機械振動5多自由度系統(tǒng)10-11有阻尼課件

5.10多自由度系統(tǒng)的阻尼2023/1/41《振動力學》5.10多自由度系統(tǒng)的阻尼2022/12/281《振動任何實際的機械系統(tǒng)都不可避免的存在著阻尼因素材料的結構阻尼，介質的粘性阻尼等由于各種阻尼力機理復雜，難以給出恰當?shù)臄?shù)學表達。在阻尼力較小時，或激勵遠離系統(tǒng)的固有頻率時，可以忽略阻尼力的存在，近似地當作無阻尼系統(tǒng)。當激勵的頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，激勵時間又不是很短暫的情況下，阻尼的影響是不能忽略的。一般情況下，可將各種類型的阻尼化作等效粘性阻尼。2023/1/42《振動力學》任何實際的機械系統(tǒng)都不可避免的存在著阻尼因素材料的結構阻尼，有阻尼的n

自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：阻尼矩陣元素

cij

阻尼影響系數(shù)物理意義：是使系統(tǒng)僅在第j

個廣義坐標上產生單位速度而相應于第i

個坐標上所需施加的力阻尼力為廣義速度的線性函數(shù)表示為：阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣2023/1/43《振動力學》有阻尼的n自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：阻尼矩陣元素c有阻尼的n

自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：假定無阻尼系統(tǒng)下的正則模態(tài)矩陣u及其模態(tài)剛度矩陣作坐標變換：有：即：其中：模態(tài)阻尼矩陣雖然模態(tài)質量矩陣與模態(tài)剛度矩陣是對角陣，但模態(tài)阻尼矩陣一般非對角陣，因而正則坐標η

下的強迫振動方程仍然存在耦合。2023/1/44《振動力學》有阻尼的n自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：假定無阻尼系統(tǒng)下

非對角矩陣例如：三自由度系統(tǒng)c2kmmmk2kkx1x2x32023/1/45《振動力學》非對角矩陣例如：三自由度系統(tǒng)c2kmmmk2kkx1若非對角，則前面在無阻尼系統(tǒng)中介紹的主坐標方法或正則坐標方法都不再適用，振動分析將變得十分復雜。為了能沿用無阻尼系統(tǒng)中的分析方法，工程中常采用下列近似處理方法。（1）將矩陣C

假設為比例阻尼假定C

有下列形式：a,b：為常數(shù)代入中對角陣運動方程變?yōu)椋?023/1/46《振動力學》若非對角，則前面在無阻尼系統(tǒng)中介紹的主坐標方法或正得：令：稱ζi為振型比例阻尼。若a=0,有：意味著各個振型振動中，阻尼正比于該振型對應的固有頻率。若b=0,有：意味著各個振型振動中，阻尼反比于該振型對應的固有頻率。2023/1/47《振動力學》得：令：稱ζi為振型比例阻尼。若a=0,有：意味著各個振則n

自由度系統(tǒng)運動方程變?yōu)椋哼@一方法有很大的實用價值，一般適用于振型比例阻尼ζi不大于0.2的弱阻尼系統(tǒng)。若系統(tǒng)阻尼較大，不能用振型矩陣使方程解耦，即阻尼矩陣不能對角化，有其它方法解決，但超出本課程范圍。(2)當阻尼比較小的時候，忽略矩陣中的全部非對角元素2023/1/48《振動力學》則n自由度系統(tǒng)運動方程變?yōu)椋哼@一方法有很大的實用價值，假設粘性阻尼系統(tǒng)的微分方程中的阻尼矩陣C可以對角化，

5.11有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應·振型疊加法則n

自由度系統(tǒng)運動方程變?yōu)椋合旅鎸追N激勵分別討論

2023/1/49《振動力學》假設粘性阻尼系統(tǒng)的微分方程中的阻尼矩陣C可以對角化，5.1假設激勵為

1.有阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應將運動方程寫成復數(shù)形式：則正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：正則坐標的放大因子

