專升本高數(shù)復習筆記

第一章函數(shù)、極限§1.1函數(shù)一、主要內(nèi)容數(shù)的概函數(shù)的定義 定義域: 值域:y

f( x分段函數(shù) g(隱函數(shù) F(x,y)=

x反函數(shù) y=f(x)→x=φ(y)=f-y=f-1定理y=f(x),D(f)=X,y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-且也是嚴格單調(diào)增加(或減少數(shù)的幾何特函數(shù)的單調(diào)性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),則稱f(xD調(diào)增加()；則稱f(xD單調(diào)減少()；若f(x1)＜f(x2),則稱f(xD格單調(diào)增加()；若f(x1)＞f(x2),則稱f(xD格單調(diào)減少()。奇函數(shù)：f(-x)=-函數(shù)的周期周期函數(shù)：f(x+T)=f(xx∈(-∞，+∞)函數(shù)的|f(x)|≤M本初等函常數(shù)函數(shù)y=c(c常冪函數(shù) y=xn (n為實數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0、對數(shù)函數(shù)y=logax,(a＞0、三角函數(shù)y=sinxy=cony=tanx,y=cotxy=secx,y=csc反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arccony=arctanx,y=arccot和初等函復合函數(shù)y=f(u)y=f[φ(x)],初等函由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除和復合所構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)。二、例題分1.求下列函數(shù)的xf(x)x 11解:對于1x2

1x2

解得

xx對 有 x2 x∴f(x)的定義域 x2,11,1f(x)⑵1

ln2得：ln2x0，解得 x解:ln2xln2

得：2x x∴f(x)的定義域 x,11,2例2.設(shè)f(x)的定義域為（-1，1）則f(x+1)的定義域為A.(- B.(- 解：∵- ∴-f(x+1)的定義域為x∈(-2例3.下列f(x)與g(x)是相同函數(shù)的 2x,f x,

g(x)， g(x)2ln，x2 x2 f(x)ln

g(x)1解

，， f(x) xx xxg(x)

x

x x D(f)0,，D(g)4.y2loga(x3(aa的反函數(shù)及其定義解：∵y2loga(x3)∴x3,

y∵在(-3,+∞)內(nèi)，函數(shù)是嚴格xay2∴反函數(shù)yf1(xax25.f(x)5.

1x2 ( (x)則其反函 1解y x 1解1,0內(nèi)f(x是嚴格單調(diào)增1y11y1y∴∴x∴

x即yf1(x)即x y

同一區(qū)間D(f)上的兩個偶函數(shù)，則f1(x)f2(x)為 解：設(shè)F(xf1(x=f1(x)f2(x)∴f1(x)f2(x)是偶函 （應填“偶7.f(x)7.

1x的1x解:∵f(x) 1ln(111x111x1x1x1lnxx1x11ln(x111f(x)為奇函8，f(x)8，則f(x)的周期 解法一:設(shè)f(x)的周期

)f f(x) cosu T 解法二

f(x2T (應填f(x)例9.函f(x)單函數(shù)復合而成的解：解：

f(u)vsin(x

uln wx1， 則vsin u∴f(x)是由：f(u) ，ulnv，vuwx1復合而成的例10.已知f(x)

f[g(x)]等

e3

解:∵f(x)x3, g(x)∴f[g(x)]f(ex)(ex)3∴（應選或f[g(x)][g(x)]3(ex)3（應選或例11.已知f(x) 的表達式解

解解∴(x)ex∴§1.2一、主要內(nèi)㈠極限的概數(shù)列的極限 limyny稱數(shù) 以常數(shù)A為極限y或稱數(shù) 定理:若yn的極限存在yn必定有界函數(shù)的極限⑴當x 時，f(x)的極限

f(x)f(x)

A A

f(x)⑵當x x0時，f(x)的極限

f(x)lim

0左極限：x00右極限：x0

f(x)⑶函數(shù)極限存的充要條件：limf(x)定理：

Alimf(x)limf(x) ㈡無窮大量和無窮小無窮大量

f

稱在該變化過程中f(x為無窮大X再某個變化過程是x x x,x x x 無窮小量limf(x)稱在該變化過程中f(x為無窮小無窮大量與無窮小量的定理

limf(x)0

,(f(x)1f無窮小量的比較： 0,lim1flim⑴

,則稱β是比α較高階的無 ⑵

為常數(shù)，則稱β與α同階的無窮⑶ ，則稱β與α是等價的無窮小量，記作 ⑷ ,則稱β是比α較低階的無窮小量定理：若 ~ ~lim則

lim2㈢兩面夾定數(shù)列極限存在的判定準則設(shè)：ynxn （n=1、2、lim

lim 且： lim則：

函數(shù)極限存在的判定準則設(shè)：對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一（點x0除外）g(x)f(x)h(x)

g(x)f(x)

h(x)㈣極限的運算：limu(x) limv(x)則limu(xv(xlimu(x)limv(xA②lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)A

limu(x)

(limv(x)1推論：①lim[u(x) u2(x)un(1limu1(x)limu2(x)limun(x)②lim[cu(x)]climu(③lim[u(x)]n[limu(x)]n㈤兩個重要xx

sinxx (1 e

或xx

sin(x)1(1x) 二、例題分2,例1．求數(shù)列

4,5, 的極 解ynn111 解nlimn

lim1

1nlim123n例2．計算n n2123n(1解 123 1(1n)nlim lim∴n n2 n n2 1 (1n)n lim n2n1

31

2n

(3n) 2nn 3 2nlim123誤解：n n2lim

n2 n2

n2

n2lim lim lim lim 例 下列極限存在的A.x

x(xxx(xx2xC.

