全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟封并使用完畢前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷1）文科數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）與第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上?？忌J(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上作答，答案無(wú)效。3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知集合A={x|x=3n+2,nN},B={6,8,12,14},則集合AB中元素的個(gè)數(shù)為 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知點(diǎn)A（0,1），B（3,2），向量=（-4，-3），則向量=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-1）i=i+1，則z=（A）-2-I（B）-2+I（C）2-I（D）2+i（4）如果3個(gè)整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（A）（B）（C）（D）（5）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|AB|=（A）3（B）6（C）9（D）12（6）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積與堆放的米各為多少”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n（A）172（B）19（8）函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)（A）（kπ--14,kπ+-34（A）（2kπ--14,2kπ+-34（A）（k--14,k+-34（A）（2k--14,2k+-34（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）已知函數(shù)fx（A）-（B）-（C）-（D）-（11）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20π，則r=（A）1(B)2(C)4(D)8（12）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，且f（-2）+f（-4）=1，則a=（A）-1（B）1（C）2（D）4第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷共3頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答。若在試卷上作答，答案無(wú)效。本卷包括必考題與選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二.填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)與。若-Sn=126，則n=.（14）已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線過(guò)點(diǎn)（2,7），則a=.（15）x,y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為.（16）已知F是雙曲線C：x2-=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0,6）.當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小是，該三角形的面積為三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟（17）（本小題滿分12分）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B=2sinAsinC（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）設(shè)B=90°，且a=，求△ABC的面積（18）（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐—ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積（19）（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）與年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)x1與年銷售量y1（i=1,2，···，46.65636.8289.81.61469108.8表中w1=1,，=1（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x。根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1v1）,（u2v2）……..（unvn）,其回歸線v=u的斜率與截距的最小二乘估計(jì)分別為：（20）（本小題滿分12分）已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).求K的取值范圍；若·=12，其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求︱MN︱.（21）.（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)。 （Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，。 請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則安所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，AB是⊙的直徑，AC是⊙的切線，BC交⊙于點(diǎn)E。（Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙的切線；（Ⅱ）若CA=CE，求∠ACB的大小。（23）（本小題滿分10分）選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中。直線:，圓：,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求，的極坐標(biāo)方程；若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為,,求的面積（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍參考答案一．選擇題 （1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二．填空題 （13）6 （14）1 （15）4 （16）三．解答題（17）解：（Ⅰ）由題設(shè)及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼霉?，得所以的面積為1…………12分（18）解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以因?yàn)槠矫?，所以，故平面又平面，所以平面平面………?分（Ⅱ）設(shè)，在菱形中，由，可得因?yàn)?，所以在中，可得由平面，知為直角三角形，可得由已知得，三棱錐的體積故…………9分從而可得所以的面積為3，的面積與的面積均為故三棱錐的側(cè)面積為……12分（19）解：（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型………………2分（Ⅱ）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于所以關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于的線性回歸方程…………6分（Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?dāng)時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值…………………9分（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大……………12分（20）解：（Ⅰ）由題設(shè)，可知直線的方程為因?yàn)榕c交于兩點(diǎn)，所以解得所以的取值范圍為……5分（Ⅱ）設(shè)將代入方程，整理得所以…………7分由題設(shè)可得，解得，所以的方程為故圓心在上，所以…………………12分（21）解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，又，當(dāng)滿足且時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為由于，所以故當(dāng)時(shí)，……………12分（22）解：（Ⅰ）連結(jié)，由已知得，在中，由已知得，，故連結(jié)，則又，所以，故，是的切線……5分（Ⅱ）設(shè)，由已知得由射影定理可得，，所以，即可得，所以……………10分（23）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以的極坐