運(yùn)算能力的理解

對(duì)數(shù)學(xué)課標(biāo)中核心概念的理解--------運(yùn)算能力昌吉州實(shí)驗(yàn)小學(xué)：徐海泳1運(yùn)算能力”：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。”

作用：培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。運(yùn)算能力的特征：正確、有據(jù)、合理、簡(jiǎn)潔2可見(jiàn)，運(yùn)算能力并不只是運(yùn)算速度，甚至于不必過(guò)于強(qiáng)調(diào)速度，它首先是會(huì)算和算正確。會(huì)算并不是死記硬背，死搬教條，而是理解算理，并能尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。

像右邊這兩道含有小數(shù)的乘法題，如果死搬硬套運(yùn)算法則，將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)后依據(jù)分?jǐn)?shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算的話，過(guò)程相對(duì)就比較復(fù)雜。但這種突破常規(guī)思維的做法，又不是那么輕而易舉地就能想到的，既需要基本法則做基礎(chǔ)，又需要數(shù)感和靈感來(lái)支撐。靈感是智慧的火花，而智慧又是不可教的，只能慢慢來(lái)培育。3如此看來(lái)，多數(shù)人認(rèn)為的單調(diào)、乏味的運(yùn)算世界其實(shí)并不簡(jiǎn)單。但就日常教學(xué)而言，如何提升學(xué)生的運(yùn)算能力，如何真正地將“運(yùn)算能力”作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心詞，我們還得回到一些常規(guī)問(wèn)題的思考上：如，怎樣看待算法“多樣化”和算法“最優(yōu)化”？如何做好算法和算理的統(tǒng)一？估算、口算、筆算怎樣結(jié)合？怎樣把握自由發(fā)展和強(qiáng)化訓(xùn)練的度？學(xué)生使用計(jì)算器是否會(huì)產(chǎn)生依賴心理，從而降低他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力？計(jì)算器何時(shí)使用能夠保證不削弱學(xué)生的基本筆算技能？如何保證數(shù)學(xué)理解力與數(shù)學(xué)技巧之間的平衡？……

這些問(wèn)題一直困擾著廣大教師的教學(xué)實(shí)踐。要解開(kāi)這些“結(jié)”，并切實(shí)提高學(xué)生的運(yùn)算能力，在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)和實(shí)施時(shí)，特別要注意處理好這樣幾組關(guān)系，在多種關(guān)系的平衡中找到“突圍”的路。4一、情境創(chuàng)設(shè)與復(fù)習(xí)鋪墊的有機(jī)融合學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，這種建構(gòu)過(guò)程總是與一定的社會(huì)文化背景（情境）相聯(lián)系的，學(xué)生有必要在情境中激活已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知策略，以便同化和順應(yīng)新知識(shí)。但同時(shí)，我們也應(yīng)該看到，計(jì)算內(nèi)容的系統(tǒng)性，連貫性很強(qiáng)，前面學(xué)習(xí)的計(jì)算是后面學(xué)習(xí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’”，因此在計(jì)算教學(xué)中，要能適當(dāng)往前延伸，復(fù)習(xí)鋪墊也就顯得尤為重要。由此，我們也不難看出，對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)來(lái)說(shuō)“情境創(chuàng)設(shè)”和“復(fù)習(xí)鋪墊”都是非常重要的。

5在情境中，容易激發(fā)學(xué)生的興趣，喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，為算理的理解提供支撐，同時(shí)也能讓學(xué)生感知新知的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；在復(fù)習(xí)鋪墊中，能激活學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)儲(chǔ)備，為學(xué)生新知的學(xué)習(xí)掃除思維上的障礙，為學(xué)生的有效學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。它們都有著各自的優(yōu)勢(shì)，在學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不同的作用。在計(jì)算教學(xué)中，只有把兩者有機(jī)融合起來(lái)，把握好尺度，才能真正提高計(jì)算教學(xué)的實(shí)效性。比如五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”，小數(shù)乘小數(shù)的基礎(chǔ)是積的變化規(guī)律和小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法的掌握，而積的變化規(guī)律是四年級(jí)下冊(cè)用計(jì)算器探究的內(nèi)容，大部分同學(xué)印象已經(jīng)不是很深刻，因此課始，很有必要幫助學(xué)生先復(fù)習(xí)積的變化規(guī)律，在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)可以先出示這樣的一組習(xí)題，幫助學(xué)生勾起回憶。6根據(jù)6×3=18寫出下列算式的積60×30=（），想：6擴(kuò)大（）倍，3擴(kuò)大（）倍，積擴(kuò)大（）倍。600×30=（），60×3000=（），（后兩題要求學(xué)生也能按照60×30說(shuō)一說(shuō)思考過(guò)程）接下來(lái)通過(guò)0.72×5的練習(xí)，幫助學(xué)生回憶小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，即：先按整數(shù)乘法算，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。然后出示主題圖：讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)從圖中獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？根據(jù)這些信息能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？當(dāng)學(xué)生提出房間的面積有多大？列出算式后讓學(xué)生嘗試解決，正式進(jìn)入了新知的探索和研究。7本環(huán)節(jié)通過(guò)短短幾分鐘時(shí)間的復(fù)習(xí)，為學(xué)生從小數(shù)乘整數(shù)順利遷移探究小數(shù)乘小數(shù)的算理及算法起到了很好的鋪墊。同時(shí)從計(jì)算“房間的面積”這個(gè)生活原型引入教學(xué)，在突出數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系的同時(shí)，也喚起了學(xué)生的探究興趣。學(xué)生在計(jì)算房間面積過(guò)程中，引出了如何計(jì)算“小數(shù)乘小數(shù)”的新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，給計(jì)算教學(xué)增添了濃郁的現(xiàn)實(shí)意義。