,2x,

limex 解

x

x2x2xxx

limx

limx(x1)lim11 x(x( xx(x

x1x∴x

x 不存 x 2x limex

limlim

e 不存 4.當x

與 是等價無窮小量limf(x)~

(x)。x解

lim2xf(x)lim2x1lim2∴l(xiāng)im2n

(例5.計

解:

21

22

n 02

23

n22

4 02

22

2n1 lim0又 lim4n由兩面夾定理可得

n lim ∴ 例6.計算下列極 limx33x ⑴x

x33x2lim

3x2 x解:xx4x2 xx4x23x133lim x1 limx⑵

xxlimx

x解: xlimx1x2limx2 x ⑶x01

1 1 1 lim

x2 x2 2011x01 1x2 2011

1 x2 1 1x2limx2

1x21lim1

1解法二變1設(shè)：

x2t2時當x時

t limtt

x0 1 t t

2lim⑷解法一：共

x21x21limxx21x limxx21xx2x21 ()x

xx21x2 x2x21x21x 11xx211xx2()x

x)

解法二：變量替xx2設(shè) x2lim

112t12t t21t2t21t21t 1t0

lim

1t211t2t

t1t

0t0 t

t2

1t2

1t21t2⑸

sin3xx

x2

limsin3xx2limsin3xx23x0 0 3x 0

limsin3xx2lim3x13 3x sin3xx2~3x xlimsin3xx2lim3x∴

lim3

x⑹t

arcsin2xarcsin x1sin解：設(shè) 時 t時

arcsin2x 0t 1sin 結(jié)論

arcsinx~

xlim1cosx x⑺解法一

cos2xcos2xsin22cos2x112sin22∴1cos2x2 21cosx2sin2 sin~

(x2sin2lim1cosx 2x lim x0 解法二：∵1cos2xsin2 1cos

lim1cosx10 0x0

1cosx(0)x x1cos limsinx

x 解法三：應用羅必塔

x 1cos lim1cosxlimsinx0 0 0⑻

xaxa alimxa

xaaa 解法一：xxa1 x

xa2a

xa

xalim12a

1

xa

axaa

a a

xa

xae2a1at解法二

x xt當x 時，tlimxa limtaat xxa1t 2a 2alim1 1 t

t t

t

12a

t

t txxax

xa1

lim x解法三

xxa xa1 lim1aa

1

1x

a

7

x

時

ax tan

為等價無窮 解

則必有a 4ax2~tanx24

x x ∴x axtan sin 22x

ax

x

ax

cos4 4 lim 4x0 x0cos 4∴a 結(jié)論：tanx~ (xarctanx~ (x11

e k例8.若

，

k

eke 解：

kxkk （2limx9.已知

2xkx3

4，求k的值解

limx3

x22x x lim∴

2xk∴3223k∴k

x22x

x22x由 x

k

xlimx3x1limx1 x k3時，原式成例10.證明：當x0，ex 1與x是等價 x0ex1 設(shè)：tex1 xln1tx0t 0x0

ln1tx0

1(0)t 1limln1t1

lne∴ex1~ x結(jié)論

e

1~ xln1x~ x§1.3連一 主要內(nèi)數(shù)的連續(xù)函數(shù)x0處連續(xù)f(xx0的鄰域內(nèi)有定義lim1o

lim[

x)f

)]02o0

f(x)f(x00左連續(xù)00右連續(xù)x0

f(x)f(x0f(x)f(x0函數(shù)在x0處連續(xù)的必要條件定理：f(xx0f(xx0處極限存函數(shù)在x0處連續(xù)的充要條件定理x

f(x)f(x0) x

f(x)x

f(x)f(x0函數(shù)在a,b上連續(xù)f(x)在ab上每一點都連在端ab連續(xù)是xa

f(x)f

左端點右連

f(x)f

右端點左連 函數(shù)的間斷若f(x)x0處不連x0為fx的間斷點間斷點有三種情況 在x0處無定o

f

不存在o limfo在0處有定義，且 存在

f(x)f(x0o0兩類間斷點的判斷1o第一類間斷l(xiāng)imf limf 特點：x 和 都存 可去間斷

f

存在

f(x)f(x0

，

x0處無定2o第二類間斷l(xiāng)imf limf特點：x

至少有

f

振蕩不存在無窮間斷

x

f

f

至少有一個 ㈡函數(shù)在x0處連續(xù)的性連續(xù)函數(shù)的四則運

f(x)f(x0，0

g(x)g(x0lim[ lim[

(x)g(x)]f(x0)g(x0(x)g(x)]f(x0)g(x0limf(x)f(x0 limg(x)0 x g g0復合函數(shù)的連續(xù)性

x yf u yf

(x0

f(u)f則：

f[lim(x)]

反函數(shù)的連續(xù)yf xf1(x), y0f(x0

f(x)f(x0)y

f1(y)f1(y0㈢函數(shù)在[ab上連續(xù)的性最大值與最小值定f(x在[ab上連續(xù)f(x)在[ab上一定存在最大值與最小yMyyM m 有界定f(x在[ab上連續(xù)f(x在[ab有界介值定f(x)在[ab上連續(xù)(ab內(nèi)至少存在，使得f()cy0a其中mcy0ayMCξ mm 推論f(x在[ab上連續(xù)，且f(af(b異初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)三、例題分f(x)1 x例1.分段函 在x 0處是否連續(xù)

e2 x，f解

(1

x0

f(x)lim(12x)x0

f(x)x0

(e2x)∴

f(x)

f(x)f由函數(shù)連續(xù)的充要條件定理可知f(x)在x 處連續(xù)f(x)

1sinx x

x xsin1 x

f例2．設(shè)函 ，試確定常數(shù)k的值，在定義域內(nèi)連解f

的定義域為

xx0f(x)1x

x是初等函數(shù)

