2018-2019數(shù)學新學案同步必修二浙江專用版講義：第四章 圓與方程滾動訓練五

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精滾動訓練五(§4.1～§4。2)一、選擇題1．若圓(x－3）2＋（y＋5)2＝r2上的點到直線4x－3y－2＝0的最近距離為1，則半徑r的值為（）A．4B．5C．6D．9考點與圓有關(guān)的最值問題題點與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值答案A解析由題意可得，圓心（3，－5）到直線的距離等于r＋1，即eq\f(｜12＋15－2|,\r（16＋9）)＝r＋1，求得r＝4。故選A。2．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積，則直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α等于()A．45°B．135°C．60°D．120°考點與圓有關(guān)的最值問題題點與面積有關(guān)的最值答案B解析將圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成標準方程，得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2）))2＋（y＋1)2＝1－eq\f（3k2，4），∴r2＝1－eq\f(3k2,4)，當圓取得最大面積時，k＝0，半徑r＝1，因此直線y＝（k－1)x＋2,即y＝－x＋2.得直線的傾斜角α滿足tanα＝－1，∴α＝135°。3．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0（t∈R）的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能考點直線與圓的位置關(guān)系題點判斷直線與圓的位置關(guān)系答案C解析直線2tx－y－2－2t＝0恒過點（1,－2),∵12＋(－2）2－2×1＋4×(－2)＝－5〈0，∴點(1，－2）在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C。4．若3a2＋3b2－4c2＝0，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為()A。eq\f(2，3）B．1C.eq\f(1,2）D.eq\f（3,4）考點圓的弦長問題題點求圓的弦長答案B解析∵3a2＋3b2－4c2＝0,∴a2＋b2＝eq\f（4,3)c2,則圓x2＋y2＝1的圓心到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f（|c|，\r（a2＋b2）)＝eq\f（\r（3),2)；則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長l＝2eq\r(r2－d2）＝1。故選B.5．過圓x2＋y2－4x＝0外一點(m，n）作圓的兩條切線，當這兩條切線相互垂直時，m，n滿足的關(guān)系式是（）A．（m－2)2＋n2＝4 B．（m＋2）2＋n2＝4C．（m－2）2＋n2＝8 D．(m＋2）2＋n2＝8考點與圓有關(guān)的軌跡問題題點有關(guān)點的軌跡的其他問題答案C解析圓x2＋y2－4x＝0的圓心坐標為(2，0)，半徑r＝2.由題意，知（m－2)2＋n2＝8。6．已知直線l:3x＋4y＋m＝0（m>0)被圓C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦長是圓心C到直線l的距離的2倍，則m等于（)A．6B．8C．11D．9考點圓的弦長問題題點直線和圓位置關(guān)系的綜合問題答案D解析圓C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化為(x＋1）2＋(y－1）2＝8，圓心坐標為（－1，1）,半徑為2eq\r（2)，由題意可知，圓心到直線的距離d＝eq\f（｜1＋m｜,5）＝2?！適〉0，∴m＝9。7．過點P(－2，4)作圓C：(x－2)2＋(y－1）2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與切線l平行，則切線l與直線m間的距離為（)A。eq\f(3，5)B．2C．4D。eq\f（12，5）考點圓的切線問題題點求圓的切線方程答案C解析根據(jù)題意，知點P在圓C上，∴切線l的斜率k＝－eq\f（1,kCP)＝eq\f(－1,\f(1－4,2＋2)）＝eq\f(4，3)，∴切線l的方程為y－4＝eq\f(4,3）（x＋2）,即4x－3y＋20＝0。又直線m與切線l平行，∴直線m的方程為4x－3y＝0。故切線l與直線m間的距離d＝eq\f（｜0－20|，\r（42＋－32))＝4。8．如圖，定圓半徑為a,圓心為(b,c），則直線ax＋by＋c＝0與直線x－y＋1＝0的交點在（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限考點數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用題點數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用答案B解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ax＋by＋c＝0，,x－y＋1＝0,)）解得交點坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b＋c，a＋b)，\f（a－c，a＋b）））.由圖可知，－b>a〉c>0，∴－eq\f(b＋c，a＋b)<0，eq\f（a－c，a＋b）〈0，∴交點在第三象限，故選B。二、填空題9．若直線l：ax＋by＝1與圓C:x2＋y2＝1有兩個不同的交點，則點P（a，b）與圓C的位置關(guān)系是________．考點圓的弦長問題題點直線和圓位置關(guān)系的綜合問題答案點P在圓外解析∵直線l：ax＋by＝1與圓C：x2＋y2＝1有兩個不同的交點，∴eq\f（1，\r(a2＋b2））〈1，即eq\r（a2＋b2)>1，∴點P(a，b)在圓外．10．點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上,點Q在圓C2:x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________．考點與圓有關(guān)的最值問題題點與距離或距離的平方有關(guān)的最值答案3eq\r(5)－5解析把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式，得（x－4）2＋（y－2）2＝9，(x＋2）2＋（y＋1)2＝4.