四年級(jí)奧數(shù)b第五章-容斥原理(二)課件

金杯數(shù)學(xué)（4b）

天津科學(xué)技術(shù)出版社金杯數(shù)學(xué)（4b）天津科學(xué)技術(shù)出版社聽(tīng)說(shuō)我們即將學(xué)習(xí)圖片中老師講的那個(gè)題目。會(huì)不會(huì)很難啊，看起來(lái)挺復(fù)雜的！聽(tīng)說(shuō)我們即將學(xué)習(xí)圖片中老師講的那個(gè)題目。會(huì)不會(huì)很難啊，看起來(lái)一點(diǎn)都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學(xué)習(xí)解答這個(gè)題目！------請(qǐng)問(wèn)，小明爺爺奶奶家有多少人？？小明家5個(gè)人（爸爸、媽媽、小明、爺爺、奶奶）小明叔叔家5個(gè)人（叔叔、嬸嬸、妹妹爺爺、奶奶）小明伯伯家5個(gè)人（伯伯、伯母、姐姐、爺爺、奶奶）這還不簡(jiǎn)單，3×5=15（個(gè)）同學(xué)們你們覺(jué)得小尼回答正確嗎？一點(diǎn)都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學(xué)習(xí)解答這個(gè)題目！小明家5個(gè)人現(xiàn)在不知道，等我們學(xué)了今天的課程，就知道是怎么一回事了！現(xiàn)在不知道，【知識(shí)領(lǐng)航】容斥原理的運(yùn)用很廣泛，它不僅適用于兩個(gè)事物之間的包含與排除關(guān)系，而且也運(yùn)用于三個(gè)事物之間。有時(shí)要試著從問(wèn)題的另一面去思考，如“3人跳繩比賽獲獎(jiǎng)，1人跳繩、踢毽子兩項(xiàng)都獲獎(jiǎng)”就要想到“只有跳繩比賽獲獎(jiǎng)的有2人”。【知識(shí)領(lǐng)航】容斥原理的運(yùn)用很廣泛，它不僅適用于兩個(gè)事物【方法點(diǎn)撥

】容斥原理的第二種類(lèi)型是：如果被統(tǒng)計(jì)的事物有甲、乙、丙三類(lèi)，那么，甲類(lèi)或乙類(lèi)或丙類(lèi)物體的個(gè)數(shù)=甲類(lèi)物體的個(gè)數(shù)+乙類(lèi)物體的個(gè)數(shù)+丙類(lèi)物體的個(gè)數(shù)－既是甲類(lèi)又是乙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)－既是甲類(lèi)又是丙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)－既是乙類(lèi)又是丙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)－既是甲類(lèi)又是乙類(lèi)而且是丙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)的2倍?！痉椒c(diǎn)撥】容斥原理的第二種類(lèi)型是：如果被統(tǒng)計(jì)的事物有【技巧感悟】

分析：答對(duì)第一題的有52人，答對(duì)第二題的有49人，根據(jù)題意，答對(duì)第一題和第二題的總?cè)藬?shù)是52+49=101人，但其中兩題都答對(duì)的43人被算了兩次，用101－43=58人就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)。所以?xún)深}都答得不對(duì)的有62－58=4人。解：52+49－43=58（人）62－58=4（人）答：至少答對(duì)一題的有58人，兩題都沒(méi)答對(duì)的有4人。第一題(52-43)人第二題(49-43)人？例1：四年級(jí)某班62個(gè)同學(xué)在課堂小測(cè)驗(yàn)中，答對(duì)第一題的有52人，答對(duì)第二題的有49人，兩題都答對(duì)的有43人。至少答對(duì)一題的有多少人？?jī)深}都沒(méi)答對(duì)的有幾人？【技巧感悟】分析：答對(duì)第一題的有52人，答對(duì)第二題的有4【熱身演練】某班有40個(gè)學(xué)生，其中15人參加數(shù)學(xué)興趣小組，18人參加航模興趣小組，有10人兩個(gè)小組都參加，那么有幾個(gè)人兩個(gè)小組都不參加？(1)共40人數(shù)學(xué)15人航模18人10？【熱身演練】某班有40個(gè)學(xué)生，其中15人參加數(shù)學(xué)興趣小組，例2、育才小學(xué)舉辦學(xué)生美術(shù)作品展覽。其中有22幅不是四年級(jí)的，有26幅不是五年級(jí)的。四、五年級(jí)的參展作品共有12幅，其他年級(jí)參展的作品共有多少幅？

