離散傅里葉變換(DFT)

第三章離散傅里葉變換（DFT）傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）傅立葉變換（DFT）DFT應(yīng)用DFT存在的問(wèn)題FSFTDFSDTFT：

FS：傅立葉級(jí)數(shù)展開,用于分析連續(xù)周期信號(hào),時(shí)域上任意連續(xù)的周期信號(hào)可以分解為無(wú)限多個(gè)正弦信號(hào)之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號(hào)，即時(shí)域連續(xù)周期對(duì)應(yīng)頻域離散非周期的特點(diǎn)。FT：傅立葉變換，用于分析連續(xù)非周期信號(hào)，由于信號(hào)是非周期的，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以具有時(shí)域連續(xù)非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點(diǎn)。DTFT：離散時(shí)間傅立葉變換，它用于離散非周期序列分析，由于信號(hào)是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以對(duì)離散非周期信號(hào)變換后的頻譜為連續(xù)的，即有時(shí)域離散非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點(diǎn)。DFS：離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)，離散周期序列信號(hào)，取主值序列，得出每個(gè)主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。離散性諧波性周期性離散性諧波性衰減性連續(xù)周期離散FS非周期DTFTDFSFT密度性

連續(xù)性

周期性密度性

連續(xù)性

衰減性采樣采樣周期周期DFT的提出：離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對(duì)于DTFT，它更便于用計(jì)算機(jī)處理。但是，直至上個(gè)世紀(jì)六十年代，由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計(jì)算量較大，離散傅里葉變換長(zhǎng)期得不到真正的應(yīng)用，快速離散傅里葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強(qiáng)大功能，并被廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中。近年來(lái)，計(jì)算機(jī)的處理速率有了驚人的發(fā)展，同時(shí)在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域出現(xiàn)了許多新的方法，但在許多應(yīng)用中始終無(wú)法替代離散傅里葉變換及其快速算法?！?、離散時(shí)間傅立葉變換

“DTFT”是“DiscreteTimeFourierTransformation”的縮寫。傳統(tǒng)的傅立葉變換（FT）一般只能用來(lái)分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，而計(jì)算機(jī)只會(huì)處理離散的數(shù)字編碼消息，所以應(yīng)用中需要對(duì)大量的離散時(shí)間序列信號(hào)進(jìn)行傅立葉分析。DTFT就是對(duì)離散非周期時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析的數(shù)學(xué)工具之一。其中ω為數(shù)字角頻率，單位為弧度。注意：非周期序列，包含了各種頻率的信號(hào)。當(dāng)離散的信號(hào)為周期序列時(shí)，嚴(yán)格的講，離散時(shí)間傅里葉變換是不存在的，因?yàn)樗粷M足信號(hào)序列絕對(duì)級(jí)數(shù)和收斂（絕對(duì)可和）這一傅里葉變換的充要條件，但是采用DFS（離散傅里葉級(jí)數(shù)）這一分析工具仍然可以對(duì)其進(jìn)行傅里葉分析。局限性：離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）是特殊的Z變換，在數(shù)學(xué)和信號(hào)分析中具有重要的理論意義。但在用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方面比較困難。這是因?yàn)?，在DTFT的變換對(duì)中，離散時(shí)間序列在時(shí)間n上是離散的，但其頻譜在數(shù)字角頻率ω上卻是連續(xù)的周期函數(shù)。而計(jì)算機(jī)只能處理變量離散的數(shù)字信號(hào)。所以，如果要想利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)DTFT的運(yùn)算，必須建立時(shí)域離散和頻域離散的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！?、傅里葉級(jí)數(shù)周期為N的序列基頻序列為k次諧波序列為因而，離散傅里葉級(jí)數(shù)的所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的。因此在展開成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，我們只能取N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，通常取k=0到(N-1).∴也是以N為周期的周期序列故所有諧波成分中{}只有N個(gè)是獨(dú)立的，可以用這N個(gè)獨(dú)立成分將展開。

是一個(gè)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)，這種對(duì)稱關(guān)系可表為：習(xí)慣上：記1.周期性2.共軛對(duì)稱性3.可約性4.正交性WN的性質(zhì):是周期序列離散傅立葉級(jí)數(shù)第k次諧波分量的系數(shù)，也稱為周期序列的頻譜?？蓪⒅芷跒镹的序列分解成N個(gè)離散的諧波分量的加權(quán)和，各諧波的頻率為，幅度為

