二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（原卷版）

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(1)會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.

(2)了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.

(3)會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題,對二元一次不等式（組）與線性規(guī)劃及簡單應(yīng)用這部分的考查，主要考查二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域、目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題、與最優(yōu)解相關(guān)的參數(shù)問題，高考中一般會以選填題形式考查．從近幾年高考試題來看，試題難度較低，屬于中低檔試題，一般放在選擇題的第5-7題或填空題的前兩位．【2018年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】由前三年的高考命題形式可以看出,二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(的面積)，求目標(biāo)函數(shù)的最值，線性規(guī)劃的應(yīng)用問題等是高考的熱點，題型既有選擇題，也有填空題，難度為中、低檔題．主要考查平面區(qū)域的畫法，目標(biāo)函數(shù)最值的求法，以及在取得最值時參數(shù)的取值范圍．同時注重考查等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想．對二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的考查，關(guān)鍵明確二元等式表示直線或曲線，而二元不等式表示直線或曲線一側(cè)的平面區(qū)域，以小題形式出現(xiàn).對目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題的考查，首先要正確畫出可行域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，以小題形式出現(xiàn)．對與最優(yōu)解相關(guān)的參數(shù)問題，在近幾年的高考中頻頻出現(xiàn)，并且題型有所變化，體現(xiàn)“活”“變”“新”等特點，在備考中予以特別關(guān)注，但對簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用的考查，不但具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易于把握．故預(yù)測2018年高考仍將以目標(biāo)函數(shù)的最值，特別是含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃的綜合運用是主要考查點，重點考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力．【2018年高考考點定位】高考對二元一次不等式（組）與線性規(guī)劃及簡單應(yīng)用的考查有以下幾種主要形式：一是不等式（組）表示的平面區(qū)域；二是線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解問題；三是非線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解問題；四是線性規(guī)劃與其他知識的交匯．【考點1】不等式（組）表示的平面區(qū)域【備考知識梳理】二元一次不等式所表示的平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，直線將平面分成兩部分，平面內(nèi)的點分為三類：①直線上的點（x，y）的坐標(biāo)滿足：；②直線一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標(biāo)滿足：；③直線另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標(biāo)滿足：.即二元一次不等式或在平面直角坐標(biāo)系中表示直線的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，直線叫做這兩個區(qū)域的邊界，（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線，實線表示區(qū)域包括邊界直線）.由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.【規(guī)律方法技巧】由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.1.判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直線的哪一側(cè)的方法：因為對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y)，數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(x0,y0)（若原點不在直線上，則取原點(0,0)最簡便），它的坐標(biāo)代入Ax+By+c，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直線的哪一側(cè).2.畫二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的基本步驟：①畫出直線（有等號畫實線，無等號畫虛線）；②當(dāng)時，取原點作為特殊點，判斷原點所在的平面區(qū)域；當(dāng)時，另取一特殊點判斷；③確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域.【考點針對訓(xùn)練】1．【福建泉州新世紀(jì)中學(xué)2017屆畢業(yè)班質(zhì)量檢查】在區(qū)域中，若滿足的區(qū)域面積占面積的，則實數(shù)的值是（）A.B.C.D.2．