有定f∴不論k為何值x0f(x)xsin

在在

內(nèi)都是連續(xù) 是初等函數(shù)，

有定f( ∴不論k為何值 x0f(0)

內(nèi)都是連續(xù)

f(x)

sinxx

f(x)lim(xsin

1)（無窮小量乘以有界函數(shù)還等于無窮小量∴只有k1f(xx0處連∴只有k1f(x在定義域內(nèi)連x3x例3．證明方

3x10至少有一個根在12，f(x)x33x，證：f(x在[1,2]上連

xf(1)(x33x

x1f(2)(x33x

x2f(x滿足介值定理推論的條件。由定理可得在在

內(nèi)至少存在一點ξ，使 f()0即12之間至少有一個根xf(x)ln(1例 討論函 的間斷點f(x)的定義域x1,0f 在x 0處無定義x0是函數(shù)的

ln(1x)

lim

x)xlne若補充定義：f(0)1，則函數(shù)在x0連續(xù)x0函數(shù)的可去間斷點f(x) x2例5.討論函 x2x2的間斷點x2 (x1)(xf(x)解 x2x

(x2)(xf(x的定義域為x(,1)(1,2x11x22時，函數(shù)無定x11x22是函數(shù)的間斷l(xiāng)im(x1)(x1)limx1x1(x2)(x x1x f(1) x若補充定義 3，則函數(shù) 處連續(xù)x1是可去間斷

(x1)(x(x2)(x

xx

x2是無窮間斷第二章數(shù)微§2.1導數(shù)與微分㈠導數(shù)的概導數(shù)yfx在x0的某個鄰域內(nèi)有l(wèi)imx0

x

f(

x)

f(x0x

f(x)x

f(x0yx

f(x0)

xf(x) f(x)f(x0左導數(shù) xx x f(x) f(x)f(x0右導數(shù) xx x 定理：fxx0的左（或右）鄰域上連續(xù)在則（

f(x0)f(x0)

0xx00xx0

f(f(）函數(shù)可導的必要條定理：fxx0處可fx在x0處連函數(shù)可導的充要條0定理：yx f(x0)存在f(x0)f(x0)0且存5.導函數(shù) yf( x(a,fx(ab內(nèi)處處可導。6.導數(shù)的幾何性質(zhì)fx0 是曲線yfx上

f(x0ffx 處切線的斜率。 ㈡求導基本求導公導數(shù)的四則運1o（uv)u2o（uv)uvuu

uvu 3ov v復合函數(shù)的導

(vyf u yfdy

dy dx

☆注意{f[(x)]} f[(x)]的區(qū)別{f[x)]}表示復合函數(shù)對自變xf[x)]表示復合函數(shù)對中間變量x)求導4.高階導數(shù)：f( f( 或f(3)(x)f(n)(x)[f(n1)( (n函數(shù)的n階導數(shù)等于其n-1導數(shù)的導數(shù)㈢微分的概微分：fx)x的某個鄰域內(nèi)有定yA(x)xo(x)其中：Axxo(x是比x較階的無窮小量，即：

o(x)yfxx處可微，記dyA(dyA( (x導數(shù)與微分的等價關(guān)定理：fxx處可fxx處可fxA微分形式不變dyf不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)微分dy都具有相同的形式。 f( f(x02x)f(x0)1.則

存在，且x fx0等1 2 解：x

f(x02x)

f(x022x

f(x02x)00

f(x0)2f(

)0f(x)0 （應選例2．設(shè)f(x)(x2a2 其中(x)

xa處連f(af(a)limf(x)f解 x xlim(x2a2)(x)(a a2 xlim(xa)(xa)( x x

x誤解：f(x)2x(x)(x a2)(∴f(a)2a(a) (a2a2)(a) 結(jié)果雖然相同，但步驟是錯的。因為已知條件并沒說( 可導，所以(x)不3．設(shè)fx在x1處可導，且f(1)2，求limf(43x)fx xt43 x1(4t解： 當x1tlimf(43x)f(1)limf(t)f3x x t 1(4t)33limf(t)f(1)3f(1)32t t4則

fx)是可導的fx0等于

f(x0)k0 k k 解f(x)f

k

k [f(x)][f(f(x)(x)f(f(x)f(∴fx0f(x0 (可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)。）5．

f(x)

x2 x 2 x2xx1

x1處是否可導

f(x)lim(x

1)xf(x在

f(x)lim(2x)x1處連f(x)f x21f(1)x x

x xlimx21lim(x1)x x xf(1)limf(x)f(1)lim2x2lim2 x x x x xf ff (x)x1ff(1)解法二

x1

f(x)lim(x2

1)

f(x)lim(2x)f(xx1處連f(x) x

時 x∴

f(x)lim2x

f(x)lim2f ff(xx1f(x)

x6

ae2

x求a,b的值

f

處處可解f(x)的定義域：x(,)x0時f(x)1bx是初等函數(shù)，在 內(nèi)有定義∴不論ab為何值，f(x)(,0)內(nèi)連續(xù)；當x0時，是初等函數(shù)， 內(nèi)有定義f(x是初等函數(shù)， 內(nèi)有定義∴不論ab為何值，f(x)(0,)內(nèi)連續(xù)f(0)(1bx)x0

f(x)lim(1bx)

f(x)

ae2x只有當a1時，f(x在x0處連∴當

1

f(x處處連續(xù)a0時f(x) x

x 可 x0

2e2

x 可 f(0)

f(x)limbf(0)

f(x)

2e2x只有b2時，f(x在x0處可∴當a b2，f(x)處處可導例7．求下列函數(shù)的導⑴ycosln(12x)解：y uln v1dy

dydu

dvsinu12v

1

⑵yarctan(tan2⑵解y[arctan(tan2解 (tan2x)

