五種類型雞兔同籠問題題型歸類及練習答案

雞兔同籠問題一．意義：“雞兔〞的總頭數和總腿數。求“雞〞和“兔〞各多少只。解題關鍵：采用假設法，假設全是一種動物〔如全是雞或全是兔〕，然后根據腿的差數可以推斷出一種動物的頭數。解題規(guī)律：假設全是雞，兔子頭數=〔總腿數－雞腿數〕÷2；即兔子頭數=〔總腿數－2×總頭數〕÷2。假設全是兔子，雞的只數=〔兔子腿數－總腿數〕÷2，即雞的只數=〔4×總頭數－總腿數〕÷2二．常見題型：雞兔同籠問題五種根本公式〔1〕總頭數和總腳數，求雞、兔各多少：〔總腳數-每只雞的腳數×總頭數〕÷〔每只兔的腳數-每只雞的腳數〕=兔數；總頭數-兔數=雞數?；蛘呤恰裁恐煌媚_數×總頭數-總腳數〕÷〔每只兔腳數-每只雞腳數〕=雞數；總頭數-雞數=兔數。例如，“有雞、兔共36只，它們共有腳100只，雞、兔各是多少只？〞解一〔100-2×36〕÷〔4-2〕=14〔只〕………兔；36-14=22〔只〕……………雞。解二〔4×36-100〕÷〔4-2〕=22〔只〕………雞；36-22=14〔只〕…………兔。〔答略〕〔2〕總頭數和雞兔腳數的差數，當雞的總腳數比兔的總腳數多時，可用公式〔每只雞腳數×總頭數-腳數之差〕÷〔每只雞的腳數+每只兔的腳數〕=兔數；總頭數-兔數=雞數或〔每只兔腳數×總頭數+雞兔腳數之差〕÷〔每只雞的腳數+每只免的腳數〕=雞數；總頭數-雞數=兔數?！怖浴场?〕總數與雞兔腳數的差數，當兔的總腳數比雞的總腳數多時，可用公式。〔每只雞的腳數×總頭數+雞兔腳數之差〕÷〔每只雞的腳數+每只兔的腳數〕=兔數；總頭數-兔數=雞數?；颉裁恐煌玫哪_數×總頭數-雞兔腳數之差〕÷〔每只雞的腳數+每只兔的腳數〕=雞數；總頭數-雞數=兔數?！怖浴场?〕得失問題〔雞兔問題的推廣題〕的解法，可以用下面的公式：〔1只合格品得分數×產品總數-實得總分數〕÷〔每只合格品得分數+每只不合格品扣分數〕=不合格品數。或者是總產品數-〔每只不合格品扣分數×總產品數+實得總分數〕÷〔每只合格品得分數+每只不合格品扣分數〕=不合格品數。例如，“燈泡廠生產燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產一個合格品記4分，每生產一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？〞解一〔4×1000-3525〕÷〔4+15〕=475÷19=25〔個〕解二1000-〔15×1000+3525〕÷〔4+15〕＝1000-18525÷19=1000-975=25〔個〕〔答略〕〔“得失問題〞也稱“運玻璃器皿問題〞，運到完好無損者每只給運費××元，破損者不僅不給運費，還需要賠本錢××元……。它的解法顯然可套用上述公式?！场?〕雞兔互換問題〔總腳數及雞兔互換后總腳數，求雞兔各多少的問題〕，可用下面的公式：〔〔兩次總腳數之和〕÷〔每只雞兔腳數和〕+〔兩次總腳數之差〕÷〔每只雞兔腳數之差〕〕÷2=雞數；〔〔兩次總腳數之和〕÷〔每只雞兔腳數之和〕-〔兩次總腳數之差〕÷〔每只雞兔腳數之差〕〕÷2=兔數。例如，“有一些雞和兔，共有腳44只，假設將雞數與兔數互換，那么共有腳52只。雞兔各是多少只？〞解〔〔52+44〕÷〔4+2〕+〔52-44〕÷〔4-2〕〕÷2=20÷2=10〔只〕……………雞〔〔52+44〕÷〔4+2〕-〔52-44〕÷〔4-2〕〕÷2=12÷2=6〔只〕…………兔〔答略〕例1.有雞兔共30只，兔腳比雞腳多60只，問雞兔各多少只？ 解：兔數：〔2×30+60〕÷〔2+4〕=20〔只〕；雞數：30-20=10〔只〕解析：首先假設都是雞，那么有60只腳，然后再加上雞兔腳數之差，那么剩下的和兔數相同的雞和兔，也就是相當也是一種六條腿的小怪物，所以再除以6，就自然得出兔子的數了。例2.小朋友們去劃船，大船可以坐10人，小船坐6人，小朋友們共租了15只船，乘大船的人比乘小船的人多22人，問大船幾只，小船幾只？ 解：大船：〔6×15+22〕÷〔6+10〕=7〔只〕；小船：15-7=8〔只〕 或者 小船：〔10×15-22〕÷〔6+10〕=8〔只〕大船：15-8=7〔只〕例3.有一些雞和兔，共有腳44只，假設將雞數與兔數互換，那么共有腳52只。雞兔各是多少只？