2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊 3.1.1 函數(shù)的概念 學(xué)案

3.1.1函數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)(1)通過豐富實例，學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．(2)了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，能求簡單函數(shù)的定義域．(3)能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些集合．(4)理解同一個函數(shù)的概念，能判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點要點一函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的________，如果對于集合A中的______________，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有________確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)?三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍A值域與x的值相對應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}要點二同一個函數(shù)如果兩個函數(shù)的________相同，并且________完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)?.要點三區(qū)間及有關(guān)概念1．一般區(qū)間的表示設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]?{x|a<x<b}開區(qū)間________{x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間________2.特殊區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號________________________________________助學(xué)批注批注?抓住兩點：(1)可以“多對一”、“不可一對多”；(2)集合A中的元素?zé)o剩余，集合B中的元素可剩余．批注?只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)．定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們不一定是相同的函數(shù)，因為函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不一定相同．批注?這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點．區(qū)間的左端點一定要小于右端點，即a<b.基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系．()(2)函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合．()(3)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y.()(4)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，任何數(shù)集都能用區(qū)間表示．()2．下列選項中(橫軸表示x軸，縱軸表示y軸)，表示y是x的函數(shù)的是()ABCD3．區(qū)間(0，1)等于()A．{0，1}B．{(0，1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}4．若f(x)＝x－x+1，則f(3)＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列圖形中是函數(shù)圖象的是()(2)下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是()A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝{平行四邊形}，B＝R，f：求A中平行四邊形的面積方法歸納1．根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的一般步驟2．判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法鞏固訓(xùn)練1(多選)下列對應(yīng)關(guān)系是集合A到集合B的函數(shù)的是()A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0題型2求函數(shù)值例2[2022·山東青島高一期中]已知f(x)＝11+x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．方法歸納求函數(shù)值的2種策略鞏固訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝x+1x+2(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．題型3求函數(shù)的定義域例3求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝2＋3x-2；(2)y＝x2(3)y＝3-x·x-1；(4)y＝(x－1)0＋2x+1方法歸納求函數(shù)定義域的常用策略鞏固訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)＝1+x-1x的定義域是A．[－1，0)∪B．[－1，＋∞)C．(－∞，0)∪D．R(2)函數(shù)f(x)＝-x2+6x-5題型4同一函數(shù)的判斷例4下面各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(t)＝|t|，g(x)＝xC．f(x)＝x2-1x-1，g(x)＝D．f(x)＝xx，g(x)＝方法歸納判斷同一函數(shù)的三個步驟和兩個注意點(1)判斷同一函數(shù)的三個步驟(2)兩個注意點：①在化簡解析式時，必須是等價變形；②與用哪個字母表示無關(guān)．鞏固訓(xùn)練4下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x2是同一函數(shù)的是()A．u＝v2B．y＝x·|x|C．y＝x3xD．y＝(x3．1.1函數(shù)的概念新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一實數(shù)集任意一個數(shù)x唯一要點二定義域?qū)?yīng)關(guān)系要點三1．(a，b)(a，b]2．(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：只有D的函數(shù)圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點，故選D.答案：D3．答案：C4．解析：f(3)＝3－3+1＝3－2＝1.答案：1題型探究·課堂解透例1解析：(1)A中至少存在一處如x＝0，一個橫坐標(biāo)對應(yīng)兩個縱坐標(biāo)，這相當(dāng)于集合A中至少有一個元素在集合B中對應(yīng)的元素不唯一，故A不是函數(shù)圖象，其余B，C，D均符合函數(shù)定義．(2)對于選項B，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)的定義；對于選項C，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義；對于選項D，A集合不是數(shù)集，故不符合函數(shù)的定義．答案：(1)BCD(2)A鞏固訓(xùn)練1解析：選項A中，對于A中的任意一個實數(shù)x，在B中都有唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng)，故是A到B的函數(shù)．選項B中，對于集合A中的任意一個整數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一個確定的整數(shù)x2與其對應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．選項C中，集合A中的負整數(shù)沒有平方根，在集合B中沒有對應(yīng)的元素，故不是集合A到集合B的函數(shù)．選項D中，對于集合A中任意一個實數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一個確定的數(shù)0和它對應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．答案：ABD例2解析：(1)∵f(x)＝11+x，∴f(2)＝11+2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝11+11＝1鞏固訓(xùn)練2解析：(1)f(2)＝2+12+2＝3(2)∵f(1)＝1+11+2＝2∴f(f(1))＝f23＝23+1例3解析：(1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時，函數(shù)y＝2＋3x-2有意義，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}(2)要使函數(shù)有意義，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函數(shù)的定義域為{x|x≥3或x≤－1}．(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)3-x≥0，x-1≥0，解得1≤x≤3，所以這個函數(shù)的定義域為{(4)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)x-1≠0，2x+1≥0，x+1≠0，解得x>－1，且x≠1，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由1+x≥0x≠0，解得：x≥－1且∴函數(shù)f(x)＝1+x-1x的定義域是[－1，(2)由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，解得1≤x≤5，所以函數(shù)的定義域為[1，5].答案：(1)A(2)[1，5]例4解析：對于A，f(x)＝x的定義域為R，而g(x)＝(x)2的定義域為[0，＋∞)，兩函數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)；對于B，兩個函數(shù)的定義域都為R，定義域相同，g(x)＝x2＝|x|，這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；對于C，f(x)＝x2-1x-1的定義域為{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定義域是R，兩個函數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)；對于D