(tan1(tan2

1

2tanxsec2x 1(tan2 sin4xcos4y10xtan2⑶解y(10xtan2x)ln1010xtan2x(xtan解ln1010xtan2x(tan2x2xsec2x⑷ y2rx⑷r2r2

（r為常數(shù)解法一r2xyr2xr2r2x(x2y2)(r22x2yyr2xyr2xy

(r2x2 r2x⑸ycos(⑸解法一：y[cos(xy)]sin(xysin(xy)(yy∴

ysin(xy)1xsin(xy) dy y 1xylnx⑹

xln解法一

(y

x)(xlny)lnxyylnyx

xyxylnyyxylnyxylnx xylnxy解法二:F(x,y)ylnxxlnFyln

Flnx yln xylny x F xln (x(x1)(xx⑺(x1)(x(x1)(xx21[ln(x1)ln(x2)ln(x22(lny){1[ln(x1)ln(x2)ln(x21yy

1 x

x

xy

1( 1 1 (x1)(x(x1)(xx

x

x⑻y⑻解法一（對數(shù)法lnylnxxxln1yy

lnxx

lnxy∴ xx(lnxy∴yxxeln exlny(exlnx)exlnx(xlnxx(lnxxyx⑼

(sinx)cos解法一（對數(shù)法設(shè)y12xx 設(shè)

(sinyy1y2 xlny1ln2xxln2 lnx1yy

lnx x xx

(lnx 2y 2∴

(lnx2)xx1(lnxlny2cosxlnsin1ysinxlnsinxcosxcos sin∴y2(sinx)cosx(cosxcotxsinxlnsin∴yy1y2解xx1(lnx1)(sinx)cosx(cosxcotxsinxlnsin2解y2exlnxecosxlnsinx2exlnx lnx)ecosxlnsinx(cosxlnsinx2xx1(lnx1)(sinx)cosx(cosxcotxsinxlnsin2y⑽xxy⑽解法一

x

yylnlnyxyy

lnxyxy∴

xylnyyxylnxxy解法二：設(shè)F(x,y)xyyyFyxy1yxlnyyxyyxlny lny)xy xFxylnxxyx1xylnxxyx (ylny)xy xylny

lnx)xdx

x(y，o xylnxx(y，of例8

x)

f解：

t x

xtf(t)sintf∴

sinf∴(x)cosx2(x2)2xcosf∴例9．求下列函數(shù)的二階⑴yln(1x2⑴y 解 1x2 2(1x2)2x 22x2y(1x2

(1x2xylny⑵yxyy

y解法一

y2xyyyy∴

1y2yy(1xy)y2(y(11xy2y(1xy)1xy

y2(y

yx)1x)(12y3(1xy)y2[y(1xy)xy2(13y32xy4(1xy)3解法二

yxyy

yy2xyyyy∴

1(y2xyyy)2yyyyx(y)2xyyy3yyx(

3y

y2y

1 1 1 13y3(1xy)xy43y32xy4(1xy)3 (1xy)310．設(shè)y

x9e2x y(10) y(n) n，求 y9x8，求 y98x722e2y987x623e2y(9)9871x9929e2x9!29y(10)210e2y(n)2ne2x nyy， ，， ，

n y(n)11．設(shè)yx49lnx

yoy解：y 49x(48)y4948x(47)(1)21y494847x(46)(1)311y(50)(1)501(501)!x50例12．求下列函數(shù)的微 ⑴ye 解法一yexsin2xex2sinxcosex(sin2xsin∴dyex(sin2xsin解法二dyd(exsin2d(ex)sin2xexd(sin2exsin2xdxex2sinxd(sinex(sin2xdx2sinxcosex(sin2xsin⑵x2yey

(x2y)(ey)2xyx2yeyyyx2eydy2xy x2

d(x2y)d(ey)2xydxx2dyeydydy2xy x2§2.2中值定理及導數(shù)的應用㈠中值1.羅爾定理 f(x)滿足條件0在[a,b]上連續(xù)； 在(a,b)內(nèi)至.0ab).

;

存在一點30fa) fb 使得f()0 yfyff(f( 拉格朗日定理：fx滿足條件10在[a,b]上連

在(a,b)內(nèi)至少存20在(a,

在一，使得：內(nèi)可導 f(b)f(a)b㈡羅必塔法則：（00

型未定式定理：fxgx)滿足條

f(x) (或1olimg(x)

(或2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導，且g(x)0 f(x)A,（或3oxa g(x) f(x) f(x)A,（或則：xa g(x) xa ☆注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導數(shù)之比的極限2o若不滿足法則的條件，不能使用法0

型或型時，不可求 4of(xg(x還滿足法則的條件， fx) fx) fx)A（或xa g( xa g( xa g(5o若函數(shù)0型可采用代 1,00,形，化成0或型；若 型 ㈢導數(shù)的應切線方程和法線方設(shè)：y f( M(x0,y00切線方y(tǒng)y0fx0xx00法線方

y

f(x0

(x

(f(x0)曲線的單調(diào)⑴fx x(ab)fx)在(a,bfx x(abfx)在(a,b內(nèi)單調(diào)⑵f(x)f(x)

x(a,x(a,

在(ab)內(nèi)嚴格單調(diào)增加；在(a,b)內(nèi)嚴格單調(diào)減少。函數(shù)的極值⑴極值的定義f設(shè)f設(shè)

