運算和對數(shù)函數(shù)

5要求層重難對數(shù)的概念及其運算性B換底公A理解對數(shù)的概掌握當(dāng)?shù)讛?shù)a1與0a1時，對數(shù)掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的概B對數(shù)函數(shù)的圖象和性Cyaxyloga互為反函數(shù)（a0a1）B能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解，分可稱為前轉(zhuǎn)給我空間、時間和對數(shù)，我可以創(chuàng)造一個宇宙這是16世紀(jì)意大利著名學(xué)者的一段話.從這段話可以看出把對數(shù)與寶貴的空間和時間相提并論.對數(shù)的發(fā)展絕非一人之功.首先要提到的是16世紀(jì)鐘表匠標(biāo)爾基，當(dāng)他結(jié)識了天，象,于是便產(chǎn)生了簡化計算的想法.從16031611年,標(biāo)爾基用了八年的時間,一個數(shù)一個數(shù)的算,造出了一個對數(shù)表,這個對數(shù)表幫了的大忙.認識到了對數(shù)表的使用價值,勸標(biāo)爾基趕快把對數(shù)表,標(biāo)爾基認為這個對數(shù)表還過于粗糙,一直沒下決心.正在標(biāo)爾基猶豫不決的時候,1614年6月在愛丁堡了蘇格蘭納皮爾男爵所造的題為《板塊一：對數(shù)的定義和相關(guān)概告訴我們：納皮爾在人們心板塊一：對數(shù)的定義和相關(guān)概(一)知識內(nèi)y的對數(shù)，這樣從yx的對應(yīng)是指數(shù)運算的一個相反運算，讓同學(xué)思考由函數(shù)的定義，對數(shù)一般地如果axy(a0

a1那么數(shù)x叫做以a為底y的對數(shù)記作xlogay其中a叫做對數(shù)的底數(shù)y叫做真數(shù)關(guān)系axy指數(shù)ax底數(shù)(a0a指數(shù)(x冪（值）yR對數(shù)logay底數(shù)(a0a對數(shù)(x真數(shù)yR對數(shù)恒等式及對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)logaN(a0a1滿足⑴零和負數(shù)沒有對數(shù)⑵1的對數(shù)是零，即loga10⑶底的對數(shù)等于1，即logaa1常用對數(shù)：通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lgN自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e然對數(shù)，并且把logeN記為lnN

為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為a對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a0a1時axNxlogNa指數(shù)和對數(shù)的互化aaabNlogNb.alogaNN，logaNaa（二）主要方法重視對數(shù)的概念，應(yīng)用基礎(chǔ)概念解決具體問熟練運用指數(shù)和對數(shù)的互（三）典例分析【例1】⑴將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式①54625；②261

133

5.73；④log11642⑤lg0.012；⑥ln102.303⑵求下列各式中x的值①

x2；②log86；③lg100x；④lne2x 【例2將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式（2）2（3）lg0.01=-2（4）ln10=2.303【例3log927log4381log

32

3，⑷log3455(一)知識內(nèi)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0，且a1M0N0，那么loga(MNlogaMlogaN（積的對數(shù)等于對數(shù)的和推廣loga(N1N2...Nk)logaN1logaN2loga⑵

Ma

aM

N（商的對數(shù)等于對數(shù)的差 ⑶logMlogM( ⑷

n1logN n（正數(shù)冪的對數(shù)，等于冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對數(shù)<教師備案>以性質(zhì)⑴為例進行證明如下已知logaMlogaN（MN0，求loga(MN 設(shè)logMplogNq，根據(jù)對數(shù)的定義，可得MapN MNapaq∴l(xiāng)oga(MN)pqlogaMloga換底公式logNlogaN（a,b0a,b1N0b

logab設(shè)logNx，則bxN.b兩邊取以a為底的對數(shù)，得xlogablogaNa所以xlogaN，即a

NlogaNloga法二

log根據(jù)對數(shù)恒等式及對數(shù)的運算性質(zhì)推 由對數(shù)恒等式得logNlogblog(blogbN 所以有

NlogaNa loga換底公式的意義：把以一個數(shù)為底的對數(shù)換成以另一個大于0且不等于1的數(shù)為底的對數(shù)，以達到計算、化簡或證明的目的.<教師備案>常見錯誤loga(MNlogaMlogaNloga(MNlogaMlogaN

MlogaMaa loga關(guān)于對數(shù)的恒等①alogaN

②

an

③logab

1logb④

M M

⑤loga

logb

log log （二）主要方解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域解決對數(shù)不等式、對數(shù)方程時，要重視考慮對數(shù)的真數(shù)、底數(shù)的范圍對數(shù)不等式的主要解決思想是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（三）典例分【例4求下列各值⑴1log36log3；⑵ 3；⑶lg1；⑷3log35；⑸9log35；⑹3log3 3⑺log3

【例5】求值⑴2lg3lg7lg25lg7；⑵

35

3；⑷log34log259log1653【例6】a、b0，且a、b1logablogba，a

ab

ab或ab

a、b為一切非1的正【例7】⑴log83p，log35q，那么lg5等 （用p，q表示 ⑵知log9a，18b5，用a,b表示log45 【點評】⑴換底公式的一個重要應(yīng)用logmnlognm⑵log182