解：雞數：〔〔52+44〕÷〔4+2〕+〔52-44〕÷〔4-2〕〕÷2=20÷2=10〔只〕 兔數：〔〔52+44〕÷〔4+2〕-〔52-44〕÷〔4-2〕〕÷2=12÷2=6〔只〕解析：首先用雞兔互換的數相加，大家想想，那出來的結果是什么，是不是雞兔的數都變成了雞兔的總數，已經是變成了雞兔總數只的六條腿的小怪物，所以〔52+44〕÷〔4+2〕，得出的是雞兔的和，這時其實就變成了一道普通的雞兔同籠問題了，但如果我們再看看用雞兔互換的數相減得到的是什么數，為什么交換了會有差捏，因為兔子4條腿，雞2條腿，所以每把一只雞換成一只兔子就會多出兩條腿，所以〔52-44〕÷〔4-2〕，得出的是雞兔的差。那么這是不是就變成和差問題了，下面大家就能很容易的解答了。例4.小朋友們去劃船，大船可以坐10人，小船坐6人，能坐130人，如果把大船和小船的只數互換那么少坐20人，問大船幾只，小船幾只？ 解：小船：〔〔130-20+130〕÷〔10+6〕+20÷〔10-6〕〕÷2=20÷2=10〔只〕 大船：〔〔130-20+130〕÷〔10+6〕-20÷〔10-6〕〕÷2=10÷2=5〔只〕例5.有雞兔共30只，雞腳比兔腳多30只，問雞兔各多少只？ 解：兔數：〔2×30-30〕÷〔2+4〕=5〔只〕；雞數：30-5=25〔只〕解析：首先假設都是雞，那么有60只腳，然后再減去雞兔腳數之差，那么剩下的和兔數相同的雞和兔，也就是相當也是一種六條腿的小怪物，所以再除以6，就自然得出兔子的數了。例6.小朋友們去劃船，大船可以坐10人，小船坐6人，小朋友們共租了15只船，乘小船的人比乘大船的人多42人，問大船幾只，小船幾只？ 解：大船：〔6×15-42〕÷〔6+10〕=3〔只〕；小船：15-3=12〔只〕 或者 小船：〔10×15+42〕÷〔6+10〕=12〔只〕大船：15-12=3〔只〕總頭數-雞數=兔數。例7.“燈泡廠生產燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產一個合格品記4分，每生產一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？〞解一〔4×1000-3525〕÷〔4+15〕=475÷19=25〔個〕解二1000-〔15×1000+3525〕÷〔4+15〕＝1000-18525÷19=1000-975=25〔個〕〔答略〕〔“得失問題〞也稱“運玻璃器皿問題〞，運到完好無損者每只給運費××元，破損者不僅不給運費，還需要賠本錢××元……。它的解法顯然可套用上述公式?！痴n堂練習1.小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？解：有兔〔44-2×16〕÷〔4-2〕=6〔只〕，有雞16-6＝10〔只〕。答：有6只兔，10只雞。2.100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160〔個〕?，F在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3-1＝2〔個〕，因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20〔人〕。彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？假設買了16套彩色文化用品，那么共需19×16＝304〔元〕，比實際多304——280＝24〔元〕，現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8〔元〕，所以 買普通文化用品24÷8=3〔套〕， 買彩色文化用品16－3＝13〔套〕。 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200-20=180〔只〕?，F在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6〔只〕，而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70〔只〕。解：有兔〔2×100——20〕÷〔2＋4〕＝30〔只〕，有雞100——30=70〔只〕。答：有雞70只，兔30只。 現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？ 解：小瓶有〔4×50-20〕÷〔4＋2〕＝30〔個〕， 大瓶有50-30＝20〔個〕。