第16節(jié) 同角三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式（講案）- 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版4

25/25誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)關(guān)系式（講案）【教學(xué)目標(biāo)】本節(jié)內(nèi)容目標(biāo)層級是否掌握應(yīng)用平方關(guān)系求解兩類知一求二問題★★★☆☆☆應(yīng)用商數(shù)關(guān)系處理正切相關(guān)問題★★★★☆☆應(yīng)用平方、商數(shù)關(guān)系式處理化簡及證明問題★★★★☆☆誘導(dǎo)公式的識別與應(yīng)用★★★★☆☆一、應(yīng)用平方關(guān)系知一求二、應(yīng)用商數(shù)關(guān)系求正切相關(guān)問題【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：.商數(shù)關(guān)系：．3.利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值,對于一般形如方程的求解，一般聯(lián)立求解4.根據(jù)商數(shù)關(guān)系解決分式一次齊次和二次齊次型問題.對于形如：(一次齊次型)，可通過分子分母同除，轉(zhuǎn)化為正切式對于形如：（二次齊次型），可通過分子分母同除，轉(zhuǎn)化為正切式.【例題講解】的知一求二★☆☆例題1．已知，求的值．【答案】：；【解析】：，是第二或第三象限的角．如果是第二象限角，那么＝，如果是第三象限角，同理可得,.★☆☆練習(xí)1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，，則（）A． B． C． D．【答案】：C【解析】：由題意，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則，∴，所以，★☆☆練習(xí)2．已知，求的值．【答案】：當(dāng)角的終邊在第二象限時，，；當(dāng)角的終邊在第四象限時，，.【解析】：，.又，，即，.又由，可知與異號，∴角的終邊在第二或第四象限．當(dāng)角的終邊在第二象限時，，；當(dāng)角的終邊在第四象限時，，.★☆☆練習(xí)3．已知，則的值是()A． B．C． D．【答案】：D【解析】：因?yàn)椋越獾?故選D．的知一求二★★☆例題2．已知，，則的值為()A．B．C．D．【答案】：【解析】：因?yàn)椋?可得,因?yàn)?，所以，，，★☆☆練?xí)1．已知是三角形的內(nèi)角，且，則的值為（）A．B．C．D．或【答案】：【解析】：是三角形的內(nèi)角，且為鈍角，聯(lián)立方程，解得故選.★★☆練習(xí)2.若，是方程的兩根，則的值為________【答案】：【解析：】由題意可知：

根據(jù)韋達(dá)定理，

又因?yàn)?/p>

所以，

解得：

由于有兩根，

則，

則或者

所以利用商數(shù)關(guān)系求正切相關(guān)問題★☆☆例題3．已知，則的值為()A．B．C．D．【答案】：B【解析】：已知，解得，所以在第一象限或第三象限，

即與同號，又因?yàn)椋遥?/p>

解得當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以．

★☆☆練習(xí)1．已知．求的值．【答案】：【解析】：

★★☆練習(xí)2.已知是第三象限的角，若，則________，則________．【答案】：；【解析】：為第三象限角，則，，

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，解得

，

．

★☆☆例題4.若，則________．【答案】：或【解析】：

解得或★☆☆練習(xí)1.已知．求的值；【答案】：【解析】：已知．

．

【備注】：由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值．知識點(diǎn)要點(diǎn)總結(jié)：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問題的方法：1已知角的某一種三角函數(shù)值，求角的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系.2若角所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時，只有一組結(jié)果；若角所在的象限不確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果.注意：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時，要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求值的符號.二、化簡三角函數(shù)式及證明等式問題【知識點(diǎn)】證明三角恒等式常用哪些方法：(1)從右證到左．(2)從左證到右．(3)證明左右歸一．(4)變更命題法．如：欲證明＝，則可證MQ＝NP，或證＝等．根據(jù)平方和關(guān)系及商數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡?！纠}講解】★★☆例題1：(1)化簡＝________.(2)化簡.(其中是第三象限角)【答案】：(1)(2)【解析】：(1)原式.(2)原式又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?所以原式★★☆練習(xí)1．化簡，其中是第二象限角．【答案】：【解析】：因?yàn)槭堑诙笙藿牵怨?★★☆練習(xí)2：.化簡________．【答案】:【解析】:．★★☆例題2．求證：.【答案】:見解析【解析】:法一：(切化弦)左邊，右邊.因?yàn)樗裕宰筮叄接疫叄栽仁匠闪ⅲǘ?由右至左)因?yàn)橛疫叄阶筮?，所以原等式成立．★★☆練?xí)1．求證：．【答案】:見解析【解析】:證明：由左邊=右邊．得證★★☆練習(xí)2．求證：(1)=；(2)【答案】:見解析【解析】:(1)左邊=======右邊，(2)左邊右邊，原等式成立．知識點(diǎn)要點(diǎn)總結(jié)：三角函數(shù)式化簡的常用方法1化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的.2對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的.3對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.注意：在應(yīng)用平方關(guān)系式求或時，其正負(fù)號是由角所在的象限決定，不可憑空想象.證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡；(2)左右開弓，即證左邊、右邊都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)．技巧感悟：朝目標(biāo)奔．常用的技巧有：(1)巧用“”的代換；(2)化切為弦；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式)．注意：解決此類問題要有整體代換思想．三、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【知識點(diǎn)】誘導(dǎo)公式（一）誘導(dǎo)公式（二）誘導(dǎo)公式（三）誘導(dǎo)公式（四）誘導(dǎo)公式（五）誘導(dǎo)公式（六）口訣：奇變偶不變，符號看象限奇偶指中的奇偶，是奇數(shù)就改變函數(shù)名，偶數(shù)就不變，符號看象限指將角看為銳角時函數(shù)對應(yīng)象限的函數(shù)值?？梢詫φ湛谠E化簡上述誘導(dǎo)公式?！纠}講解】應(yīng)用誘導(dǎo)公式求值★★☆例題1．已知角終邊上一點(diǎn)，求的值．【答案】：【解析】：已知角終邊上一點(diǎn)．

