10022微分幾何2005年01月試卷

10022#微分幾何試題第3頁（共3頁）浙江省2005年1月高等教育自學(xué)考試微分幾何試題課程代碼：10022本試卷分A、B卷，使用1988年版本教材的考生請(qǐng)做A卷，使用2003年版本教材的考生請(qǐng)做B卷；若A、B兩卷都做的，以B卷記分。A卷一、判斷題(判斷下列各題，正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“×”。每小題2分，共12分)1.在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。()2.空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀與位置。()3.在曲面的非臍點(diǎn)處，最多有二個(gè)漸近方向。()4.LN-M2不是內(nèi)蘊(yùn)量。()5.高斯曲率恒為零的曲面一定是可展的。()6.曲面上連接任兩點(diǎn)的測地線不一定是唯一的。()二、填空題（每小題3分，共18分）1.曲線r=r(s)的曲率定義是_____________。2.空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量_____________。3.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是_____________。4.曲面上主方向的幾何意義是_____________。5.平面上的測地線一定是_____________。6.在不可展的直紋曲面上的每一點(diǎn)都是_____________。三、完成下列各題(每小題5分，共30分)1.將圓柱螺線r={acost,asint,bt}化為自然參數(shù)方程。2.求螺旋線x=cost,y=sint,z=t在點(diǎn)(1,0,0)處的基本向量。3.對(duì)曲面z=f(x,y)，設(shè)p=，q=，試求該曲面的第一基本形式。4.在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0確定兩個(gè)切方向(du∶dv)和(δu∶δv),證明這兩個(gè)方向互相垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0。5.證明極小曲面（平均曲率為零）上的點(diǎn)都是拋物點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。6.證明ruu=ruv=0的曲面是柱面。四、完成下列各題（每小題10分，共40分）1.求曲線r={cosht,sinht,t}在原點(diǎn)處的曲率與撓率。2.設(shè)在兩條曲線Γ、Γ*的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線互相平行,證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)處的主法線及副法線也分別平行。3.求拋物面z=x2+2y2在原點(diǎn)處的主方向與主曲率。4.證明撓曲線的主法線曲面不是可展曲面。B卷一、判斷題(判斷下列各題，正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“×”。每小題2分，共12分)1.曲線=(s)為一般螺線的充要條件為(,,)=0。()2.主法向量正向總是指向曲線凹入的方向。()3.不存在兩條不同曲線,使得一條曲線的主法線都是另一曲線的主法線。()4.曲面上平點(diǎn)對(duì)應(yīng)的杜邦指標(biāo)線是一條直線。()5.每一個(gè)可展曲面或是柱面,或是錐面,或是一條曲線的切線曲面。()6.曲面上測地線一定是連接兩點(diǎn)間的最短線。()二、填空題（每小題3分，共18分）1.向量函數(shù)(t)具有固定方向的充要條件是_____________。2.曲線(t)={t3-t2-t,t2-2t+2,2}上的點(diǎn)不是正常點(diǎn)的是t=_____________。3.曲面上平點(diǎn)的第二類基本量滿足關(guān)系_____________。4.曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng)的充分必要條件是_____________。5.極小曲面是指_____________的曲面。6.高斯曲率K=0的曲面一定是_____________曲面。三、完成下列各題(每小題5分，共30分)1.求雙曲螺線={acosht,asinht,at}在t=0的副法線方程。2.求曲線={et,e-t,t}在任一點(diǎn)的曲率。3.證明曲線(t)={t3-t2-t,t2-2t+2,2}不是正則曲線。4.求一般螺面={ucosv,usinv,f(u)+av}的第一基本形式。5.求曲面={ucosv,usinv,bu}上曲線u+v=1,u-v=1和u=0所圍成的曲面面積。6.求直紋面={u,u2-2uv,2u3-3u2v}的腰曲線方程。四、完成下列各題（每小題10分，共40分）1.證明:(t)平行于固定平面的充要條件為(,,)=0。2.