x0(ab內(nèi)的一 x

0的某個鄰域內(nèi)的任

0，都有f(x0f(x)[或f(x0f0f(x f0則 的一個極大值（或極小值x稱0

f

的極大值點（或極小值點⑵極值存在的必要條10f(x)存在極值f(x0

00f(x)00定理

20.f

)存在。x0稱

f

的駐⑶極值存在的充分條定理10.f(x)在x處連續(xù) f20f(x0或0(xf

f

)是極0030.00

(x)過x時變號。

漸增通

f

由（+）變（-時f(x時 為極大值0xx0x 漸增通 時

f

f(x； 為極小值10.f(x0

f

)是極

20.f0

)存在 x0是極值點f(x) f(x ， 為極大值f(x) f(x ， 為極小值☆注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點4.曲線的凹向及拐f(x)0,xa, f (a,⑴ ； 內(nèi)是上凹的（或凹的（∪⑵f(x)0,x⑵

f (a,

內(nèi)是下凹的（或凸的在（∩在10.f(x

0，

x,f

20.f(x)過0時變號為 的拐 5。曲線的漸⑴水平漸近線若limf(x) yA是fAA⑵鉛直漸

f(x)

的水平漸近線若limf(x) xC是f

f(x)

的鉛直漸近線二、例題分f1的值

(x)x3

x2x在[-1，0]上是否滿足羅爾定理的條件？若滿足，求出f(x)x3解 是初等函數(shù)，在[-1，0]上有定義f∴(x)x3f∴

x在[-1，0]上連續(xù)f∵f∵

在（-1，0）內(nèi)有定義f∴(x)x3f∴

x在（-1，0）f又

(x3x2

x1f(0)(x3x2

x0f∴

滿足羅爾定理的條件。由定理可f() 2解得

2

∵ 不在（-1，0）內(nèi)，舍去 0x例2。證明： 2時，不等式xtanx成立F(t)設(shè)

t[0, x(0,2F(t)tanF(t)F(t)tanF(t)tan 在[0,x]∵

sec2t cos2t在（0,x）內(nèi)有∴F(t)∴∴F(t)∴

tan

在（0,x）內(nèi)可滿足拉格朗日定理的條件由定理

F(x)F(0)tan x 2xcos2tan (0, x(0,20∵cos2 tanx0∵xcos2tanx∴

tanxtan 0x 2證法二：（采用函數(shù)的單調(diào)性證明f(x)設(shè)

tanx x(0,2f(x)sec2x1tan2x x(0,2f(x)∴

x(0,2f∴(x)f(0)tan00f∴tanxxxtan

x(0,∴例3．證明

；證11xln(x )11f證：f

(x)1xln(x )1111

111

(x 1x221f(x 1x2211 11 1(x 1x211x2(x 1x2111x2(x 1x21111111f∴(x)11f∴

) xf(x)∴

f(0)[1xln(x ) ]x011∴1xln(x11∴

；證畢ln(1x)arctan例4．證明：當x0時 1 解：設(shè)：f(x)1xln(1xarctanxxf(x)ln(1x)1x 1 1 x1

(xf∴(x) xf∴f(x)∴

f(0)[(1x)ln(1x)arctanx]x0 xln(1x)arctanx x 1 證畢例5．求下列極lime

e⑴

tanlime

e lime

e tan 0 sec2解 0limlnx a⑵

lnx

1

x 解 lime⑶

t

x解：令 x0te lim

limtlim1

t t

tettlime

e⑷

exe解法一

limexx

ee

ex)eex)e 2lim1e2 2x1

limexx

ee

exexlime2x1lim2e2 lim(1

e2x1 2e2⑸

ex ex1lim( lim 解

ex1 x(ex00 ex e00

01

ex

0x0 ex⑹

x02 x2lnlimx2lnx limln解

(0) 1 1limx2x02

2lim⑺

x (0未定式解法一（對數(shù)法y

1(lnx)設(shè) lnyln(lnx)xxlimlny

1

limxlnx

xlnlimy∴

(lnx)

(lnx)

lnln (0)limlnln 1

xx

e0limx1⑻

(1未定式1解法一：設(shè)yx1lnyln1limlnylimlnx x11 limxlim00x1 x10lim∴

limx1x

1x1

lime1x

limlnex111 00解法三：設(shè)t1 x解法三：設(shè)1

t

(1

t0

t

t]1elim⑼

(00未定式

ln1limxxlimexln lime解

(00)1x

(0)

e

exlim

1x

x0 y(1

1xxx解x

ln

x)1x

x)xln 1

x)1]

ln(1x)limlnylimln(1x)x0 x0 lim1 lim110 2x(1

2

y

1x

e∴

x0 n n

ex

0,n為正整數(shù)lim

nn lim 2ee解

x limn(n1)1xnn e xn elim

axb例8

sin(x2

，求a、b解

1)limx

axbx1sin(x2lim(x2∴

axb)1ab sin(∵

1)~(x2 (xlimx

axblimx2ax∴

sin(x2 x2lim2xa2a00 0∴aba∴y

代入（※）式，得b時，原式成2例9．求曲線 x2在點（1，2）處的切線方程2 y 解 x2 x34y

x1∴切線方y(tǒng)24(xy64y21(x法線方

y即

x410y12x3x2的切線在何處與直y25x4平行解y16x2y2y1的切線與y2平∴6x21∴x1 x2 x1(2x3x2)x1 x1(2x3x2)x1∴所要求的點為：(1,3),11．求曲線xy

x(上任意 處的切線與坐標軸組成 x(解：⑴求切線方程ya2 ay0 x0ya2 axx x

xx0 a切線方

yy0 x0x

(xx0222y x222 x 2a ay⑵求A、B的坐

2 ……2a

0代入（1）式

yax0xA

2a2 0代入（1）式，得xB2 B2x ⑶求三角形的面S1底1

OB21(2x)

x

0f(x)x例12．求函數(shù) x的單調(diào)增減區(qū)間fx)的定義x(,0 x2f(x)1 x x令f(x) 0，解得：xx0時，fx無定義x0是間斷點 (-∞,- - (-1,0) f(f(