．

【備注】：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

★☆☆練習(xí)1.設(shè)，則下列結(jié)論中錯誤的是：（）A． B．C． D．【答案】【解答】解：對于，由誘導(dǎo)公式可得，正確；對于，由誘導(dǎo)公式可得，正確；對于，由誘導(dǎo)公式可得，正確；對于，由誘導(dǎo)公式可得，錯誤．★☆☆練習(xí)2．若角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則________．【答案】：【解析】：角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，所以，

所以．故答案為．【備注】：本題考查了三角函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．★★☆練習(xí)3．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是________．【答案】：【解析】：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，

，，

則．★★☆例題2.________．【答案】【解析】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．

原式

★☆☆練習(xí)1.求下列三角函數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】：(1)

(2)

(3)

(4)★☆☆練習(xí)2.________．【答案】：【解析】：原式★★☆例題3．(1)已知，則的值是________；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)．

(2)．★☆☆練習(xí)1.已知，則()A．B．C．D．【答案】：B【解析】：

★☆☆練習(xí)2.當(dāng)時，，則________；________．【答案】：；【解析】：，，

，

，

，

，

，

．

應(yīng)用誘導(dǎo)公式的化簡問題★★☆例題1．16.已知．

(1)化簡的表達(dá)式；

(2)求的值．【答案】(1)(2)【解析】：(1)利用誘導(dǎo)公式，討論為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況即可解得．

當(dāng)為偶數(shù)，即時．

當(dāng)為奇數(shù)，即時．

綜上得．

(2)由(1)利用誘導(dǎo)公式求解．

由(1)得

★★☆練習(xí)1.化簡：(1)________；(2)【答案】:(1)(2)【解析】:(1)原式

(2)，，

，，

，

，

，

所以，原式

★★☆練習(xí)2.化簡：(1)________．(2)【答案】:(1)(2)【解析】:(1)原式

(2)因?yàn)椋?/p>

，，

，，

所以原式

知識點(diǎn)要點(diǎn)總結(jié)：1.誘導(dǎo)公式的核心“奇變偶不變，符號看象限”，當(dāng)將三角函數(shù)的角度全部化成形式，符號名該不該變就看是奇數(shù)還是偶數(shù)，是奇數(shù)就改變函數(shù)名，偶數(shù)就不變，正負(fù)取決于對應(yīng)三角函數(shù)值的正負(fù)（前后正負(fù)一致），其中為任意形式的角.2.化簡求值時，觀察角與角之間的和差關(guān)系，當(dāng)和或差滿足的整數(shù)倍關(guān)系，可通過換元或者配湊后使用誘導(dǎo)公式.【課后練習(xí)】【鞏固練習(xí)】★☆☆1．若，且為第四象限角，則的值等于（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】：由，且為第四象限角，則，則，★☆☆2．已知是第三象限角，且，則（）A．B．C．D．【答案】：【解析】：因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以所?★☆☆3．若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】：B【解析】：因?yàn)閠an＝3，所以cos所以：.★☆☆4．若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】：由可得：，則.★☆☆5．已知，則（）A． B． C． D．【答案】:D【解析】：因?yàn)?，所以?★★☆6.若，則的值為()A．B．

C．D．【答案】B【解析】，則

，★★☆7.已知．求：

(1)的值；

(2)的值．【答案】(1)(2)【解析】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系．

(1)．

．

．

．

(2)．

，．．

．

由可得

．

★★☆8.【答案】:略【解析】:證明：,所以原等式成立．★★☆9.證明下列三角恒等式：【答案】:略【解析】:左邊右邊,所以原式成立★☆☆10.求下列各三角函數(shù)值：(1)；(2);(3)；(4)【答案】:(1);(2);(3);(4)【解析】:(1)

(2)．(3)

(4)★☆☆11.已知，則的值為()A．B．

C．D．【答案】:C【解析】:由于．

所以．

★★☆12.計(jì)算________．【答案】:【解析】:；；，

則．

★☆☆13.若，求的值．【答案】:．【解析】，

．【備注】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．此題考查了誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．★★☆14.已知，且，則________【答案】:【解析】:★★☆15.已知，求下列各式的值：(1)(2)【答案】:(1)(2)【解析】:(1)解法一：由得原式

解法二：由已知得原式

(2)解法一：原式

解法二：原式

【拔高練習(xí)】★★☆1.若，那么的值為________【答案】:【解析】:由，得，由，．

所以．

★★☆2.化簡下列各式：(1)；(2)，其中．【答案】:見解析【解析】:(1)(2)由于，則,異號，所以