【遼寧省實驗中學(xué)2017屆高三第六次模擬】設(shè)命題p:實數(shù)x,y滿足x2+y2<4，命題q:實數(shù)x,y滿足{A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【考點2】線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解問題【備考知識梳理】名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題【規(guī)律方法技巧】線性目標(biāo)函數(shù)（A,B不全為0）中，當(dāng)時，，這樣線性目標(biāo)函數(shù)可看成斜率為，且隨變化的一組平行線，則把求的最大值和最小值的問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點，直線在軸上的截距的最大值最小值的問題.因此只需先作出直線，再平行移動這條直線，最先通過或最后通過的可行域的頂點就是最優(yōu)解.特別注意，當(dāng)B>0時，的值隨著直線在y軸上的截距的增大而增大；當(dāng)B<0時，的值隨著直線在y軸上的截距的增大而減小.通常情況可以利用可行域邊界直線的斜率來判斷.對于求整點最優(yōu)解，如果作圖非常準(zhǔn)確可用平移求解法，也可以取出目標(biāo)函數(shù)可能取得最值的可行域內(nèi)的所有整點，依次代入目標(biāo)函數(shù)驗證，從而選出最優(yōu)解，最優(yōu)解一般在可行域的定點處取得，若要求最優(yōu)整解，則必須滿足x，y均為整數(shù)，一般在不是整解的最優(yōu)解的附近找出所有可能取得最值的整點，然后將整點分別代入目標(biāo)函數(shù)驗證選出最優(yōu)整解.【考點針對訓(xùn)練】1.【山東省淄博市2017屆高三第二次模擬】已知約束條件為{2x-y-6≤0x-y+2≥0，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y僅在交點(8,10)處取得最小值，則A.(-2,-1)B.(-∞,-2)∪(-1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-1,+∞)2.【河南省南陽市第一中學(xué)校2017屆四模】設(shè)，滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為A.B.C.D.【考點3】非線性規(guī)劃問題【備考知識梳理】（（1）斜率型：（2）點點距離型：表示到兩點距離的平方；（3）點線距離型：表示到直線的距離的倍.【規(guī)律方法技巧】對于非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題，關(guān)鍵要搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【考點針對訓(xùn)練】1.【安徽省安慶市2017屆三?！恳阎獙崝?shù)，滿足條件，則的最大值為（）A.B.0C.D.12.【2017屆湖南省郴州市高三第四次質(zhì)檢】已知實數(shù)x,y滿足條件{x-y+3≥02x+y-4≥0x≤3，則z=【考點4】線性規(guī)劃問題與其他知識交匯【備考知識梳理】線性規(guī)劃問題與其他知識交叉融合，不僅體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法，比如數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，而且體現(xiàn)了學(xué)生綜合分析問題的能力，邏輯思維能力以及解決實際問題的能力．【規(guī)律方法技巧】線性規(guī)劃問題可以和概率、向量、解析幾何等交匯考查，關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題處理．【規(guī)律方法技巧】1．【湖南省2017屆高三考前演練】已知變量滿足約束條件，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為__________．2．【山西省太原市2017屆二?！恳阎亲鴺?biāo)原點，點，若點為平面區(qū)域上一個動點，則的最大值為A.3B.2C.1D.0【應(yīng)試技巧點撥】1．二元一次不等式組表示平面區(qū)域的畫法：（1）把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；（2）用特殊點判斷.判斷（或）所表示的平面區(qū)域時，只要在直線的一側(cè)任意取一點，將它的的坐標(biāo)代入不等式,如果該點的坐標(biāo)滿足不等式，不等式就表示該點所在一側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個點所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域.特殊的，當(dāng)時，常把原點作為特殊點.無等號時用虛線表示不包含直線，有等號時用實線表示包含直線；（3）設(shè)點，，若與同號，則P，Q在直線的同側(cè)，異號則在直線的異側(cè).２.線性規(guī)劃中的分類討論思想隨著對線性規(guī)劃的考查逐年的加深，數(shù)學(xué)思想也開始滲透其中，此類試題給人耳目一新的感覺.其中分類討論思想先拔頭籌.主要類型有：可行域中含有參數(shù)引起的討論和目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)引起的討論.解法思路關(guān)鍵在于分類標(biāo)準(zhǔn)的得到.３.應(yīng)用線性規(guī)劃解決簡單的實際問題在線性規(guī)劃的實際問題中把實際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用圖解法求出最優(yōu)解.若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點.４．線性規(guī)劃和其它知識交匯點與線性規(guī)劃相關(guān)的知識非常豐富，如與不等式、函數(shù)、函數(shù)最值等.所以這些為命題者提供了豐富的素材，與線性規(guī)劃相關(guān)的新穎試題也就層出不窮.此類題目著重考查劃歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，掌握線性規(guī)劃問題的“畫---移---求---答”四部曲，理解線性規(guī)劃解題程序的實質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.