18，將未知轉(zhuǎn)化為已知，是對數(shù)函數(shù)運算性質(zhì)的重要應(yīng)9【例8】已知log3a3b7，求log 【例9】已知lg5mlg3n，用mn表示log308【例10】已知abm(a0,b0,m1且logmbx，則logma等1

1

x

x【例11】已知f(x)

x2，且f(lga) ，求a的值nlogaaa【例12】下列各式中，正確nlogaaalgx22lg

1logx

logaxlog 1log

loga 【例13】已知logx3)(x23x)1，求實數(shù)x的值【例14】a為實常數(shù)，解關(guān)于x的方程lgx1lg3xlgax板板塊三：對數(shù)函ylogax(a0a1）x對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1）的圖象和性質(zhì)如下表所示0aa圖yO1y=logaxyO1x定義值R性⑴過定點(10x1y⑵在(0上是減函數(shù)（2）在(0上是增函數(shù)線yx對稱等.【例15】求下列函數(shù)的定義域log1(x2 ⑴ylogx2；⑵log(4log1(x2 【例16】求下列函數(shù)的定義域⑴y

log3(3x⑵ylogx1(3x)a【例17】已知f(xlog(ax1a0且a1a⑴求f(x的定義域⑵討論函數(shù)f(x的單調(diào)性x【例18】求函數(shù)f(xlog2x1log2(x1log2px的定義域和值域【例19】函數(shù)ylg(20xx2的值域 C.y＞0且 【例20】已知函數(shù)f(x)lg[mx22(m1)x9m4⑴若此函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍⑵若此函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍【點評】本題涉及到解一元二次不等式的解法，可根據(jù)學(xué)生情況進行講解mx28x【例21】已知函數(shù)f(xlog

x2

的定義域為R，值域為[02]，求m，n的值【例22】下面結(jié)論中，不正確的aa＞1，則yaxylogx在定義域內(nèi)均為增函a3函數(shù)y3xylogx圖象關(guān)于直線yx對3 ylogx2y2logx表示同一 若0a10mn1，則一定有l(wèi)ogamlogan【例23】已知f(xlgaxbx)(ab為常數(shù)①當(dāng)a，b＞0a≠b時，求f(x)的定義域②當(dāng)a＞1＞b＞0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性，并用定義證【例24】在函數(shù)ylogax(0a1x1的圖象上有A，B，C三點，它們的橫坐標(biāo)分別是若△ABC的面積為S，求S＝f（t判斷S＝f（t）的單調(diào)性求S＝f（t）的最大值【例25】已知函數(shù)f(x

x2的定義域為，值域為ax

aa(1),

f在上為減函數(shù)（1）求證（2）求a的取值范圍【例26】對于f(x)log1(x22ax32⑴函數(shù)的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事⑵結(jié)合“a取何值時，f(x)在[1，)上有意義”與“a取何值時，函數(shù)的 (3，)”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別1]1]【點評】該題主要復(fù)合對數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題.解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價，同時又了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過程中結(jié)合三個二次的重要結(jié)論來進行處理.【例28】比較下列各組數(shù)的大小⑴log23.4，log28.5⑵log031.8，log032.7loga5.1loga5.9(a0且a1.如：設(shè)1a10，比較lga2(lga)2lg(lga的大小1a100lga1，于是lg(lga0lga)2lga22【例29】f(logx2x(x0，則f（3）的值2 【例30】a、b、c是圖中三個對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，它們的大小關(guān)系 【例31】（2005年文已知log1blog1alog1c，則 2b2a

2a2b

2c2b

2c2a【例32】如果loga2logb20，那么a，b的關(guān)系及范圍【例33】⑴若loga2logb20，則0ab

0ba

ab

ba⑵已知

1，求a的取值范圍a【點評】在上面的對數(shù)函數(shù)圖象中，共有四條對數(shù)函數(shù)ylogax，底數(shù)a的大小比較可以通過作一條直線：y1，于四條曲線分別交于點P1,P2,P3,P4，易知，這四點的橫坐標(biāo)即對應(yīng)相應(yīng)的底數(shù)【例34】已知函數(shù)f(x)1logx3g(x)2logx2⑴試比較函數(shù)值f(xg(x的大小⑵求方程|f(xg(x|f(xg(x)4的解集【例35】函數(shù)ylogaxx[2上恒有|y|1，求a的范圍【例36】已知a＞0，a≠10x1，比較|loga(1x|和|loga(1x|的大小【例37】若log2a1，則a的取值范圍30a3

a3

2a1

0a23【例38】若關(guān)

lg(xa)

2至少有一個實數(shù)根，則求a的取值范圍【例39】設(shè)ab為正數(shù)，若lg(axlg(bx10有解，則求a的取值范圍b【例40】如果 (a21)≤ 2a，求a的取值范圍2a 2a 【例41】已知A{x|logx(5x28x32，B{