層次分析法ahp法張樂凱

樂博講壇AHP層次分析法第4期

2012.6.2引言層次分析法（AHP）是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國(guó)國(guó)防部研究“根據(jù)各個(gè)工業(yè)部門對(duì)國(guó)家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時(shí)，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評(píng)價(jià)方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點(diǎn)是在對(duì)復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡(jiǎn)便的決策方法。是對(duì)難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。層次分析法在經(jīng)濟(jì)、科技、文化、軍事、環(huán)境乃至社會(huì)發(fā)展等方面的管理決策中都有廣泛的應(yīng)用。常用來解決諸如綜合評(píng)價(jià)、選擇決策方案、估計(jì)和預(yù)測(cè)、投入量的分配等問題。層次分析法建模一、問題的提出日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。例1某人準(zhǔn)備選購(gòu)一臺(tái)電冰箱他對(duì)市場(chǎng)上的6種不同類型的電冰箱進(jìn)行了解后，選取一些中間指標(biāo)進(jìn)行考察。例如電冰箱的容量、制冷級(jí)別、價(jià)格、型式、耗電量、外界信譽(yù)、售后服務(wù)等。然后再考慮各種型號(hào)冰箱在上述各中間標(biāo)準(zhǔn)下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購(gòu)決策。在決策時(shí)，由于6種電冰箱對(duì)于每個(gè)中間標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對(duì)這7個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的重要度作一個(gè)估計(jì)，給出一種排序，然后把6種冰箱分別對(duì)每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的排序權(quán)重找出來，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對(duì)總目標(biāo)即購(gòu)買電冰箱的排序權(quán)重。有了這個(gè)權(quán)重向量，決策就很容易了。例2旅游

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去涼爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。例3擇業(yè)

面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。分解建立確定計(jì)算判斷實(shí)際問題層次結(jié)構(gòu)多個(gè)因素諸因素的相對(duì)重要性權(quán)向量綜合決策一、層次分析法基本原理二、層次分析法的步驟和方法

運(yùn)用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時(shí)，大體可以分為以下四個(gè)步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣3.層次單排序及其一致性檢驗(yàn)4.層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對(duì)象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時(shí)的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。

對(duì)于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層。1建立層次結(jié)構(gòu)模型一個(gè)典型的層次可以用下圖表示出來：幾點(diǎn)注意1.處于最上面的的層次通常只有一個(gè)元素，一般是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果。中間層次一般是準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不支配下一層次的所有元素。2.層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度和所需要分析的詳盡程度有關(guān)。每一層次中的元素一般不超過9個(gè)，因一層中包含數(shù)目過多的元素會(huì)給兩兩比較判斷帶來困難。3.一個(gè)好的層次結(jié)構(gòu)對(duì)于解決問題是極為重要的。層次結(jié)構(gòu)建立在決策者對(duì)所面臨的問題具有全面深入的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，如果在層次的劃分和確定層次之間的支配關(guān)系上舉棋不定，最好重新分析問題，弄清問題各部分相互之間的關(guān)系，以確保建立一個(gè)合理的層次結(jié)構(gòu)。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例1.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.

將決策問題分為3個(gè)或多個(gè)層次：最高層：目標(biāo)層。表示解決問題的目的，即層次分析要達(dá)到的總目標(biāo)。通常只有一個(gè)總目標(biāo)。中間層：準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實(shí)現(xiàn)預(yù)定總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、策略層、約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個(gè)方案可選。每層有若干元素，層間元素的關(guān)系用相連直線表示。建立層次結(jié)構(gòu)模型的思維過程的歸納

層次分析法所要解決的問題是關(guān)于最低層對(duì)最高層的相對(duì)權(quán)重問題，按此相對(duì)權(quán)重可以對(duì)最低層中的各種方案、措施進(jìn)行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。

在建立遞階層次結(jié)構(gòu)以后，上下層次之間元素的隸屬關(guān)系就被確定了。假定上一層次的元素Ck作為準(zhǔn)則，對(duì)下一層次的元素A1,…,An

有支配關(guān)系，我們的目的是在準(zhǔn)則Ck

之下按它們相對(duì)重要性賦予A1,…,An

相應(yīng)的權(quán)重。2構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣比較同一層次中每個(gè)因素關(guān)于上一層次的同一個(gè)因素的相對(duì)重要性