DFS變換對(duì)公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無(wú)窮長(zhǎng)序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無(wú)窮長(zhǎng)序列實(shí)際上只有N個(gè)序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。則DFS變換對(duì)可寫為DFS[·]——離散傅里葉級(jí)數(shù)變換IDFS[·]——離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。與連續(xù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)相比較，周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)的特點(diǎn)：（1）連續(xù)性周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的諧波分量的系數(shù)有無(wú)窮多。而周期為N的周期序列，其離散傅立葉級(jí)數(shù)諧波分量只有N個(gè)是獨(dú)立的。（2）周期序列的頻譜也是一個(gè)以N為周期的周期序列。例：一個(gè)周期矩形序列的脈沖寬度占整個(gè)周期的1/4，一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)為16點(diǎn)，顯示3個(gè)周期的信號(hào)序列波形，并要求：（1）用傅立葉級(jí)數(shù)求信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜。（2）求傅立葉級(jí)數(shù)逆變換的圖形，與原信號(hào)圖形進(jìn)行對(duì)比。clear;N=16;xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)];xn=[xn,xn,xn];n=0:3*N-1;k=0:3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n‘*k);%DFS變換x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n‘*k))/N;%IDFS變換subplot(2,2,1),stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]);subplot(2,2,2),stem(n,abs(x));%顯示IDFS結(jié)果title(‘IDFS|X(k)|’);axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]);subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk));%序列幅度譜title('|X(k)|');axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]);subplot(2,2,4);stem(k,angle(Xk));%序列相位譜title('arg|X(k)|');axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);比較可知，逆變換的圖形比原信號(hào)的圖形幅度擴(kuò)大很多，主要因?yàn)橹芷谛蛄虚L(zhǎng)度為單周期序列的3倍，做逆變換時(shí)未做處理?？蓪DFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);序列周期重復(fù)次數(shù)對(duì)序列頻譜的影響：理論上，周期序列不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示。要對(duì)周期序列進(jìn)行分析，可以先取K個(gè)周期處理，然后再讓K趨于無(wú)窮大，研究其極限情況?；谠撍枷?，可以觀察到序列信號(hào)由非周期到周期變化時(shí)，頻譜由連續(xù)譜逐漸向離散譜過(guò)渡的過(guò)程。例：一個(gè)矩形序列的脈沖寬度占整個(gè)周期的1/2，一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)為10點(diǎn)，要求用傅立葉級(jí)數(shù)求信號(hào)的幅度頻譜。重復(fù)周期數(shù)分別為：1，4，7，10.clear;xn=[ones(1,5),zeros(1,5)];Nx=length(xn);%單周期序列長(zhǎng)度Nw=1000;dw=2*pi/Nw;%把2*pi分為Nw份頻率分辨率為dwk=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5));%建立關(guān)于縱軸對(duì)稱的頻率相量forr=0:3;K=3*r+1;%1,4,7,10nx=0:(K*Nx-1);%周期延拓后的時(shí)間向量x=xn(mod(nx,Nx)+1);%周期延拓后的時(shí)間信號(hào)xXk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K;%DFSsubplot(4,2,2*r+1),stem(nx,x);axis([0,K*Nx-1,0,1.1]);ylabel('x(n)');subplot(4,2,2*r+2),plot(k*dw,abs(Xk));axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]);ylabel('X(k)');end結(jié)論：序列的周期數(shù)越多，頻譜越是向幾個(gè)頻點(diǎn)集中，當(dāng)序列信號(hào)的周期數(shù)N為無(wú)窮大時(shí)，頻譜轉(zhuǎn)化為離散譜。DFS的局限性：在離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）中，離散時(shí)間周期序列在時(shí)間n上是離散的，在頻率ω上也是離散的，且頻譜是ω的周期函數(shù)，理論上解決了時(shí)域離散和頻域離散的對(duì)應(yīng)關(guān)系問(wèn)題。但由于其在時(shí)域和頻域都是周期序列，所以都是無(wú)限長(zhǎng)序列。無(wú)限長(zhǎng)序列在計(jì)算機(jī)運(yùn)算上仍然是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。因此，還有必要對(duì)有限長(zhǎng)序列研究其時(shí)域離散和頻域離散的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

我們知道周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因此它的許多特性可推廣到有限長(zhǎng)序列上。一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)，長(zhǎng)為N，