↑極大值↓極小值)1)∴當x1時，f(1)x為極大

xf(1)(x1 當x1時 x 為極大值fx)單調(diào)減少區(qū)間為:(-fx)單調(diào)增加區(qū)間為:(-∞,-例13．作函

f(xf(x)解fx的定義域xf(x)exxexex(1令fx0，解得x無一階導數(shù)不存在的f(x)exexxexex(x令：fx)0，解得xlimf(x)limxex xex 1xe∴f(x)∴

0是水平漸近0列表如x(- （1,2）（x(- （1,2）（f( --f(x- +f(↑∩極大↓∩拐點f(2)(xex

e1xx2exx例14．求下列曲線的漸近線f(x)⑴

x24xf(x)

(x 4x解

2)的定義f(的定義

x

f(x)

x24xf∴(x)f∴

0是水平漸近0f1f (x)e解f(解

的定義x(,0)(0,)

f(x)

limex(x)f(x)f1

f(x)lime

x0是鉛直漸近f(x)2x44x2 f( [1例15． ， 在 上的最大值和最小值x解f(x)8x38x8x(x1)(xx解令f(x)令

，解

11,x20,x32x20,x31[12

舍去f(x)24x2f(1)(24x28)x116∴

(2x44x2

x為x2f(1)(2x44x22

2x 2f(2)(2x44x2

x2∴f

為最大

f(1)f(1)結(jié)論：若連續(xù)

f(

(a,

內(nèi)只有一個極?。ɑ虼螅┲?，而無極大（或?。┰趂( (a,在則此極?。ɑ虼螅┲稻? 內(nèi)的最?。ɑ虼螅┲道?6．欲圍一個面積為150m2的矩形場地。正面所用材料造價為6元/m，其余三面所用材料的造價為3元/m，求場地的長、寬各為多少米時，所用材料費最少？解：設(shè)：場地的正面長x 所用材料費為y元y6x3(x2150)9x

xy9900x

9(x2xy

x令 ，解得

（舍負yx10

1.8x10為極小值∵函數(shù) 在（0,+∞）內(nèi)連續(xù)，并只有一個極小值，而無極大值∴函數(shù)yx10處取得最小∴當場地的正面長為10米，側(cè)面長為15米時，所用材料費第三章元函數(shù)積分 一、主要內(nèi)容㈠重要的概念及性xf( Fx原函數(shù)若：F(x) f(Fx)

f(

的一個原函并是F(x)并是

f(

的所有原函數(shù)其中C是任意常數(shù)不定積分f函(f函

的所有原函數(shù)的全稱為

f(

的不定積分；記f(x)dxF(x)其中

f(

稱為被積函fx)dx稱為被積表達 稱為積分變不定積分的性⑴f(x)dxf(d

f(x)dxf(⑵f(x)dxf(x)⑵或dfxfx⑶[f1(x)f2(x)fn(f1(x)dxf2(x)dxfn(—分項積分⑷kfx)dxkf (k為非零常數(shù)基本積分公㈡換元積分⒈第一換元（又稱“湊微元”法

令t(x

f(t)dtF(t)F[(x)]回代tx常用的湊微元函數(shù)dx

1d(ax)a

(a,b為常數(shù)，axmdx dxm1 d(axm1 m a(m（m為常數(shù)e

xd(ex) dxa

axdx

d(ax (a0,a1

d(ln5osindxd(cos cosxdxd(sinsec2xdxd(tan csc2xdxd(cot11

d(arcsinx)d(arccosdxd(arctanx)d(arccotx)1x2第二換元法f( 令xt

(t F(t)

F[1(x)]一般有以下幾種代nx xtn n為偶數(shù)時tnx(當被積函數(shù)中 時a2x2 xasin (或xacosa2x2(當被積函數(shù)中 時a2x,2 xatan (或xacotta2x,2(當被積函數(shù)中 時x2a,2 xasec (或xacsctx2a,2(當被積函數(shù)中 時㈢分部積分

(0 ))22(0 ))22分部積分公式

uv

u 分部積分法主要針對的⑴P(x)sin P(x)cos⑵P(x)e⑵⑶P(x)ln⑷P(x)arcsin P(x)arccosP(x)arctan P(x)arccot⑸eaxsin P(x)axnaxn1其中 （多項式⑴在三角函數(shù)乘多項式中，令Px)u其余記作dv;簡稱“三多選⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項式中，令Px)u其余記作dv;簡稱“指多選⑶在多項式乘對數(shù)函lnxu，其余記作dv;簡稱“多對㈣簡單有理函數(shù)積有理函數(shù)

f(x)P(Q()簡單有理函f(x)P(x) f(x)P(⑴f(x)⑵f(x)

1P((xa)(xP(

1x (xa)2二、例題分例1．若f(x) g(x),xD,則有A.f(x)g(x) B.f(x)g(C.df(x)dg(D.d

f(x)dx

g(f(x)f(x)

g(g(x)