8二、直觀算理與抽象算法的有效聯(lián)結(jié)

什么是“算理”？“算理”就是計(jì)算過(guò)程中的道理，講明“為什么這樣算”，算法就是計(jì)算的方法，即“怎樣算，如何算”的問(wèn)題。以往的計(jì)算教學(xué)教師的指令性為主，學(xué)生自主探究的機(jī)會(huì)很少，教師往往只是講授計(jì)算過(guò)程的完整和規(guī)范，可學(xué)生卻并不清楚為什么要這樣做。

筆者曾對(duì)給四年級(jí)某班40名學(xué)生做過(guò)這樣一道題（見(jiàn)右邊）。9如果只讓學(xué)生列豎式計(jì)算19×21，除了計(jì)算時(shí)的大意，所有的同學(xué)都不會(huì)有困難，學(xué)生發(fā)生這樣的錯(cuò)誤，說(shuō)明他們?cè)谟?jì)算的時(shí)候完全就是機(jī)械套用，這個(gè)小小的測(cè)試引發(fā)了我的深思：究竟有多少學(xué)生真正理解了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法。這同時(shí)也反映出了學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)缺乏必要的探究，沒(méi)有理解算理，或者老師根本就沒(méi)有重視學(xué)生探索如何計(jì)算的過(guò)程，或者即使讓學(xué)生探究了，也只是學(xué)生剛剛有了一點(diǎn)朦朧的意識(shí)，教師就引導(dǎo)學(xué)生列豎式，簡(jiǎn)化豎式，如此倉(cāng)促地組織教學(xué)，就造成了學(xué)生沒(méi)有真正明白豎式的每一步的道理，就簡(jiǎn)單記住了算法。因此我們?cè)谟?jì)算教學(xué)時(shí)，很有必要讓學(xué)生知道怎樣算和為什么要這樣算。學(xué)生只有明白了算理，才不會(huì)機(jī)械地搬用公式，盲目推算。算理和算法并不是孤立的，他們是相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的整體，算理要通過(guò)算法來(lái)表現(xiàn)，算法又要能體現(xiàn)算理。因此，在教學(xué)中，教師要有意“放慢腳步”，給學(xué)生留足探討算理的時(shí)間，并借助小棒、點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器或者借助已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)等幫助學(xué)生合理地理解算理，讓學(xué)生在明算理的基礎(chǔ)上，探索、理解并掌握算法。10比如剛才提及的小數(shù)乘小數(shù)，2.4×1.6究竟怎樣計(jì)算？為什么可以這樣算？因?yàn)閷W(xué)生有了小數(shù)乘整數(shù)這個(gè)“生長(zhǎng)點(diǎn)”，很容易想到把小數(shù)乘小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘整數(shù)，但是其中的算理學(xué)生不一定都能明白，所以這時(shí)我們要留給學(xué)生足夠的時(shí)間，讓他們通過(guò)自主探索，小組交流，理清其中的算理：一個(gè)因數(shù)乘10，另一個(gè)因數(shù)乘10，積就乘100，要得到原來(lái)的積，就要除以100。接著教師可以呈現(xiàn)課本上的算理過(guò)程（如下）：