為了引用周期序列的概念，假定一個(gè)周期序列，它由長(zhǎng)度為N

的有限長(zhǎng)序列x(n)延拓而成，它們的關(guān)系：

§

2、離散傅里葉變換（DFT）1）主值區(qū)間與主值序列對(duì)于周期序列，定義其第一個(gè)周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。

x(n)與的關(guān)系可描述為：

數(shù)學(xué)表示：

其中：RN(n)為矩形序列。符號(hào)((n))N

是余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，表示n

對(duì)N求余數(shù)。周期序列的主值區(qū)間與主值序列：即nmodN：x(n)與的圖形表示：nn……00例：是周期為N=4的序列，求n=6和n=-1對(duì)N的余數(shù)。因此:nn……003362-1例：解：結(jié)論：頻域上的主值區(qū)間與主值序列：

周期序列的離散付氏級(jí)數(shù)也是一個(gè)周期序列，也可給它定義一個(gè)主值區(qū)間，以及主值序列X(k)。數(shù)學(xué)表示：

周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換（DFS）公式：

這兩個(gè)公式的求和都只限于主值區(qū)間（0~N-1），它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個(gè)新的定義——有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換定義。2）離散傅里葉變換的定義即有限長(zhǎng)序列的DTFT

長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)仍是一個(gè)長(zhǎng)度為N

的有限長(zhǎng)序列，它們的關(guān)系為：

x(n)與X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換對(duì)，已知x(n)就能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也就唯一地確定x(n)，實(shí)際上x(n)與X(k)都是長(zhǎng)度為N的序列（復(fù)序列）都有N個(gè)獨(dú)立值，因而具有等量的信息。有限長(zhǎng)序列隱含著周期性。

由于DFT借用了DFS，這樣就假設(shè)了序列的周期無(wú)限性，但在處理時(shí)又對(duì)區(qū)間作出限定（主值區(qū)間），以符合有限長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就使DFT帶有了周期性。另外，DFT只是對(duì)一周期內(nèi)的有限個(gè)離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對(duì)其采樣，此時(shí)采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個(gè)數(shù)。DFT的矩陣方程表示：有限長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換（DFT）的意義：1、為序列在離散頻率點(diǎn)上的頻譜值。2、相當(dāng)于頻譜在范圍內(nèi)實(shí)施了等間隔采樣，采樣間隔為DFT與Z變換的關(guān)系：長(zhǎng)度為N的序列其Z變換：與離散傅立葉變換（DFT）相比較有：可見序列的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上N點(diǎn)的等間隔采樣。顯然，對(duì)于同一序列，當(dāng)頻率采樣點(diǎn)數(shù)不同時(shí)，其DFT的值也不同。例：已知，分別求和時(shí)的。解：由該例可知：頻率采樣點(diǎn)數(shù)不同，DFT的長(zhǎng)度不同，DFT的結(jié)果也不同。3）DFT性質(zhì)：

以下討論DFT的一些主要特性，這些特性都與周期序列的DFS有關(guān)。假定x1(n)與x2(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，其各自的離散傅里葉變換分別為：

X1(k)=DFT[x1(n)]

X2(k)=DFT[x2(n)](1)

線性

DFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(k)+bX2(k),a,b為任意常數(shù)注意：如果兩序列的長(zhǎng)度各不相同，x1(n)為N1點(diǎn)，x2(n)為N2點(diǎn)，則[ax1(n)+bx2(n)]的長(zhǎng)度為N3=max(N1,N2)點(diǎn)，其DFT也應(yīng)為N3點(diǎn)。如果N1<N2，則X1(k)應(yīng)為x1(n)增補(bǔ)N2-N1個(gè)零值后的DFT。（2）移位性質(zhì)。同理可證明移出與補(bǔ)入的關(guān)系故上式求和可寫為：稱作循環(huán)移位。點(diǎn)周期序列，這種移位進(jìn)來(lái)。故移位后仍是，后面的移位，即前面的移出去后移位應(yīng)是整個(gè)序列的移的的一個(gè)周期，所以對(duì)被視作周期序列由于，則：令，由定義得：為的證明：記個(gè)抽樣周期，則：左移或右移點(diǎn)序列將)]([)()(])()([)()()()(])()([)()()()()()()()]([)()]([)(110'~111)('10''mnxDFTkXWWrxWrxWkXNnxnxnxWrxWrxWWrxkXrmnWmnxkXkXDFTmnxkXWmnxDFTkXWmnxDFTmnxNmkNNmrmrkrNkrNmkNmNmrNmrmNNrrkNrkNmkNkmrNNnnkNkmkm-=+=+===++=+=-=+--=-=-+-=-=+-=---=-??????循環(huán)移位的圖形解釋：有限長(zhǎng)N點(diǎn)序列x(n)的循環(huán)移位定義為：