相位角

頻率比

2023/1/410《振動力學》假設激勵為1.有阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應將運動方程寫成正弦激勵下正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：原廣義坐標的穩(wěn)態(tài)響應：2023/1/411《振動力學》正弦激勵下正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：原廣義坐標的穩(wěn)態(tài)響應：20假設各坐標上作用的激勵周期相同，則

2.有阻尼系統(tǒng)對周期激勵的響應把激勵各簡諧分量所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應分別求出，再疊加：2023/1/412《振動力學》假設各坐標上作用的激勵周期相同，則2.有阻尼系統(tǒng)對周期原坐標的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應：從ηi表達式可以看出，任意階正則坐標的響應是由各個不同

頻率激勵引起的響應疊加而成，因而就一般周期性激勵函數(shù)

而言，產生共振的可能性要比簡諧激勵大得多，很難預料各

階振型中哪階振型將受到激勵的強烈影響而共振。

但當激勵函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)后，可以將每個激勵頻率jω和每個固有頻率ωi相比較，從而預先推測出強烈振動所在。2023/1/413《振動力學》原坐標的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應：從ηi表達式可以看出，任意階正則坐標對于外力是一般隨時間變化的激勵，解耦的微分方程為：

3.有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應得正則坐標的響應為：

對初始條件的響應

杜哈梅積分

原坐標的響應為：

2023/1/414《振動力學》對于外力是一般隨時間變化的激勵，解耦的微分方程為：3.例5.11-1：振動系統(tǒng)如右，解：設廣義坐標為q1、q2，系統(tǒng)的微分方程：求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。q1q2mkmkk均以靜平衡位置為原點。系統(tǒng)無阻尼時的固有頻率：正則振型矩陣：2023/1/415《振動力學》例5.11-1：振動系統(tǒng)如右，解：設廣義坐標為q1、q2，系q1q2mkmkk得正則坐標的微分方程：2023/1/416《振動力學》q1q2mkmkk得正則坐標的微分方程：2022/12/28解耦的正則坐標的微分方程：解上述兩個獨立微分方程：2023/1/417《振動力學》解耦的正則坐標的微分方程：解上述兩個獨立微分方程：2022/得原坐標的穩(wěn)態(tài)響應：式中，2023/1/418《振動力學》得原坐標的穩(wěn)態(tài)響應：式中，2022/12/2818《振動力學作業(yè)5.17.2023/1/419《振動力學》作業(yè)5.17.2022/12/2819《振動力學》5.10多自由度系統(tǒng)的阻尼2023/1/420《振動力學》5.10多自由度系統(tǒng)的阻尼2022/12/281《振動任何實際的機械系統(tǒng)都不可避免的存在著阻尼因素材料的結構阻尼，介質的粘性阻尼等由于各種阻尼力機理復雜，難以給出恰當?shù)臄?shù)學表達。在阻尼力較小時，或激勵遠離系統(tǒng)的固有頻率時，可以忽略阻尼力的存在，近似地當作無阻尼系統(tǒng)。當激勵的頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，激勵時間又不是很短暫的情況下，阻尼的影響是不能忽略的。一般情況下，可將各種類型的阻尼化作等效粘性阻尼。2023/1/421《振動力學》任何實際的機械系統(tǒng)都不可避免的存在著阻尼因素材料的結構阻尼，有阻尼的n

自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：阻尼矩陣元素

cij

阻尼影響系數(shù)物理意義：是使系統(tǒng)僅在第j

個廣義坐標上產生單位速度而相應于第i

個坐標上所需施加的力阻尼力為廣義速度的線性函數(shù)表示為：阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣2023/1/422《振動力學》有阻尼的n自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：阻尼矩陣元素c有阻尼的n

自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：假定無阻尼系統(tǒng)下的正則模態(tài)矩陣u及其模態(tài)剛度矩陣作坐標變換：有：即：其中：模態(tài)阻尼矩陣雖然模態(tài)質量矩陣與模態(tài)剛度矩陣是對角陣，但模態(tài)阻尼矩陣一般非對角陣，因而正則坐標η

下的強迫振動方程仍然存在耦合。2023/1/423《振動力學》有阻尼的n自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：假定無阻尼系統(tǒng)下