在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出構(gòu)造：成對(duì)比較矩陣A=(aij)nn，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。2.對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過9個(gè)，即每層不要超過9個(gè)因素。成對(duì)比較矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的相對(duì)重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Saaty的1—9標(biāo)度方法給出。判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法標(biāo)度含義1表示兩個(gè)因素相比，具有同樣重要性3表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要5表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij

對(duì)于n個(gè)元素A1,…,An

來說，通過兩兩比較，得到成對(duì)比較（判斷）矩陣

A=(aij)nn：其中判斷矩陣具有如下性質(zhì)：（1）aij>0；（2）aij=1/aji；（3）aii=1。我們稱A為正的互反矩陣。根據(jù)性質(zhì)（2）和（3），事實(shí)上，對(duì)于n階判斷矩陣僅需對(duì)其上（下）三角元素共n(n-1)/2個(gè)給出判斷即可。要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣選擇旅游地目標(biāo)層O(選擇旅游地)準(zhǔn)則層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣有問題

旅游問題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成n小塊，各塊的重量分別記為：w1,w2,…wn則可得成對(duì)比較矩陣由右面矩陣可以看出，3層次單排序及其一致性檢驗(yàn)即但在例2的成對(duì)比較矩陣中，在正互反矩陣A中，若,(A的元素具有傳遞性)則稱A為一致陣。定理：n

階正互反陣A的最大特征根max

n,當(dāng)且僅當(dāng)

=n時(shí)A為一致陣

一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識(shí)的多樣性所決定的。但在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時(shí)，要求判斷大體上的一致是應(yīng)該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識(shí)的。一個(gè)混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，而且當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時(shí)，用上述各種方法計(jì)算的排序權(quán)重作為決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)。由于λ(A的特征根)連續(xù)的依賴于aij

，則λ比n

大的越多，A的不一致性越嚴(yán)重。引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n

數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標(biāo):CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴(yán)重一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì)A進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。一般，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過一致性檢驗(yàn)。否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣A，對(duì)aij

加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為A定義一致性比率：判斷矩陣一致性檢驗(yàn)的步驟如下：(1)計(jì)算一致性指標(biāo)C.I.：其中n為判斷矩陣的階數(shù)；(2)查找平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.：

平均隨機(jī)一致性指標(biāo)是多次（500次以上）重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)判斷矩陣特征根計(jì)算之后取算術(shù)平均得到的。龔木森、許樹柏1986年得出的1—15階判斷矩陣重復(fù)計(jì)算1000次的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)如下：階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59(3)計(jì)算一致性比例C.R.：

當(dāng)C.R.<0.1時(shí)，一般認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)?shù)男拚?/p>

“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根max=5.073一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗(yàn)

旅游問題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？計(jì)算單一準(zhǔn)則下元素的相對(duì)權(quán)重這一步是要解決在準(zhǔn)則Ck

下，n個(gè)元素A1,…,An

排序權(quán)重的計(jì)算問題。對(duì)于n個(gè)元素A1,…,An，通過兩兩比較得到判斷矩陣A，解特征根問題Aw=maxw所得到的w(特征向量)經(jīng)歸一化后作為元素A1,…,An

在準(zhǔn)則Ck

下的排序權(quán)重，這種方法稱為計(jì)算排序向量的特征根法。

特征根方法中的最大特征根max

和特征向量w，可用Matlab軟件直接計(jì)算。例如：計(jì)算矩陣的最大特征值及相應(yīng)的特征向量。相應(yīng)的Matlab程序如下：A=[1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;…1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1];[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y

是特征值，且從大到小排列；x

是特征向量矩陣，每一列為相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量。輸出結(jié)果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520-0.4184-0.4223-0.1099-0.2730-0.6604

對(duì)應(yīng)于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為w。

w的元素為同一層次因素對(duì)于上一層次因素某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T歸一化的4層次總排序及其一致性檢驗(yàn)計(jì)算某一層次所有因素對(duì)于最高層(總目標(biāo))相對(duì)重要性的權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進(jìn)行的。對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)榧碆層第i

個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：（影響加和）B層的層次總排序?yàn)椋築層的層次總排序AB組合權(quán)向量的計(jì)算第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對(duì)第1層的權(quán)向量第3層對(duì)第2層第k個(gè)元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)B層B1,B2,…Bn對(duì)上層(A層)中因素Aj(j=1,2,…m)的層次單排序一