三角函數(shù)-公開課教學(xué)設(shè)計

第21講三角函數(shù)一、教材分析

1．三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中課時量最大的一章，是高考的必考內(nèi)容。試題內(nèi)容一般圍繞三角函數(shù)式的變換、求值或三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象等。通過近幾年高考題分析，三角函數(shù)圖象變換與對稱問題、已知三角函數(shù)圖象求其解析式的問題是考生的失分點。試題難度不大，一般在“較易”到“中檔”的程度。但試題越來越靈活，對思維的要求越來越高。

2．知識分析：

1)同角關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系

①熟記公式，一是理解sin、cos、tan、cot、sec、csc的定義式，如。二是可以有下面圖示巧記這些公式。②理解公式：必須是同角關(guān)系。注意平方關(guān)系，開方要注意符號的判斷與選擇。

2)誘導(dǎo)公式：

①正確理解“奇變偶不變，符號看象限”這句話是有前提條件的，即“假設(shè)是銳角”，同時奇、偶是指是的奇數(shù)倍，偶數(shù)倍。

②靈活運用：注意誘導(dǎo)公式與三角周期性質(zhì)的應(yīng)用。如,用的是誘導(dǎo)公式，但則用的是正切函數(shù)y=tanx的周期為。

3)兩角和與差，二倍角，半角，萬能，和差與積互化公式：這些公式的理解和記憶是非常重要的。建議把這些公式詳細(xì)推導(dǎo)幾遍。這對公式應(yīng)用很重要。如萬能公式的推導(dǎo)過程如下：

。

4)正、余弦定理：

要求會用正、余弦定理解斜三角形或判斷三角形的形狀，理解正、余弦定理應(yīng)用的辨證關(guān)系。

二、例題與解答：

例1.已知,求下列各三角式的值：

(1)；(2)

分析與解答：用誘導(dǎo)公式化簡條件等式得同角的正、余弦的齊次式-sin=2cos。顯然cos≠0，否則已知條件等式不成立，∴tan=-2.

(1).

(2)

例2．求下列三角函數(shù)中實數(shù)x的取值范圍。

(1)是第三、四象限角，；

(2)且

分析與解答：

(1)是第三、四象限角，則-1<sin<0

即，解之，得。

(2)由及同角關(guān)系有

。

例3．求下列函數(shù)的定義域：

(1)；(2)

分析與解答：

(1)或x=2k(k∈Z).

故定義域為{}.

(2)

。

故定義域為{}。

例4．求下列函數(shù)的值域：

(1)(2)y=asinx+bcosx+c(ab≠0)(3)y=sinx+cosx+sinxcosx

分析與解答：

(1)由原函數(shù)式可得，由-1≤sinx≤1

∴,∴或y≥3。當(dāng)時，y無解∴值域為。

(2)將原函數(shù)式化為，

其中。當(dāng)sin(x+)=1時，y有最大值

當(dāng)sin(x+)=-1時，y有最小值-。∴函數(shù)的值域為[-,]。

(3)由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx得sinxcosx=,

∴原函數(shù)可化為.設(shè).

∴,

當(dāng)t=-1時，y取最小值-1，當(dāng)時y取最大值。

∴函數(shù)的值域為。

例5．已知，求證：。

分析與解答：將所證不等式中的正切換為同角的正、余弦的商，使所證不等式兩端的分子、分母分別為同名函數(shù)，再利用正、余弦函數(shù)在上的單調(diào)性加以證明。

將所證不等式變形為<.

由于

∴∴∴.同理∴

綜上可證。

例6．已知函數(shù)。

(1)當(dāng)函數(shù)y取最大值時，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象怎樣變換得到的？

分析與解答：

(1)將所給函數(shù)化為一個三角函數(shù)的形式

當(dāng)y取最大值時只需，得。

(2)將y=sinx圖象依次進(jìn)行如下變換：

(i)把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得函數(shù)的圖象；

(ii)把所得圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象；

(iii)把所得圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的倍，橫坐標(biāo)不變。得到函數(shù)的圖象。

(iv)把所得圖象向上平移個單位，得到函數(shù)的圖象。

例7．求函數(shù)的周期，并判斷其是否存在最大值或最小值。

分析與解答：確定周期，應(yīng)將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)的形式。但是三角變形有可能改變了原函數(shù)的定義域，在討論函數(shù)性質(zhì)時，要特別注意這一點。

原函數(shù)定義域應(yīng)使1+cosx-sinx≠0即，∴且

∴定義域為{且}。

由

.

其中且，但這并不影響其周期性，∴。

要使f(x)有最小值，則必需即，這樣的取值不在函數(shù)定義域中，故函數(shù)不存在最小值。

要使f(x)有最大值，則必需，即。

這樣的取值也不在函數(shù)定義域內(nèi)，故函數(shù)不存在最大值。

三、作業(yè)

1．若角滿足,則在（）。

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

2．若，則=（）。

A、B、C、D、0

3．已知是第三象限角，且，那么sin2等于（）。

A、B、C、D、

4．下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（）。

A、y=sin2x+cos4xB、y=sin2xcos4xC、y=sin2x+cos2xD、y=sin2xcos2x

5．如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線對稱，那么a=（）。

A、B、C、1D、-1

6．在下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）。

A、y=cos2xB、y=2|sinx|C、D、y=-cotx

7．若，，則=________。

8．若，則=_________。

9．函數(shù)的最小正周期是________。

10．關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題：

（1）對任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；

（2）不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

（3）存在，使f(x)是奇函數(shù)；（4）對任意的，f(x)都不是偶函數(shù)。

其中一個假命題的序號是______，因為當(dāng)=____時，該命題的結(jié)論不成立。

11．已知函數(shù)，其中。

（1）當(dāng)時，求函數(shù)f(x)的最值；

（2）求的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。

參考答案：

1——6BCADDB

7.8.49.

