換元法，結合回歸直線方程的計算公式，計算出關于的回歸方程，并由求得預測值.（3）通過求“在前輪沒有成功的概率”大于，來求得“前輪就成功的概率”小于，從而證得不等式成立.(1)由題知，的取值可能為1，2，3所以；；；所以的分布列為：123所以數(shù)學期望為.(2)令，則，由題知：，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計時，；估計時，；估計時，；預測成功的總人數(shù)為.(3)由題知，在前輪就成功的概率為又因為在前輪沒有成功的概率為，故.17．（2022·全國·高三專題練習）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第站、第站、第站、、第站，共站，設棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失敗）時，游戲結束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標有點數(shù)、、、、、）．(1)求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；(2)求證：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率．【答案】(1)，，，且.(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可直接求得、、，然后討論棋子跳到第站，所包括兩種情形，可得出關于和的表達式；（2）計算得出，結合等比數(shù)列的定義可證得結論成立；（3）求得，利用累加法可求得，即可得解.(1)解：棋子開始在第站是必然事件，所以，棋子跳到第站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為；②棋子先跳到第站，又擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，故，棋子跳到站只有一種情況，棋子先跳到第站，又擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為，所以，.(2)證明：由（1）可得且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為.(3)解：由（2）可知，所以，.所以，玩該游戲獲勝的概率為.【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關系求通項公式的典型方法：（1）當出現(xiàn)時，構造等差數(shù)列；（2）當出現(xiàn)時，構造等比數(shù)列；（3）當出現(xiàn)時，用累加法求解；（4）當出現(xiàn)時，用累乘法求解.18．（2022·全國·模擬預測）某校開展了“學黨史”知識競賽活動，競賽試題由若干選擇題和填空題兩種題型構成，每位選手共需要回答三個問題.對于每一個問題，若回答錯誤得0分；若回答正確，填空題得30分，選擇題得20分.現(xiàn)設置了兩種活動方案供選手選擇.方案一：只回答填空題；方案二：先回答填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次選擇填空題；若上題回答錯誤，則下一次選擇選擇題.已知甲、乙兩位同學能正確回答填空題的概率均為，能正確回答選擇題的概率均為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若甲同學采用方案一答題，求甲得分不低于60分的概率；(2)乙同學應該選擇何種方案參加比賽更加有利？并說明理由.【答案】(1)；(2)乙同學選擇方案二參加比賽更加有利，理由見解析.【解析】【分析】(1)采用方案一，得分不低于60分，則至少回答正確兩道填空題，根據(jù)每次回答問題的獨立性即可求；(2)分別計算出采用方案一時得分的數(shù)學期望和采用方案二時得分的數(shù)學期望，比較兩個數(shù)學期望即可判斷該選擇哪一種方案更加有利.(1)甲同學采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答