解三角形【知識點】

解三角形的必備知識和典型例題及詳解一、知識必備：1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.6．求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（2）建模：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；（3）求解：正確運用正、余弦定理求解；（4）檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義。二、典例解析題型1：正、余弦定理例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理， 因為＜＜，所以，或①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，點評：應(yīng)用正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器題型2：三角形面積例2．在中，，，，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由計算它的對偶關(guān)系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得。=1\*GB3①－=2\*GB3②得。從而。以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？題型3：三角形中的三角恒等變換問題例3．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB?！?sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。題型4：正、余弦定理判斷三角形形狀例4．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sinC=sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB∴sin（A－B）＝0，∴A＝B另解：角化邊點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑題型5：三角形中求值問題例5．的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；當(dāng)sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)時,cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值為eq\f(3,2)。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。題型6：正余弦定理的實際應(yīng)用例6．（2009遼寧卷文，理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，

在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。三、思維總結(jié)1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC中，，…3．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC中，，…4．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。三、課后跟蹤訓(xùn)練1.（2010上海文數(shù)18.）若△的三個內(nèi)角滿足，則△（）（A）一定是銳角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C為鈍角2.（2010天津理數(shù)7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，，則A=()（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由正弦定理得，所以cosA==，所以A=300【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或?qū)⒔腔癁檫呥\算。3.（2010湖北理數(shù)）3.在中，a=15,b=10,A=60°，則=A－BC－D【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理可得解得，又因為，則，故B為銳角，所以，故D正確.4.（2010廣東理數(shù)）11.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=,A+C=2B,則sinC=.解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，即．由知，，則，，5（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于，的取值范圍為.解析設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，6.（2009全國卷Ⅰ理）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且求b分析：:此題事實上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2)過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法：在中則由正弦定理及余弦定理有:（角化邊）化簡并整理得：.又由已知.解得.7．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。8.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵為銳角，∴∵,∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴∴9.（2010陜西文數(shù)17）（本小題滿分12分） 在△ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長. 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°,ADB=60° 在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°， 由正弦定理得, ∴AB=10.（2010遼寧文數(shù)17）（本小題滿分12分）在中，分別為內(nèi)角的對邊，且（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，試判斷的形狀.解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 即 由余弦定理得 故