10.(1),等。

11.

(1)當(dāng)時，。

當(dāng)時，f(x)有最小值，當(dāng)x=-1時，f(x)有最大值。

(2)

要使f(x)在單調(diào)，只要。即。又，。例8．已知，。求的值。

分析與解答：由已知有,∴,

由,∴.

∴

點評：注意單、復(fù)角的辨證關(guān)系。

例9．已知，求的值。

分析與解答：由已知，則。

∴，

∴

由平方得，

∴，由，

∵，，

∴，。

∴。

例10．求下列三角式的值：

(1)tanA-cotA+2tan2A+4tan4A+8cot8A

(2)sin220°+cos250°+sin20°cos50°

(3)+2sin218°

分析與解答：

(1)由。

得tanA-cotA+2tan2A+4tan4A+8cot8A

=2tan2A-2cot2A+4tan4A+8cot8A

=4tan4A-4cot4A+8cot8A

=-8cot8A+8cot8A=0.

(2)

解法1：三角式中平方項可考慮降次，積化和差：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°

=(sin70°－sin30°)

=1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

=sin70°+[(－2sin70°)sin30°]=。

解法2：三角式可考慮先配方，再分別進(jìn)行積差與和積互化：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=(sin20°+cos50°)2－sin20°cos50°

=(sin20°+sin40°)2-sin20°cos50°=4sin230°cos210°－(sin70°－sin30°)

=(1+cos20°)－cos20°+=.

解法3：可利用三角式的對偶式求所給三角式的值。

設(shè)f=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,g=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

∴f+g=2+sin20°cos50°+cos20°sin50°=2+sin70°.

f－g=－cos40°+cos100°+sin20°cos50°－cos20°sin50°

=－2sin70°sin30°+sin(20°－50°)

=－sin70°－.

將兩式相加，得,∴。

∴sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.

解法4：先將三角式中的余弦化為正弦，用正弦定理及余弦定理解決。

設(shè)ΔABC中，A＝20°，B＝40°，C＝120°,三邊對應(yīng)為a,b,c，

將a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入c2=a2+b2－2abcosC

得sin2120°=sin220°+sin240°－2sin20°sin40°cos120°

∴sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.

(3)將三角式中的正切，正割化為正弦，余弦函數(shù)：

＋2sin218°=+2sin218°=sin48°－cos48°+2sin218°

=sin48°cos30°－cos48°sin30°+2sin218°=sin18°－sin54°+1

=-2sin18°cos36°+1=

=。

例11．已知，求tan(x+y),cos(x+y)及cos(x－y)的值。

分析與解答：將條件等式中的角x,y轉(zhuǎn)化為結(jié)論中的積差角x+y,x－y,可將條件等式平方相加減，得到x+y、x－y的余弦值。

(sinx+siny)2=sin2x+2sinxsiny+sin2y=

(cosx+cosy)2=cos2x+2cosxcosy+cos2y=.

兩式相加，得,∴,

兩式相減，得,

∴,

∴,∴.

由(sinx+siny)(cosx+cosy)=sinxcosx+sinxcosy+cosxsiny+cosysiny

=(sin2x+sin2y)+sin(x+y)=sin(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)

=sin(x+y)[cos(x-y)+1]=.

又∵，∴,

∴。

另：若將兩個條件等式先作和差化積，即將角x,y化為的形式，再通過倍半角關(guān)系求解。

由sinx+siny=,∴由cosx+cosy=,∴

將兩式相除，得。由萬能公式,

.sin(x+y)=tan(x+y)cos(x+y)=.

cos(x-y)的值可由條件等式平方相加得到，也可cos(x+y)代入平方相減表達(dá)式求解得cos(x-y)=.

例12．已知ΔABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足A＋C＝2B.，求的值。

解法一：由題設(shè)知B＝60°，A＋C＝120°，

∵,∴。

將上式化為cosA+cosCcosAcosC.

∴

將代入得：

,

∴.

整理得：,

∴（舍去），

解法二：由B＝60°，A＋C=120°，設(shè)，則，A＝60°+，C＝60°－。

∴

∴,∴,

∴（舍去）即。

例13．函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+1(ab10,>0)，若f(x)最大值是4，最小正周期為，且。

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的最小值，要使f(x)成為偶函數(shù)，需將其圖象向左平移的最小值是多少？

(3)設(shè)ΔABC中內(nèi)角A，B是方程f(x)=0的兩個不等根，求內(nèi)角C的大小。

分析與解答：

(1)

(其中，)

由f(x)的最大值是4，∴即a2+b2=9,

由f(x)的最小正周期是，.∴,∴，

∴f(x)=asin2x+bcos2x+1.

由已知,

∴，解方程組，

得或（舍去）∴。

(2)，

當(dāng)即時(k∈Z)，f(x)min=-2,

令得(k∈Z)，所以f(x)的圖象的對稱軸方程為(k∈Z)。

當(dāng)k=0時，是在y軸右側(cè)離y軸最近的對稱軸，故f(x)圖象向左平移最小值，可使f(x)成為偶函數(shù)。

(3)由A，B是方程asin2x+bcos2x+1=0的兩不等根，

∴asin2A+bcos2A+1=0

asin2B+bcos2B+1=0,

兩式相減，a(sin2A-sin2B)+b(cos2A-cos2B)=0,

∴acos(A+B)sin(A-B)=bsin(A+B)sin(A-B)

∵A≠B,∴A-B≠0,

∴sin(A-B)≠0，由此得acos(A+B)=bsin(A+B)

∵cos(A+B)≠0,(否則acos(A-B)≠bsin(A+B)),

∴,

∵0<A+B<,∴∴