直線與平面垂直的判定的教案

直線與平面垂直的判定的教案浙江省紹興市高級中學(xué)陳柏良一、教學(xué)目標(biāo)1.借助對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題；3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時感悟和體驗“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.二、教學(xué)重點、難點重點：直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究；難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用．三、教學(xué)過程1.從實際背景中感知直線與平面垂直的形象問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關(guān)系？(一學(xué)生用教具演示)問題2：在日常生活中你見到最多的直線與平面相交的情形是哪種？試舉例說明．（師生互動，給出實例與圖片）2.提煉直線與平面垂直的定義問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？教師（在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上歸納）：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實質(zhì)上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，由這樣的思路啟發(fā)我們：能否將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題呢？請學(xué)生結(jié)合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．問題4：(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)隨著太陽的移動,影子的位置也會移動,而旗桿AB與影子所成的角度是否會發(fā)生改變?教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：旗桿AB所在的直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直．(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？引導(dǎo)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)：旗桿AB所在的直線也與地面上任意一條不過點B的直線垂直．教師：現(xiàn)在，你能給直線與平面垂直下個定義嗎？請學(xué)生用自己理解的語言概括定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作.教師繼而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號與圖形語言表述之）教師：這樣我們就從線與線的垂直來定義線面垂直．即把空間問題轉(zhuǎn)化為了平面問題．你對定義中的“任意”兩個字是如何理解的？思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內(nèi)的所有直線？對問（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師可用直角三角板在黑板上直觀演示,或引導(dǎo)學(xué)生：可將教材中每一行字看成平行線,當(dāng)鋼筆所在直線與其垂直時,鋼筆不一定就與教材所在平面垂直；對問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號語言表述：若，則.教師引導(dǎo)學(xué)生體悟：線線垂直線面垂直線線垂直的轉(zhuǎn)化思想教師：通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因為我們無法去一一檢驗．那么，是否有更簡捷、可行的方法來判定直線與平面垂直呢？3.探究直線與平面垂直的判定定理創(chuàng)設(shè)情境猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點（和旗桿腳不在同一直線上）．如果這兩點都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？學(xué)生發(fā)表自己的見解，……？（折紙試驗）請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們先一起來做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）問題5：（1）折痕AD與桌面所在的平面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？提出問題讓學(xué)生思考：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？根據(jù)學(xué)生思考情況啟發(fā)學(xué)生可從線與線的位置關(guān)系來考慮．再提出:使得折痕與桌面所在平面垂直的的關(guān)鍵因素是什么？問題6：如果我們把折痕抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認為保證直線與平面垂直的條件是什么？對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)．問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）問題7：如果，將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證，（如圖4）你認為直線還垂直于平面嗎？教師:這說明了什么?要判斷一條直線和一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的.根據(jù)試驗，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？學(xué)生敘寫判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則稱該直線與此平面垂直.給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化問題8：（1）和直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點是什么?（師生共同揭示本節(jié)課蘊涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法）思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？如果安裝完了，請你去檢驗旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？“為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗證，即不翻折無法使其豎立在桌面上）4.直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用如圖５，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線．并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？思考：如圖６，已知，則嗎？請說明理由．引導(dǎo)學(xué)生分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明，并用文字語言概括：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．教師：這個問題給出了判斷直線和平面垂直的又一個方法，間接判定直線與平面垂直．這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系．練習(xí)：如圖７，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點．求證：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；(2)在(8)中，若E、F分別是AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；（請學(xué)生判定后，追問：EF與VB的位置關(guān)系如何？）(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？5.小結(jié)回授（1）本節(jié)課你學(xué)會了哪些判定直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述．（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思