答：有大瓶20個，小瓶30個。一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144〔噸〕。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9〔輛〕小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16〔噸〕。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷〔45-36〕×45＝720〔噸〕。答：這批鋼材有720噸。7.樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償元，結果搬運站共得運費元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費×500=120〔元〕。實際上只得到元，少得=〔元〕。搬運站每打破一只花瓶要損失＋＝〔元〕。因此共打破花瓶÷＝3〔只〕。解：〔×500－〕÷〔＋〕＝3〔只〕。答：共打破3只花瓶。8.小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了12×〔2＋3〕＝60〔下〕?？汕蟪鲂访糠昼娞?80－60〕÷〔2＋3＋3〕＝90〔下〕，小樂一共跳了90×3=270〔下〕，因此小喜比小樂共多跳780－270×2＝240〔下〕。課后作業(yè)1.某校有100名學生參加數學競賽,平均分是63分，其中男生平均分是60分,女生平均分是70分,男同學比女同學多________人。女生:(63100-60100)(70-60)=30(人)男生:100-30=70(人)70-30=40(人)2.有黑白棋子一堆,其中黑子的個數是白子個數的2倍,如果從這堆棋子中每次同時取出黑子4個,白子3個,那么取出________次后,白子余1個,而黑子余18個。由黑子的個數是白子個數的2倍,假設每次取出白子2個(黑子的一半)的話,那么最后余下黑子18個，白子應余下182=9〔個〕現在只余下一個白子,這是因為實際每次取3個比假設每次多取一個,故共取(9-1)(3-2)=8(次)3.學生買回4個籃球5個排球一共用185元,一個籃球比一個排球貴8元,籃球的單價是________元。(185-48)(5+4)+8=25(元)4.小強愛好集郵,他用1元錢買了4分和8分的兩種郵票,共20張.那么他買了4分郵票________張.(208-100)(8-4)=15(張)5.松鼠媽媽采松子,晴天每天采20個,雨天每天可采12個,它一連采了112個,平均每天采14個,這幾天中有________天是雨天.(1121420-112)(20-12)=6(天)6.一些2分與5分的硬幣共299分,其中2分的個數是5分個數的4倍,5分的有________個.299(24+5)=23(個)7.某人領得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣共50張,其中2元和5元的張數一樣多,那么10元的有________張.(1050-240)[10-(2+5)2]=40(張)[240-(2+5)(402)]10=10(張)8.一件工程甲獨做12天完成,乙獨做18天完成,現在由甲先做假設干天后,再由乙單獨完成余下的任務,這樣前后共用了16天,甲先做了__4__天.解析：把這項工程設為36份,甲每天做3份,乙每天做2份,甲先做4天,乙再做12天才完成.9.買一些4分、8分、1角的郵票共15張，用幣100分最多可買１角的__6__張。解析：假設都買4分郵票,共用415=60(分),就多余100-60=40(分).買一張1角郵票,可以認為40分換1角,要多6分,406=6……4,就多買6張.最后多余4分,加上一張4分郵票,恰好買一張8分郵票.10.買一些4分與8分的郵票共花6元8角,8分的郵票比4分的多40張,那么8分的郵票有______張.4分:(680-840)(8+4)=30(張)8分:30+40=70(張)11.雞兔共200只,雞的腳比兔的腳少56只,那么雞有幾只,兔有幾只?兔:(200+562)(2+1)=76(只)雞:200-76=124(只)12.