含義：1)x((n+m))N

表示x(n)的周期延拓序列的移位：

2)x((n+m))NRN(n)表示對(duì)移位的周期序列x((n+m))N

取主值序列,所以f(n)仍然是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。f(n)實(shí)際上可看作序列x(n)排列在一個(gè)N等分圓周上，并向左旋轉(zhuǎn)m位。

循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)：將原序列沿一個(gè)方向從一側(cè)移動(dòng)位，而移出主值區(qū)的各序列值又依次從另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。f(n)x(n)排列在一個(gè)N等分圓周上的圖形表示：移位前左移兩位后從圖中可理解循環(huán)的概念。（3）循環(huán)卷積（定理）*這里只取結(jié)果的主值序列，由于卷積過(guò)程只在主值區(qū)間0≤m≤N-1內(nèi)進(jìn)行，所以實(shí)際上就是x2(m)的圓周移位，稱為“循環(huán)卷積”，習(xí)慣上常用符號(hào)“

”表示循環(huán)卷積，以區(qū)別于線性卷積。*說(shuō)明：

與一般線性卷積不同，兩個(gè)長(zhǎng)度都為N點(diǎn)的序列的循環(huán)卷積的長(zhǎng)度仍為N點(diǎn)，即周期為N，因此又稱為圓卷積，前式又可寫為：x(n)=x1(n)x2(n)循環(huán)卷積過(guò)程:1）由有限長(zhǎng)序列x1(n)、x2(n)構(gòu)造周期序列2）計(jì)算周期卷積

3）卷積結(jié)果取主值序列N循環(huán)卷積可以看作是周期性卷積，取主值區(qū)間的序列值。每個(gè)周期內(nèi)均作卷積具體步驟：N循環(huán)卷積的圖形解釋：反褶循環(huán)移位乘積累加211……211221221……221……776……221……221……N=3循環(huán)卷積的矩陣表達(dá)：例：令x1(n)={1,2,2},x2(n)={1,2,3,4},試計(jì)算4點(diǎn)的循環(huán)卷積x1(n)④x2(n)。先將x1(n)補(bǔ)零，使之成為4點(diǎn)序列。

x1(m)={1,2,2,0}a.時(shí)域解法x1(n)④x2(n)=當(dāng)n=0解：當(dāng)n=1當(dāng)n=2當(dāng)n=3所以，x1(n)④x2(n)={15,12,9,14}b.頻域解法

x1(n)的4點(diǎn)DFT：

X1(k)={5,-1-2j,1,-1+2j}x2(n)的4點(diǎn)DFT:X2(k)={10,-2+2j,-2,-2-2j}

X1(k)X2(k)={50,6+2j,-2,6-2j}IDFT[X1(k)X2(k)]=x1(n)④x2(n)={15,12,9,14}*例：)()()(951401)(950401)(102121nxnxnynnnxnnnxN=?íì￡￡-￡￡=?íì￡￡￡￡==求的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列長(zhǎng)度為（4）循環(huán)相關(guān)定理設(shè)和是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)實(shí)序列，定義以下序列為和的循環(huán)互相關(guān)序列：（5）Parseval定理（6）頻域循環(huán)卷積定理*