圓C1的圓心坐標是（4,2)，半徑是3；圓C2的圓心坐標是（－2，－1）,半徑是2。圓心距d＝eq\r（4＋22＋2＋12)＝3eq\r（5）＞3＋2＝5，所以圓C1與圓C2相離，所以|PQ|的最小值是3eq\r(5）－5。11．已知直線l：y＝eq\f(\r(3),3）x＋2eq\r(3）與圓x2＋y2＝12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點,則｜CD|＝________?？键c圓的弦長問題題點直線和圓位置關(guān)系的綜合問題答案4解析由題意，得圓心到直線的距離d＝eq\f(2\r(3）,\r(1＋\f(1，3))）＝3，∴｜AB｜＝2eq\r（12－9）＝2eq\r（3）.又易知直線l的傾斜角為30°，∴|CD|＝eq\f(|AB｜，cos30°)＝eq\f(2\r（3），\f（\r(3），2)）＝4.三、解答題12．已知圓心為N（3，4）的圓被直線x＝1截得的弦長為2eq\r(5）.(1)求圓N的方程；(2)點B（3，－2）與點C關(guān)于直線x＝－1對稱,求以C為圓心且與圓N外切的圓的方程．考點直線和圓的位置關(guān)系題點直線和圓的位置關(guān)系解(1）由題意得，圓心N(3，4）到直線x＝1的距離等于3－1＝2。∵圓N被直線x＝1截得的弦長為2eq\r（5），∴圓N的半徑r＝eq\r(\r(5)2＋22）＝3.∴圓N的方程為（x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)∵點B（3，－2）與點C關(guān)于直線x＝－1對稱，∴點C的坐標為(－5,－2），設(shè)所求圓的方程為（x＋5）2＋（y＋2)2＝r2(r>0）,∵圓C與圓N外切，∴r＋3＝eq\r（3＋52＋4＋22)＝10,得r＝7.∴圓C的方程為（x＋5）2＋(y＋2）2＝49。13．已知從圓外一點P(4，6)作圓O:x2＋y2＝1的兩條切線,切點分別為A，B。（1）求以O(shè)P為直徑的圓的方程；（2)求直線AB的方程．考點求過直線與圓或圓與圓交點的圓的方程題點兩圓公共弦所在直線的方程解(1）∵所求圓的圓心為線段OP的中點（2，3)．半徑為eq\f(1,2）｜OP|＝eq\f（1，2）eq\r（4－02＋6－02)＝eq\r(13)，∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為（x－2)2＋（y－3）2＝13。(2)∵PA，PB是圓O:x2＋y2＝1的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A,B兩點都在以O(shè)P為直徑的圓上．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，,x－22＋y－32＝13,)）得直線AB的方程為4x＋6y－1＝0。

四、探究與拓展14．對于兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義如下：若直線中至少有一條與圓相切，則稱該位置關(guān)系為“平行相切”；若兩直線都與圓相離，則稱該位置關(guān)系為“平行相離”；否則稱為“平行相交”．已知直線l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋（a＋1)y＋6＝0，圓C：x2＋y2＋2x＝b2－1（b>0）的位置關(guān)系是“平行相交”，則b的取值范圍為（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（2)，\f（3\r(2),2)）) B．(0，eq\r(2））C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(3\r(2),2））） D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r（2)，\f(3\r(2)，2）))∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2)，2），＋∞））考點直線和圓的位置關(guān)系題點直線和圓的位置關(guān)系答案D解析圓C的標準方程為(x＋1）2＋y2＝b2，由兩直線平行a(a＋1）－6＝0，解得a＝2或a＝－3，又當a＝2時，直線l1與l2重合，舍去,此時兩平行直線方程分別為x－y－2＝0和x－y＋3＝0.由直線x－y－2＝0與圓（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2)，2);由直線x－y＋3＝0與圓（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝eq\f(2，\r（2））＝eq\r（2).當兩直線與圓都相離時，b<eq\r（2）?！喈敗捌叫邢嘟弧睍r,b滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b〉\r(2)，，b≠\f（3\r（2),2）,））∴b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(2),\f（3\r(2)，2）)）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3\r（2），2)，＋∞）).故選D.15．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1）求圓C的方程；(2)過點M(1,0）的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在,請說明理由．考點圓的弦長問題題點直線和圓位置關(guān)系的綜合問題解（1）設(shè)圓心C(a，0）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a>－\f(5，2)）)，則eq\f（|4a＋10｜,5）＝2，解得a＝0或a＝－5（舍）．所以圓C的方程為x2＋y2＝4。（2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB。當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N（t，0），A(x1，y1)，B（x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，，y＝kx－1，））得（k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0,所以x1＋x2＝eq\f（2k2，k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4，k2＋1).若x軸平分∠ANB,則kAN＝－kBN，即eq\f（y1,x1－t）＋