[f(x)g(x)]上式兩邊同時x求積[f(x)g(x)]dx0dxf(x)g(x)c1c2∴fx)gxc（令cc2c1∴AB選項是錯的f(x)g(f(x)dxg(dfxdg （應選d∵

g(

g(而f(x) g(∴D選項是錯的2f

x

e

c，則fx等A.A.11,C.1 1xx[]解：由原函數(shù)和不定積分的定義可得f(x)e

(exx1exxf(x) x2 3.Fx是fx)的一個原函數(shù)，等exf(ex等A.F(ex) B.F(ex)cC.F(ex) D.F(ex)c 解法一：由已知條件f(x)dxF(x)設(shè)uex dueexf(ex)dxf(ex)(ef(u)duF(u)F(ex （應選解法二：由已知條件f(x)dxF(x)exf(ex)dxf(ex)d(exF(ex)4.f(ex)1

e2x

f(0)1則f(x) ：設(shè)u ex 則f(u)1∴f(x)1f(x)dx(1x21∴f(x)dxx2dx1∴xx33f(0)(x∵

13

x

c∴cf(x)∴

1x33

x☆注意：f(0)1稱為初始條件。由此可以確定不定積分中的任意常數(shù)C。

若fx)dxexxf[ln(x2則 x2 dx 設(shè)：uln(x2 則:du 2 解法一xf[ln(x2dx

x2222f[ln( 1)] dx x2 2

22 22

1eu1eln(x21)

1(x21) 1x2 (令：c1c xf[ln(x2解法二： x2 f[ln(x21

d(x2 x2f[ln(x21)]dln(x21eln(x21)

1(x21) x2 2x2解發(fā)三fx)dxex ∴f(x)(e) xf[ln(x2 xeln(x2 x2 dx x2 x(x2 2 x22

dx

xdx1 6．已y1

fx在點x,y)的切線斜率x2，且過（1，1）點，則此曲y y1x y y1 x 解

yf(

在點x,y的切線斜率為f(x) xf(x) f(x)dx

1dx

1∵f(x

過點f(1)∴

1c1∴c

f(x)1∴曲線方程為 例7．用換元法計算下列不定x

（應選1

x2x

1x2解:1x2dx

1)dx dx

1 1x1

xe

ex1edx 解:ex ex e e(1ex )dxdx x

d(exdd

ex x令tex

1txlntc回代tex

xln(ex1)xarcsin1xarcsin解：

11 1分1121121t湊微1t

arcsin 1d(1x2)arcsinxd(arcsin2 2t1xuarcsin

dt 1 t t

212

u22111t2 u2211

(arcsin

x)2etane etane

etanxsec2解：cos2

etanxd

x)etanxcos2xcos2xcos2x

xdxxdx (2sinxcos sin22xdx sin22xdx (1cos4 dx dx 1x1sin4x x解：令t x2,xt22,tdx x2dx(t22)t(t42t(t42t2)dt2t4t52(x2)24(x

2 x1x1 解：令xt6 t dx6t5 6t tx x

x dxt3t4dt

1

t2tt1 t21 t t t1t tdt dt 13t26t6ln1t6x33x66x6ln(1 )6x1 1(x2a2

(a)2解：令xatan (0 )2

dxasec2x2a2a2tan2ta2a2(tan2t1)a2sec21 3dx1

asec2t(x2a2 (a2sec2t1 dt1

costa sec ata2x1sinta2xa a11)2解：令xsin (0t)2

dxcos11

cossint 1sin2 cos dt costcossint 1sin2 sintcos sintcos1 dt1

1cos

sintcos1t d(sintcost sintcos1t1lnsintcost 11x1arcsinx1lnx 例8．用分部積分法計算不定xsin （三多選多解：令u dvsin則du vcosxsinxdxxd(cosx(cosx)cosxcosxsinxx2e (指多選多x2exdxx2dexx2exexd(x2x2ex2e

xexdxx2ex2xex2ex2ex2xex2ex(x22x2)ex

xarctan (多反選反arctan xdxarctan xdx1x2arctan1x2arctanx x2d(arctan1x

arctanx1 222

1x 1x2xarctanx

1 1x2arctanx dx 2 21 21x2arctanx1x1arctanx 2cosln (循環(huán)積分解法一

Icoslnxcoslnxxxcoslnx xsinlnx

xd(cosln11xxcoslnxsinlnxcoslnxxsinlnxxd(sinlnxcoslnxxsinlnx

xcoslnx1xxcoslnxxsinlnxcoslnx2IxcoslnxxsinlnxI1x(coslnxsinlnx) (c1c1 循環(huán)積分若：f(x)dxF(x)kf( (kf(x)dx F(x)則解法二

1coslnxdxxcoslnxdxxcoslnxxcoslnxdlnxxdsinlnxsinlnxsinlnxsinlnxxsinlnxdlnxsinlnxxdcoslnxsinlnxxcoslnxcosln11(

x(sinlnxcoslnx)21x(sinlnxcoslnx)2解法三：設(shè)tln xet dxetdtcoslnxdxcoscostdetetcostetdcosetcostetsinetcostsinetcostetsintetdsinet(costsint)etcos21et(costsint)221x(coslnxsinlnx)22e

sin （指三任選解法一：

e2xsin3xdx

e2

sin3xd3333

e2xdcos3 31e2xcos3x1e21e2cos3x2

cos3xde2coscos3x 91e2xcos3x e2xdsin3x 1e2119

cos3x2e2xsin3xe2x(3cose2x(3cos3x2sin3x)4

sin3xde2ee2xsin3 919

1e2x(3cos3x2sin3x)91e2x(3cos3x2sin3x)e2xsin3xdxe2xsin3xdx 1e1e2xsin3x e2xdsin

e2xsin3x

e2

cos2222e22

4sin3x

cos3xde2x4

e2xsin3x

e2xcos3x

e2xdcos341e2x(2sin34

3cos3x)

e2

sin34 1e2x(2sin3x4

3cos3x)41 41e2x(2sin3x3cos3x)例9.計算下列簡單有理函數(shù)的不定積1x2 1 x41解

dxx2

x2 (x21)(x21) x2

dx( 1x2

1x3x

x x2x dx

解：x2x (x2)(x x2(x dx

1

(x2)(x

x

x

x1

x2xxxx3 x22x dx 解：x22x (x1)2 dx d(x1 (x1)2

(x1)2 1arctan(x1) xnxn1bixi1,§3.2定積 一 主要內(nèi)（一）.重要概念與定積分的定義 ax1x2xi-1ξibf(a

f(i

i定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號，x軸下方的面積取負號。 x x定積分存在定設(shè)：yf( xa,若：f(x)滿足下列條件之一1.fx)連續(xù)，xa2.f(x)在ab上有有限個第一類間斷點3.fx)在ab上單調(diào)有界則：f(x)在a,b上可積。若積分存在，則積分值與以下因素無關(guān)1bfaa

f(t2與在a,b上的劃分無關(guān)，即a,b可以任意劃分3與點的選取無關(guān)，即可以在 x上任意選取 i 積分值僅與被積函數(shù)f(x)與區(qū)間[a,b]有關(guān)。牛頓——萊布尼茲公若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在ab上的任意一個原函數(shù)：bbfx)dxFxbb