實(shí)際問(wèn)題的大多數(shù)是求解線性卷積，如信號(hào)x(n)通過(guò)系統(tǒng)h(n)，其輸出就是線性卷積y(n)=x(n)*h(n)。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，若能利用循環(huán)卷積求線性卷積，會(huì)帶來(lái)很大的方便。問(wèn)題：上述x(n)與h(n)的線性卷積，如果x(n)、h(n)為有限長(zhǎng)序列，則在什么條件下能用循環(huán)卷積代替線性卷積而不產(chǎn)生失真。（1）有限長(zhǎng)序列的線性卷積與循環(huán)卷積（循環(huán)卷積的應(yīng)用）4）DFT的應(yīng)用*???￥-￥=-=-+=+=>+=<=-33-=O=-==qNNmcLMmlqNnxnxNNaLMaLNLMLNmnxLMNLMNmnxmhnxnhnymnxmhnhnxnyLnhMnx)())((,)(],,max[],max[)()()()()()()()(*)()()()(1010：點(diǎn)進(jìn)行周期延拓，因此對(duì)在計(jì)算循環(huán)卷積時(shí)，要點(diǎn)，為補(bǔ)零點(diǎn)，總之需要取其中時(shí)）點(diǎn)（當(dāng)要么就是時(shí)），點(diǎn)（當(dāng)?shù)娜≈狄词莿t由于循環(huán)卷積：線性卷積：點(diǎn)序列。是點(diǎn)序列，是假定*N)(*)()()(1)()()()1()(),()(),(22,,01,,1,0)()(2,,01,,1,0)()()1()(),()()(1''''~'~'''''''nhnxnynyLMNnhnxnyLMnhnxnhnxLMLnLnnhnhLMMnMnnxnxLMnhnxnhLnxM==-+==-+?íì-+=-==?íì-+=-==-+而，，直接計(jì)算：長(zhǎng)度為的一個(gè)周期，周期各是周期序列：認(rèn)為步驟點(diǎn)，即：，它們的長(zhǎng)度都是列分別作擴(kuò)展，構(gòu)成新序點(diǎn)序列，點(diǎn)序列：對(duì)步驟LLLL計(jì)算方法與步驟：NN（2）用DFT計(jì)算線性卷積例：x(n)(a)0n211h(n)(b)0n221y(n)(c)0n46631*=解：因?yàn)镸=3,L=3，所以M+L-1=5，即N=50n211……4n0212……40n212……40n212……4計(jì)算910111213以上可以依規(guī)律由線性卷積寫出}0,0,1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)()()(}0,1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)()()(}1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)()()(}3,6,10,14,18,18,14,9,3,1{)()()(}6,10,14,18,18,14,9,4,3{)()()(8)(}1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)(2}10,14,18,18,14,10,6,6{)(12121212121============nxnxnynxnxnynxnxnynxnxnynxnxnynynynyllc并計(jì)算：點(diǎn)周期的周期性延拓，作如果對(duì)））算方法，可得：解：依前述循環(huán)卷積計(jì)，例:8)(*)()()()()(}1,2,3,4,5,6,3,0{)(}1,1,1,1{)(212121====nxnxnynxnxnynxnxlc。和求，設(shè)兩個(gè)序列分別為：混疊點(diǎn)數(shù)為前((M+L-1)-N)，N為循環(huán)卷積點(diǎn)數(shù)，(M+L-1)為線性卷積長(zhǎng)度。圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是：N≥M+L-1

（3）無(wú)限長(zhǎng)序列的線性卷積疊接相加法原理：說(shuō)明：由于線性卷積的特點(diǎn)是將一個(gè)序列（如h(n)）翻轉(zhuǎn)后，沿坐標(biāo)軸從左邊移入x(n)，在右邊移出x(n)，所以在x(n)的前后將有一“過(guò)渡過(guò)程”，其長(zhǎng)度為M-1。因此，將x(n)分段后，在每一小段的前后都將產(chǎn)生這樣的過(guò)渡過(guò)程，（4）用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析采樣截短DFT用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析是一種近似分析方法。對(duì)于連續(xù)的單一頻率周期信號(hào):為信號(hào)的頻率可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作DFT時(shí)數(shù)據(jù)的截取長(zhǎng)度選得是否恰當(dāng)有關(guān)，截取長(zhǎng)度N選得合理，XN(k)可完全等于Xa(jΩ)的采樣。窗口傅立葉變換對(duì)離散時(shí)間信號(hào)序列加窗截取會(huì)造成兩個(gè)影響：a）降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；b）造成頻率的泄漏。051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)(a)(b)(c)(d)不同截取長(zhǎng)度的正弦信號(hào)及其DFT結(jié)果物理頻率分辨率越高就越能真實(shí)刻劃信號(hào)的頻率構(gòu)成成分，或者說(shuō)越能體現(xiàn)細(xì)節(jié)（即在頻域中描述得比較精確）對(duì)離散時(shí)間信號(hào)xa(n)截取有限長(zhǎng)度為N的信號(hào)過(guò)程可以表示為：比如你的信號(hào)中有個(gè)5Hz，10Hz，10.2Hz，20Hz，25Hz等正弦成分，他們相鄰的最小頻率間隔是10.2-10=0.2Hz，也就是說(shuō)你需要把10和10.2Hz這兩個(gè)成分分開即可（如果分辨率太高則數(shù)據(jù)量太長(zhǎng)，浪費(fèi)計(jì)算時(shí)間，如果分辨率太低，則無(wú)法把這兩個(gè)頻率分開），所以你可以選擇截取的最小時(shí)長(zhǎng)為t=1/(10.2-10)=5秒。這樣再根據(jù)你的采樣頻率取設(shè)定采樣點(diǎn)數(shù)，比如采樣頻率是fs=100Hz，那么5秒則需要N=t*fs=5*100=500點(diǎn)。這是滿足以上理論的最小點(diǎn)數(shù)。物理頻率分辨率對(duì)于補(bǔ)零至M點(diǎn)的DFT，只能說(shuō)它的分辨率僅具有計(jì)算上的意義，并不是真正的、物理意義上的頻譜。頻譜分辨率的提高只能在滿足采樣定理的條件下增加時(shí)域采樣長(zhǎng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)。DFT相當(dāng)于對(duì)單位圓上Z變換所作的等間隔的采樣，也就是說(shuō)對(duì)于DTFT在頻率上作了N點(diǎn)的采樣。那么其頻率的分辨率：這就是所謂的計(jì)算分辨率。若一定，則要求的采樣點(diǎn)的數(shù)目N應(yīng)該滿足靠補(bǔ)零來(lái)增加DFT的點(diǎn)數(shù)，只能提高其“名義”分辨率，實(shí)際的分辨率是有數(shù)據(jù)窗的寬度決定的計(jì)算分辨率5）DFT應(yīng)用中的幾個(gè)問(wèn)題（1）頻率分辨率及DFT參數(shù)的選擇（2）柵欄效應(yīng)

