2022年初升高暑期數(shù)學(xué)精品講義專題17 對(duì)數(shù)函數(shù)（重難點(diǎn)突破）【含答案】

專題17對(duì)數(shù)函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)二、基礎(chǔ)知識(shí)【知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)】1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，我們把函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是_____．2．對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征（1）對(duì)數(shù)符號(hào)前面的系數(shù)是1；（2）對(duì)數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實(shí)數(shù)（常數(shù)）；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x．

【知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1．一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表所示：圖象定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)過定點(diǎn)過定點(diǎn)，即時(shí)，單調(diào)性在上是___函數(shù)在上是___函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【注】速記口訣：對(duì)數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù)；底數(shù)只能大于0，等于1了可不行；底數(shù)若是大于1，圖象從下往上增；底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減；無論函數(shù)增和減，圖象都過（1，0）點(diǎn)．2．對(duì)數(shù)函數(shù)中的底數(shù)對(duì)其圖象的影響在直線x=1的右側(cè)，當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)0<a<1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．三、題型分析1．與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時(shí)，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0；若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于0且不等于1．同時(shí)還要注意偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)，分母不能為零等．求值域時(shí)，一方面要抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓住中間變量的取值范圍．例1．（1）、（2022·北京東城·高二期末）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【解析】【分析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象過一點(diǎn)，代入該點(diǎn)的坐標(biāo)解方程即得解.【詳解】解：由已知得，所以，解得：，故選：A．（2）、（2021·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求解即可.【詳解】由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C（3）、（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】【分析】利用換元法，令，則，然后先求出內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)的值域即可【詳解】令，則，因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?，因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?，故答案為：【變式?xùn)練1-1】、（2022·廣西北海·高二期末（文））函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于等于0，真數(shù)大于0求解定義域.【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，需滿足解得:.故選：C【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·上海交大附中高一期中）已知函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為ax＞對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，然后對(duì)x分類，再由配方法求最值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)的定義域是R，∴+ax＞0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即ax＞對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)x＝0時(shí)，上式化為0＞﹣1，此式對(duì)任意實(shí)數(shù)a都成立；當(dāng)x＞0時(shí)，則a＞＝，∵x＞0，∴，則≥，則≤，可得a＞；當(dāng)x＜0時(shí)，則a＜，∵x＜0，∴，則＞1，則＞1，可得a≤1．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．【變式訓(xùn)練1-3】、（2022·廣西南寧·高二期末（理））若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)自變量選擇對(duì)應(yīng)解析式直接計(jì)算即可.【詳解】．故選：C2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（1，0），所以討論與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過定點(diǎn)的問題，只需令真數(shù)為1，解出相應(yīng)的，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．當(dāng)?shù)讛?shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越小，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當(dāng)?shù)讛?shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快．也可作直線y=1與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大?。?．（1）、（2021·吉林長春市·高三其他模擬（理））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象特征及與圖象的關(guān)于軸對(duì)稱即可求解.【詳解】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象特征及與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可確定②不是已知函數(shù)圖象.故選：B.（2）．（2022·湖南·高一期末）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，故選：D【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)與的大致圖像是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，又，所以在定義域上單調(diào)遞減，故符合條件的只有A；故選：A【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·全國·高一）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，，（且）的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】若，則在定義域內(nèi)為增函數(shù)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，且是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，則其與軸的交點(diǎn)在區(qū)間上，所以AB錯(cuò)誤，D正確，若，則則在定義域內(nèi)為減函數(shù)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，則其與軸的交點(diǎn)在區(qū)間上，所以C錯(cuò)誤，故選：D3．對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較對(duì)數(shù)式的大?。喝舯容^同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小，可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；若比較底數(shù)不同、真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小，可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增大畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較；若比較底數(shù)與真數(shù)都不同的兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小，常借助1，0等中間量進(jìn)行比較．（2）解簡單的對(duì)數(shù)不等式：形如的不等式，常借助的單調(diào)性求解，如果的取值不確定，需分與兩種情況進(jìn)行討論；形如的不等式，應(yīng)將化為以為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助的單調(diào)性求解．例3、（1）、（2021·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域求法可求得定義域；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得到單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得：，即定義域?yàn)?；令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.（2）、（2022·湖北·宜昌市一中高一階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，其中，有如下說法，其中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镽D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】A.由，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的最值求解判斷；B.根據(jù)題意，由，對(duì)恒成立求解判斷；C.由能否取遍上所有的數(shù)判斷；D.利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域求解判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)?，則，所以有最大值，故正確；B.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，對(duì)恒成立，則，解得，故正確；C.令，當(dāng)時(shí)，，所以取遍上所有的數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)镽，故正確；D.，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，故錯(cuò)誤；故選：ABC【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)視為復(fù)合函數(shù)，根據(jù)“同增異減”的判斷原則，進(jìn)行求解；注意定義域的取舍.【詳解】記，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減，由得或，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故．故答案為：.【變式訓(xùn)練3-2】．（2022·全國·高一）（多選題）已知函數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．若的定義域?yàn)镽，則B．若的值域?yàn)镽，則或C．若，則的單調(diào)減區(qū)間為D．若在上單調(diào)遞減，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，若的定義域?yàn)镽，則在R上恒成立，所以，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若的值域?yàn)镽，則，所以或，所以B正確：對(duì)于C，若，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，即求函數(shù)的減區(qū)間，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)的單減區(qū)間為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若在上單調(diào)遞減，則且，所以，所以D正確．故選：BD4．對(duì)數(shù)函數(shù)型復(fù)合函數(shù)例4、（2021·江蘇南通·高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且(1)用定義證明在上單調(diào)遞增；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）奇函數(shù)中，由和求出a，b的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．(1)因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，