含參變量的線性規(guī)劃問題是近年來高考命題的熱點，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧，增加了解題的難度．參變量的設(shè)置形式通常有如下兩種：(1)條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時畫圖分析的難度，求解這類問題時要有全局觀念，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向；(2)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參變量，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性．從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對圖形的動態(tài)分析，對變化過程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求解這類問題的主要思維方法．6．可行域是封閉區(qū)域時，可以將端點代入目標(biāo)函數(shù)，求出最大值與最小值，從而得到相應(yīng)范圍.若線性規(guī)劃的可行域不是封閉區(qū)域時，不能簡單的運用代入頂點的方法求最優(yōu)解.如變式2，需先準(zhǔn)確地畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線在可行域上移動，觀察z的大小變化，得到最優(yōu)解.7．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證，防止出現(xiàn)錯誤．8．利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：(1)作出可行域．將約束條件中的每一個不等式當(dāng)作等式，作出相應(yīng)的直線，并確定原不等式的區(qū)域，然后求出所有區(qū)域的交集；(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線(等值線是指目標(biāo)函數(shù)過原點的直線)；(3)求出最終結(jié)果．9.解線性規(guī)劃問題的思維精髓是“數(shù)形結(jié)合”，其關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范，假如圖上的最優(yōu)點并不明顯易變時，不妨將幾個有可能是最優(yōu)點的坐標(biāo)都求出來，然后逐一檢驗，從而得正確解.10．在通過求直線的截距的最值間接求出的最值式時，要注意：當(dāng)時，截距取最大值時，也取最大值；截距取最小值時，也取最小值；當(dāng)時，截距取最大值時，取最小值；截距取最小值時，取最大值．11.平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集．線性目標(biāo)函數(shù)中的不是直線在軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為可知是直線在軸上的截距，要根據(jù)的符號確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.12.線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得．1.【陜西省西安市長安區(qū)2017屆高三4月模擬】非空集合,當(dāng)時,對任意實數(shù)，目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值至少有一個不存在,則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2.【福建省莆田2017屆高三一?！坑洸坏仁浇M所表示的平面區(qū)域為，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.3.【遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校2017屆高三第九次?！咳魧崝?shù)滿足：，則的最小值為A.B.C.D.4.【湖南省瀏陽一中2017屆高三高考適應(yīng)性】若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值和最小值之和為（）A.B.C.14D.185.【河北省衡水中學(xué)2017屆高三二摸】若實數(shù)滿足條件，則的最大值為（）A.B.C.D.6.【2017屆湖南省衡陽市高三第二次聯(lián)考】已知實數(shù)、滿足，則的最小值是（）A.1B.2C.3D.47.【吉林省吉林大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三第八次模擬考試】已知實數(shù)滿足不等式組若直線把不等式組表示的平面區(qū)域分成上、下兩部分的面積比為，則A.B.C.D.8.【四川省南充市2017屆第三次診斷】已知向量，且，若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A.B.C.D.219.【河北省定州中學(xué)2017屆高三第二次月考】在平面區(qū)域x-y+2≥0,y+2≥0,x+y+3≤0內(nèi)取點M，過點M作曲線x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，設(shè)∠AMB=θ10.【江蘇省如皋市2017屆高三聯(lián)考（二）】設(shè)不等式組{2x-y-2≤0,x+y-1≥0,x-y+1≥0表示的平面區(qū)域為a，P(x，y)11.【2016河南六市一?！繉崝?shù)滿足，使取得最大值的最優(yōu)解有兩個，則的最小值為（）A．0B．-2C．1D．-112.【2016年湖南師大附中高三三?！吭O(shè)實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,x＋2y－5≥0，,y－2≤0，))則z＝eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)的取值范圍是（）A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,