然后出示試一試：2.8×1.15，讓學(xué)生進(jìn)一步獲得對(duì)小數(shù)乘小數(shù)算理的理解：一個(gè)因數(shù)乘10，另一個(gè)因數(shù)乘100，積就乘1000，要得到原來(lái)的積，就要除以1000。重點(diǎn)是怎樣根據(jù)積的變化規(guī)律得出原來(lái)的積。在明白了算理之后，再讓學(xué)生去總結(jié)算法：先按照整數(shù)乘法算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。通過(guò)直觀算理與算法抽象的有效聯(lián)結(jié)，學(xué)生充分體驗(yàn)到從算理到算法的過(guò)渡和演變過(guò)程，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和算法的切實(shí)把握。11三、算法多樣與算法優(yōu)化的和諧統(tǒng)一算法“多樣”是數(shù)學(xué)新課程強(qiáng)調(diào)的重要理念，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向自主和開(kāi)放的必然要求。不過(guò)，就其教學(xué)要求而言，“多樣”是指課堂教學(xué)的整體狀況，因?yàn)閷W(xué)生理解、認(rèn)識(shí)、思考的差異而出現(xiàn)“多樣化”，對(duì)學(xué)生個(gè)體而言，并不過(guò)分強(qiáng)求對(duì)同一素材“一題多解”。但這并不是說(shuō)就可以停留在對(duì)“多樣”的列舉上，“多樣”最終是讓學(xué)生增進(jìn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的豐富感受，并從中感受“優(yōu)化”的運(yùn)算方法和思維策略。也就是說(shuō)，算法“多樣”追求的是尊重差異，尊重真實(shí)，尊重學(xué)生的原生態(tài)思考，而“算法”的優(yōu)化就是讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在多樣化的算法中，找到一個(gè)普遍都能接受，最能理解和最容易掌握的算法的過(guò)程，“多樣”只有得以“優(yōu)化”，才能更好地促進(jìn)運(yùn)算能力的提高。當(dāng)然，優(yōu)化有時(shí)也可以根據(jù)需要，不一定在一節(jié)課內(nèi)就急著完成。

12比如一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“十幾減9”，在引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境圖列出13-9的豎式后，接著讓學(xué)生聯(lián)系以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探究算法，交流環(huán)節(jié)，第一位學(xué)生先從13里面減去3，得到10，再減去6，即“平10法”；第二位學(xué)生把13分成10和3，用10減去9，再把減后剩下的1和3合起來(lái)，即“破十法”；第三位同學(xué)從13里面依次減1，一直減了9次，也得到了4；第四位學(xué)生的想法是：先想9加幾的13呢？9加4得13，所以13減9等于4，即“想加算減法”……

這些方法都有一定的道理，但是稍加比較我們還是會(huì)發(fā)現(xiàn)“想加算減”最省時(shí)，“平十法”和“破十法”都需要兩步，第三位同學(xué)的逐一去減太費(fèi)時(shí)了，但是“想加算減”這種方法相對(duì)來(lái)說(shuō)也比較難一些，它的基礎(chǔ)是學(xué)生必須熟練掌握20以內(nèi)的進(jìn)位加法，并且對(duì)加減法的關(guān)系有一定的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課是學(xué)生第一次接觸20以內(nèi)的退位減，因此可不必急于優(yōu)化，而是留給學(xué)生比較和優(yōu)化的空間，在后面教學(xué)十幾減8、7時(shí)再啟發(fā)學(xué)生體會(huì)“想加算減”的便捷，從而提高學(xué)生選擇算法的自覺(jué)性。

13其實(shí)，“優(yōu)化”不只是指“好中選優(yōu)”，也包括“異中求同”，即從多樣化的算法中找到“同一性”。比如在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，學(xué)生先嘗試解決“1/2小時(shí)＋1/3小時(shí)”的實(shí)際問(wèn)題，然后進(jìn)行全班交流?？赡軙?huì)出現(xiàn)這樣一些解決思路：⑴通分：1/2＋1/3=3/6＋2/6=5/6小時(shí)；(3)單位轉(zhuǎn)化：1/2小時(shí)=30分鐘，1/3小時(shí)=20分鐘，30分鐘+20分鐘=50分鐘；⑷畫圖:（如右圖）1/2＋1/3=3/6＋2/6=5/6小時(shí)14這些思路看起來(lái)差別較大，但透過(guò)多樣化的表層可以洞察到內(nèi)在的一致性：將“計(jì)數(shù)單位不同（不可以直接相加減）”轉(zhuǎn)變成“計(jì)數(shù)單位相同（可以直接相加減）”。在領(lǐng)悟到多種方法中蘊(yùn)含的一致性的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生用心去感悟和體驗(yàn)各種方法的繁簡(jiǎn)、優(yōu)劣，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化、通用化方法的選擇，最終獲得靈活性思維品質(zhì)的磨練，計(jì)算