所以，所以，所以

，又因?yàn)?，所以，所以?/p>

所以，

經(jīng)檢驗(yàn)滿足

，設(shè)任意，

，

因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.；(2)因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)

所以等價(jià)于，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·福建·莆田一中高一開學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義,即可求解的值；（2）由已知結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得相應(yīng)不等式，求得答案.(1)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以對(duì)任意定義域內(nèi)的恒成立，所以即對(duì)任意定義域內(nèi)的恒成立，所以，所以，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，舍去，當(dāng)時(shí)，符合題意，所以．(2)，故，解得，故原不等式的解集為．例5、（2022·全國·高一）已知函數(shù)(1)若m＝1，求函數(shù)f（x）的定義域;(2)若函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，列式，即可求解；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的定義域，列式，即可求解.(1)若m＝1，則要使函數(shù)有意義，需，解得x∈∴若m＝1，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)且在區(qū)間上恒成立，∴，且，即且.【變式訓(xùn)練5-1】、（2022·湖北·沙市中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)?，得不等式恒成立，分和兩種情況討論即可得出答案；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為存在，，使得成立，然后利用參變量分離法，構(gòu)造，則轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最小值，即可得到答案．(1)解：若函數(shù)的定義域?yàn)?，則不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，明顯不恒成立，當(dāng)時(shí)，則a>0Δ=9?4a<0，解得，綜上；(2)解：存在，，使得成立，即存在，，使得成立，即存在，，使得成立，即存在，，使得成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，函數(shù)，因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．例6．（2022·吉林·長春市第二中學(xué)高一期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；(2)若，對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）令，可得在上恒成立，求出的最大值即可.(1)令，，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，則二次函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?2)由于對(duì)于上恒成立，令，，則即在上恒成立，所以在上恒成立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，原不等式對(duì)于恒成立．【變式訓(xùn)練6-1】、（2022·海南·嘉積中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（，）．(1)求解關(guān)于x的不等式；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)【解析】【分析】（1）由得或，分與討論即可求得不等式的解集；（2）若，恒成立恒成立，解得或，分與討論即可求得答案．(1)解：由得∴或當(dāng)時(shí)，解不等式可得：或當(dāng)時(shí)，解不等式可得：或綜上所述：當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為．(2)解：若，恒成立，即，恒成立，，即∴或①當(dāng)時(shí)，，∴或，解得：②當(dāng)時(shí)，，∴或，解得：綜上所述：a的取值范圍為．四、課堂訓(xùn)練1．（2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【詳解】解：由題可知，即，解得或.故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.2．（2022·山西·太原五中高二階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為____________．【答案】（左端點(diǎn)可取）【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再求出在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間即可．【詳解】令，解得，故的定義域?yàn)?，的?duì)稱軸為，則在單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________