人教版數(shù)學八年級上冊134最短路徑問題 教案

課題：最短路徑問題教學目標1.理解并掌握平面內(nèi)一條直線同側(cè)兩個點到直線上某一點的和最短，這點確實定方法。2.能利用軸對稱平移的方法，解決實際中的最短路徑問題。3.讓學生經(jīng)歷探索過程，體會運用轉(zhuǎn)化，建模的思想研究數(shù)學問題的方法，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力。教學重點將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“連點之間，線段最短〞問題。教學難點如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。教學突破利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短〞問題，首先要引導學生回憶學過的有關線段大小關系的結(jié)論；其次，利用軸對稱方法，把點到點問題，轉(zhuǎn)化為最短線段問題；第三，能“舉一反三〞應用到實際。教學方法自學探究法、邊講邊練法.教學手段多媒體輔助教學.教學過程教師活動學生活動設計意圖創(chuàng)設情境，引入新課。1、中國式的“過馬路〞和中國式的“綠化帶〞，你能想到什么？2、如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊MN的某一處牧馬，然后再到河邊飲馬,然后回到B處，你能找到他行動的最短路線嗎？能說出你找的理由嗎？3、小組活動：拿出準備好的隨堂練習，以小組形式，完成題目。4、小組展示:不同做法。師：究竟哪個組的是正確的能，能有什么樣的數(shù)學依據(jù)呢，今天我們學完本節(jié)內(nèi)容，大家便見分曉。二、新授課：〔一〕、自主學習問題：1.如圖，點M到點N之間有三條路線，第最短。理由：。2.如圖，在一條筆直的公路AB上，有一輛小車P，〔1〕當小車行駛到AB的什么位置時，小車P到M和N的距離之和最短？〔2〕如右圖，當小車行駛到AB的什么位置時，小車P到M和N的距離之和最短？小組展示：師歸納：在〔1〕中點M、N分別位于AB兩側(cè)，當小車行駛到MN與AB的交點時，和最短；那么第2小題，能不能像1一樣，把點M或點N轉(zhuǎn)化到1的形式呢?顯然，問題可以解決。師完成板書做圖。師啟發(fā)：為什么這種做法是最短的，你能用以前所學的知識進行證明嗎？我們都學過哪些比擬長短的方法?小組討論。小組展示：解：如圖，設除點P外的另一個點P′，連接P′M和P′N,∵N與N′關于AB軸對稱∴PN=PN′同理：P′N=P′N′那么：PM+PN=PM+PN′=MN′P′M+P′N=P′M+P′N′而MN′＜P′M+P′N′∴MN′最短，即PM+PN最短。師生共同歸納：借助另一點，利用三角形三邊關系證明最短，而找最短的方法是“軸對稱〞的橋梁作用，形成“兩點之間線段最短〞。〔二〕練習：1.如圖直線L是一條河，需要往點P和點Q送水，，泵站M要選在L的什么位置，使鋪設的管道最短，下列圖哪個符合要求：〔〕2.在直角坐標系中有A,B兩點，要在Y軸上找一點C,使它到A,B的距離之和最小，以下方案正確的選項是：〔〕(三)、課堂小結(jié)：找最短路徑的方法是利用軸對稱,從而形成“兩點之間線段最短〞.三、拓展探索：1.如圖，兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？〔假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直〕生獨立思考，并小組交流。師啟發(fā)：①怎樣把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題？②假設河兩岸重合，最短路徑是什么？③將兩岸平移開，應該怎么做呢？④河岸不能平移，那么點呢？作法：1.將點A沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到點E.2.連接BE交河對岸與點M.那么:點M為建橋的位置，MN為橋的位置。歸納：當要求的線段有多條時，通常有定值的線段，可以采用平移的方法減去定值，然后求最短路徑。四、問題回憶：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊MN的某一處牧馬，然后再到河邊飲馬,然后回到B處，你能找到他行動的最短路線嗎？能說出你找的理由嗎？做法：1、做點A關于MN的對稱點A′,做點B關于CD的對稱點B′。2、連接A′B′，交MN于P，交CD于Q。那么：點P、Q為所求的點。練一練：1.如圖，∠AOB內(nèi)有一點P，在OA和OB邊上分別找兩點M、N，使形成的△PMN周長最短。2.如圖，∠AOB內(nèi)有兩點P、Q，在OA和OB邊上分別找兩點M、N，使形成的四邊形PMNQ周長最短。五、歸納小結(jié)：1、這節(jié)課你學到了哪些知識？具體方法？①把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的方法，做出符合題意的圖形。②解決最短路徑問題的方法：借助軸對稱或平移的知識，化折為直，利用“兩點之間，線段最短〞來求線段和的最小值.2、還有呢？不能用數(shù)學原理，去破壞社會秩序。六、布置作業(yè)：1、如圖，點D為△ABC邊BC上的任意點，在邊AB和AC上各求一點E、F，使形成的△DEF周長最小。2、如圖，點E是等邊△ABC的AC邊的中點，AD⊥BC,且AD=5,P是AD上一動點，那么PE+PC的最小值是。進行政治思想教育。生讀題，師引導把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，抽象出圖形，并積極表達自己的做法。〔小組討論〕雖然不一定做對，但要有表達自己想法的積極性。提出問題，先由小組內(nèi)部討論解決，并發(fā)表見解，后大家共同得出明確的認識。同時，對知識進行回憶。小組內(nèi)部邊學習，邊嘗試，盡可能的表達本組的思想方法。學生要有一種模仿和轉(zhuǎn)化意識。理解轉(zhuǎn)化的具體方法，及依據(jù)。小組繼續(xù)思考證明方法。展示正確做法。比擬圖形的區(qū)別，找出正確的做圖方式，進一步加深，軸對稱找點的方法。生獨立思考，并小組交流。生讀題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，求三條線段的和最短？生模仿，完成做圖。生思考，獨立完成。生獨立完成。學生靜下來，回憶本節(jié)內(nèi)容，找出本節(jié)重點。學生已經(jīng)進一步的會進行實際問題的轉(zhuǎn)化，練習數(shù)學問題，加深理解提高，拓展。課下完成拓展訓練作業(yè)。吸引學生的注意力，喚起學生的好奇心，激發(fā)學生學習興趣和主動學習的欲望。引入課題。讓學生感受實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的方法，理解并轉(zhuǎn)化幾何圖形，第1題，個人根本都解決，并回憶：兩點之間，線段最短。第2題，進一步感受“兩點之間線段最短〞，為把同側(cè)兩點，轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點做鋪墊。雖不能都正確，但培養(yǎng)學生的一種敢于表達自己的想法的堅強毅力。師給學生演示標準的做圖要求，并標準做圖方法。讓學生體會做法的正確性，提高數(shù)學的邏輯思維能力。在反思中體會“軸對稱〞的作用，學會轉(zhuǎn)化的方法。通過對圖形的認識，進一步加深，軸對稱找點的方法。對知識的穩(wěn)固提高，拓展，兩條線段的和最短會，那么三條線段的和最短呢？通過一步步的引導，把三條線段和最短的方法推出，通過平移，把