N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn)X(k)，且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這就有可能漏掉一些較大頻率分量。當(dāng)然，在實(shí)際問(wèn)題中，"大的頻譜分量"被擋住的情形還是很少的，柵欄效應(yīng)并不是一個(gè)很嚴(yán)重的問(wèn)題。從根本上講，用離散的DFT譜來(lái)近似連續(xù)的DTFT譜，誤差總是有的，即從理論上，柵欄效應(yīng)是不可能消除的。

減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測(cè)出來(lái)。補(bǔ)零問(wèn)題：（即增加DFT的計(jì)算式中的N值，同時(shí)保持原有數(shù)據(jù)不改變）填補(bǔ)零值可以改變對(duì)DTFT的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率。事實(shí)上通常規(guī)定DFT的頻率分辨率為，這里的N是指信號(hào)x(n)的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的長(zhǎng)度。不同長(zhǎng)度的x(n)其DTFT的結(jié)果是不同的；而相同長(zhǎng)度的x(n)盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同其DTFT的結(jié)果應(yīng)是相同的，他們的DFT只是反映了對(duì)相同的DTFT采用了不同的采樣密度。補(bǔ)零內(nèi)插提高的叫計(jì)算分析精確度，擴(kuò)展時(shí)間長(zhǎng)度提高的是物理精確度，前者只是看著頻譜變精確了，卻可能忽略掉了一些細(xì)節(jié)，而后者是實(shí)實(shí)在在的提高精度。

序列補(bǔ)零帶來(lái)分析分辨率的提高，但是彌補(bǔ)不了物理分辨率的不足紅色的曲線是矩形窗序列的DTFT和正弦信號(hào)的正頻率分量在頻域卷積后頻移的結(jié)果，藍(lán)色的對(duì)應(yīng)負(fù)頻率分量，綠色的曲線是最終有限長(zhǎng)正弦序列的DTFT的模值擴(kuò)展時(shí)間長(zhǎng)度提高物理精確度（物理分辨率）（3）頻譜泄漏在分析信號(hào)頻譜的時(shí)候，由于受到計(jì)算能力的影響，只能處理有限長(zhǎng)的信號(hào)。這就必須截取時(shí)間函數(shù)的一個(gè)有限范圍，即把觀測(cè)到的信號(hào)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)。換句話說(shuō)，就是要取出信號(hào)的某一個(gè)時(shí)間段。這種過(guò)程就是截?cái)鄶?shù)據(jù)的過(guò)程。

這種截?cái)噙^(guò)程相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗，即信號(hào)乘以窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的卷積定理，信號(hào)加窗后的頻譜相當(dāng)于原信號(hào)頻譜與窗信號(hào)的頻譜在頻域作卷積。顯然，這種卷積過(guò)程將造成信號(hào)頻譜的失真。而且，如果信號(hào)所乘的是矩形窗函數(shù)（通常，簡(jiǎn)單的截取信號(hào)就相當(dāng)于乘的是矩形窗），失真頻譜將產(chǎn)生“拖尾”（頻譜延伸擴(kuò)展）現(xiàn)象――原有受限的頻譜圖形“擴(kuò)展”開來(lái)，這就稱之為