F(b)F 牛頓——萊布尼茲公式是積分學中的定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。原函數(shù)存在定若fx)連續(xù)，xax f(t xa,x (x)在[a,b]上的一個原函數(shù)x f(t)dt)f(x定積分的性b設(shè)f(x),g(x)在[ab]上可積，b

k

f(a2 a

a(x)dx f(3bf(x)a

g(x)dx a

f(x)dxag(

f(x)dxbcf(x)bc

bf(x)dxb

f( (ac a

by y f(x)g( (ax 則 f(x)dxag( 8估值定理bm(ba) f(x)dxM(b其中m,M分別為f(x)在a,b上的最小值和最大值。ξbx ξbxMm 9積分中值定理若f(x)連續(xù)xab,則：必存在一點ab使 f(x)dxf()(b（二）定積分的計換元設(shè)fx)連續(xù)，x[a,b]，x若(t)連續(xù)，t且當t從變到時，(t)單調(diào)地從a變到b則：a

(x)dx

分部aaabudvuvbbaaa廣義 f(x)dx f(x)dx f(定積分的導數(shù)1（

fdt)f( (x2[ f(t)dt

3[

(x

(t)dt]f(x)(x)f(x)(f1(x 1(三)定積分的應平面圖形的面積1由yf(x) x x (a與x軸所圍成的圖形的面積 bs f(b2由y1f( y2g( (f與xaxb所圍成的圖形的面s bf(x)a

g(3由x1( x2 與與ycydsdc(y)(1 求出曲線的交點，畫出12 確定積分變量，由交點確定積分上下限23 應用公式寫出積分式，并進行計3旋轉(zhuǎn)體的體1曲線yfx)0,與xa,xb及x軸所圍圖形x軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體的體bxb f2(bxb 2由曲線x(y) 0,與yc,yd及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn) d2(二.例題

0dx ∴積分值為0（面積為 （應填bf( x例 b

解：∵ f(x)dxF(a)F(b)是一個實數(shù)值 f(

x

（應填 dx

2設(shè)fx)ex2x112f(x)2xe令fx0,xx0是駐點，f(0) 2f(1)e1,f(1)e22f(1)e1是fx)在1的最小值，22f(0)1是fx)在1的最大值。2由估值定理得：e11

11

2ex

：即3e1：2

x2dx2 2例4.計算下列定1.4 x01xx：令t xt2 t dxxx dx x 01 01 221t1dt22dt

d(1t 1 01002t22ln1t002(2ln1e2x122解：令t 2x x1(t2 t dx22當x1時，t0;當x時，t21e2x1dx1ettdt1112tet10

10

eet0e(e1)xx2 2設(shè)xsect,(0t);dxtant2;3當x時，t0;當x2時 ;3x2x2sec2t dx tantsec sec 3tan

tdt

3(sec2

(tantt) 32 2

xlnx xlnxdx lnxdxxlnxdx lnxdx22222x2lnx2d2x2lnx2dln2 2 ln22 1

2x222 32 ln24x122 ln2422

221) ln2 22 解：

xexexdx

bxde0lim(xex)blimbe blimbeblimeb

lim lim

11

x0,

f( xf(x)dx00dx2e2解：0

e2xd(20e2x0

(01)例 設(shè)f(x)為連續(xù)的偶函求證：a

f(x)dx20

f(

f(x)dx0

f(x)dx f(對于afx)dx，令xt,則dx當xa時，ta;當x0時，t af(x)dx f(t)(dt af(x)dx f( 同理可證：若f(x)為可積的奇函afx)dx11

求

x2xxx

x0為偶函數(shù)解

x17.1

ee

xdxlnx

0x解

xlnxln 0xe1e

ln1xdx 1e

xexdx1lnxlnx1

xdlnx

xe

xdln (01ln1)

dxelne ee1e

exx1 x1 111ee12(1 aa

設(shè)

xxdxa39,求證：a3當a0時3證

xx

3xxdx3xxdx0

30

1

1(330)330333333

a

當a0時，所給等式成立當a0時 3xxdxaxxdx 0xxdxxxdx3 0x2dx 3x2dx

1x 1x

03 03當a

a330時，所給等式成立3a當a0時 aa3a

xdx

x2dx1x3a33a33a39a333當當

0時，所給等式0 9.1x2dx1,求

A 1

1Aarctan

A[()]A A 設(shè)

22( 1t4dt,求：(2 2

1t4x解 1（x21x 1（x21x

求方程yx2 0

1t3dt0所確的隱函數(shù)yy(x)的微分(yx2)(解

1t3dt)1yyx22xy 1yy11y3x∴

211y32 12已知：yfx)在ab上連

x(xta

f(t xa,證明 2x(xt)f(ta證證

x(xt)2f(ta x(a

2xtt2 f(tx2

f(t

2xatf(t)dt

xtxax

f(t

(x) x2f(t)dt2xtf(