非對角矩陣例如：三自由度系統(tǒng)c2kmmmk2kkx1x2x32023/1/424《振動力學》非對角矩陣例如：三自由度系統(tǒng)c2kmmmk2kkx1若非對角，則前面在無阻尼系統(tǒng)中介紹的主坐標方法或正則坐標方法都不再適用，振動分析將變得十分復雜。為了能沿用無阻尼系統(tǒng)中的分析方法，工程中常采用下列近似處理方法。（1）將矩陣C

假設為比例阻尼假定C

有下列形式：a,b：為常數(shù)代入中對角陣運動方程變?yōu)椋?023/1/425《振動力學》若非對角，則前面在無阻尼系統(tǒng)中介紹的主坐標方法或正得：令：稱ζi為振型比例阻尼。若a=0,有：意味著各個振型振動中，阻尼正比于該振型對應的固有頻率。若b=0,有：意味著各個振型振動中，阻尼反比于該振型對應的固有頻率。2023/1/426《振動力學》得：令：稱ζi為振型比例阻尼。若a=0,有：意味著各個振則n

自由度系統(tǒng)運動方程變?yōu)椋哼@一方法有很大的實用價值，一般適用于振型比例阻尼ζi不大于0.2的弱阻尼系統(tǒng)。若系統(tǒng)阻尼較大，不能用振型矩陣使方程解耦，即阻尼矩陣不能對角化，有其它方法解決，但超出本課程范圍。(2)當阻尼比較小的時候，忽略矩陣中的全部非對角元素2023/1/427《振動力學》則n自由度系統(tǒng)運動方程變?yōu)椋哼@一方法有很大的實用價值，假設粘性阻尼系統(tǒng)的微分方程中的阻尼矩陣C可以對角化，

5.11有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應·振型疊加法則n

自由度系統(tǒng)運動方程變?yōu)椋合旅鎸追N激勵分別討論

2023/1/428《振動力學》假設粘性阻尼系統(tǒng)的微分方程中的阻尼矩陣C可以對角化，5.1假設激勵為

1.有阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應將運動方程寫成復數(shù)形式：則正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：正則坐標的放大因子

相位角

頻率比

2023/1/429《振動力學》假設激勵為1.有阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應將運動方程寫成正弦激勵下正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：原廣義坐標的穩(wěn)態(tài)響應：2023/1/430《振動力學》正弦激勵下正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：原廣義坐標的穩(wěn)態(tài)響應：20假設各坐標上作用的激勵周期相同，則

2.有阻尼系統(tǒng)對周期激勵的響應把激勵各簡諧分量所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應分別求出，再疊加：2023/1/431《振動力學》假設各坐標上作用的激勵周期相同，則2.有阻尼系統(tǒng)對周期原坐標的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應：從ηi表達式可以看出，任意階正則坐標的響應是由各個不同

頻率激勵引起的響應疊加而成，因而就一般周期性激勵函數(shù)

而言，產生共振的可能性要比簡諧激勵大得多，很難預料各

階振型中哪階振型將受到激勵的強烈影響而共振。

但當激勵函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)后，可以將每個激勵頻率jω和每個固有頻率ωi相比較，從而預先推測出強烈振動所在。2023/1/432《振動力學》原坐標的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應：從ηi表達式可以看出，任意階正則坐標對于外力是一般隨時間變化的激勵，解耦的微分方程為：

3.有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應得正則坐標的響應為：

對初始條件的響應

杜哈梅積分

原坐標的響應為：

2023/1/433《振動力學》對于外力是一般隨時間變化的激勵，解耦的微分方程為：3.例5.11-1：振動系統(tǒng)如右，解：設廣義坐標為q1、q2，系統(tǒng)的微分方程：求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。q1q2mkmkk均以靜平衡位置為原點。系統(tǒng)無阻尼時的固有頻率：正則振型矩陣：2023/1/434《振動力學》例5.11-1：振動系統(tǒng)如右，解：設廣義坐標為q1、q2，系q1q2mk