有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶,運費按到達時完好瓶子數目計算，每只2角,如有破損,破損1個瓶子還要倒賠1元,結果得到運費元,問這次搬運中玻璃損壞了幾只?只)13.某次數學測驗共20題,做對一題得5分,做錯一題倒扣1分,不做得0分.小華得了76分,問他做對幾題？解析：76分比總分值少24分.做錯一題少6分,不做少5分,24分只能做錯4題,那么沒有沒做,16題做對.14.甲乙兩人射擊,假設命中,甲得4分,乙得5分;假設不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10發(fā),共命中14發(fā),結算分數時,甲比乙多10分,問甲、乙各中幾發(fā)?解析：假設甲中10發(fā),乙就中14-10=4(發(fā)).甲得410=40(分),乙得54-36=2(分).此題條件“甲比乙多10分〞相差(40-2)-10=28(分),甲少中1發(fā),少4+2=6(分),乙可增加5+3=8(分).28(8+6)=2.10-2=8(發(fā))……甲.14-8=6(發(fā))……乙.方程與實際問題1. 雞兔同籠,共有頭100個,足316只,那么雞有_______只,兔有______只.2.小明花了4元錢買賀年卡和明信片,共14張,賀年卡每張3角5分,明信片每張2角5分.他買了_______張賀年卡,_______張明信片.3.文化路小學六年級舉行數學競賽,共20道試題.做對一題得5分,沒有做一題或做錯一題倒扣3分.劉剛得了60分,那么他做對了________題.4.雞兔共有腳100只,假設將雞換成兔,兔換成雞,那么共有腳92只,那么雞______只.兔有_______只.個饅頭100個和尚吃,大和尚每人吃3個,小和尚3人吃一個,那么大和尚有_______個,小和尚有_______個.枚硬幣,由2分和5分組成,共值9角9分,2分硬幣有_______個,5分有________個.7.有鋼筆和鉛筆共27盒,共計300支.鋼筆每盒10支,鉛筆每盒12支,那么鋼筆有_______盒,鉛筆有_______盒.8.雞兔同籠,共有足248只,兔比雞少52只,那么兔有______只,雞有______只.9.工人運青瓷花瓶250個,規(guī)定完整運一個到目的地給運費20元,損壞一個倒賠100元，運完這批花瓶后，工人共得4400元,那么損壞了______只.10.有2角,5角和1元人民幣20張,共計12元,那么1元有_______張,5角有______張,2角有_______張.二、分析與解答題:1.班主任張老師帶五年級(2)班50名同學栽樹,張老師一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,總共栽樹120棵,問幾名男生，幾名女生？2.大油瓶一瓶裝4千克,小油瓶2瓶裝1千克.現有100千克油裝了共60個瓶子.問大、小油瓶各多少個?3.樂樂參加數學競賽,共做20道題,得76分,做對一道得5分,錯一題扣1分.問小毛做對幾道題?4.小紅的儲錢罐里有面值2元和5元的人民幣共65張，總錢數為205元，兩種面值的人民幣各多少張？5.朱老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10條船．每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？6.雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數共274只，問雞、兔各幾只？7.幼兒園買來20張小桌和30張小凳共用去1860元，每張小桌比小凳貴8元，問小桌、小凳的價格各多少？8.瓷器商店委托搬運站運送800只花瓶，雙方商定每只運費是元，如果打破1只，不但不計運費，而且要賠償元，結果運到目的地后，搬運站共得運費元，求打破了幾只花瓶？1．雞有42只，兔有58只．兔:(316-1002)(4-2)=58(只),雞:100-58=42(只).2.明信片有9張,賀年卡有5張.明信片:(3514-400)(35-25)=9(張)賀年卡:14-9=5(張).3.15題.20-(520-60)(5+3)=15(題).4.雞有14只,兔有18只.因雞和兔互換,腳數減少100-92=8(只),所以原來的兔比雞多8(4-2)=4(只),這4只兔子共有44=