分析：由題意可知，22幅作品是一、二、三、五、六年級(jí)的總數(shù)；26幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)的總數(shù)。22+26=48幅，這是一個(gè)四、五年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、六年級(jí)參展的作品總數(shù)，從中去掉四、五年級(jí)共參展的12幅即可得到兩個(gè)一、二、三、六年級(jí)參展的作品總數(shù)，再除以2，就求出了其他年級(jí)參展的作品。解：【技巧感悟】（22+26－12）÷2=18(幅)答：其他年級(jí)參展的作品共有18幅。例2、育才小學(xué)舉辦學(xué)生美術(shù)作品展覽。其中有22幅不是四年級(jí)的【熱身演練】希望小學(xué)畫(huà)展上展出了許多幅畫(huà)，其中有16幅不是六年級(jí)的，有15幅畫(huà)不是五年級(jí)的。五、六年級(jí)共有25幅畫(huà)，那么其他年級(jí)的畫(huà)共有多少幅？(2)【熱身演練】希望小學(xué)畫(huà)展上展出了許多幅畫(huà)，其中有16幅不是例3、某班有52人，其中會(huì)下棋的有48人，會(huì)畫(huà)畫(huà)的有37人，會(huì)跳舞的有39人，這個(gè)班三項(xiàng)都會(huì)的至少有多少人？【技巧感悟】

分析：會(huì)下棋的有48人，所以不會(huì)下棋的有52－48=4人；同樣，不會(huì)畫(huà)畫(huà)的有52－37=15人；不會(huì)跳舞的有52－39=13人。三項(xiàng)中有一個(gè)項(xiàng)目不會(huì)的最多有4+15+13=32人，因此，三項(xiàng)都會(huì)的至少有52－32=20人。解：（52－48）+（52－37）+（52－39）=32（人）答：這個(gè)班三項(xiàng)都會(huì)的至少有20人。52―32=20（人）例3、某班有52人，其中會(huì)下棋的有48人，會(huì)畫(huà)畫(huà)的有37人，【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動(dòng)，其中35人喜歡玩“捉特務(wù)”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋。這個(gè)班至少有多少學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡？(3)【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動(dòng)，其中35人喜歡例4、四（3）班同學(xué)對(duì)作文、數(shù)學(xué)、自然三科中至少有一門(mén)感興趣，其中30人喜歡作文，32人喜歡數(shù)學(xué)，21人喜歡自然；既喜歡作文又喜歡數(shù)學(xué)的有15人，既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡自然的有12人，既喜歡作文又喜歡自然的有14人；三門(mén)都喜歡的有8人。求全班的總?cè)藬?shù)。

分析與解

：如下圖：

【技巧感悟】（1）將喜歡作文、數(shù)學(xué)、自然的人數(shù)加起來(lái)：30+32+21=83（人）答：全班的總?cè)藬?shù)是50人。7648數(shù)學(xué)13作文9自然3（2）對(duì)兩門(mén)學(xué)科感興趣的已在上面重復(fù)統(tǒng)計(jì)了一次，應(yīng)排除：83－（15+12+14）=42（人）

（3）對(duì)三門(mén)都感興趣的，在（1）中加了三次，在（2）的括號(hào)中加了三次，但在（2）式中又被減去了三次，也就是同時(shí)對(duì)三門(mén)感興趣的都被排除在外，還必須補(bǔ)回來(lái)：42+8=50（人）綜合算式：（30+32+21）－（15+12+14）+8=50（人）例4、四（3）班同學(xué)對(duì)作文、數(shù)學(xué)、自然三科中至少有一門(mén)感興趣【熱身演練】某校有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)興趣小組，參加數(shù)學(xué)小組的有35人，參加語(yǔ)文小組的有38人，參加外語(yǔ)小組的有28人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩個(gè)小組的有8人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)兩個(gè)小組的有12人，同時(shí)參加語(yǔ)文、外語(yǔ)兩個(gè)小組的有10人，三個(gè)小組都參加的有4人。這個(gè)學(xué)校參加課外興趣小組的共有多少人？(4)【熱身演練】某校有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)興趣小組，參加數(shù)學(xué)小例5、某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試后，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一項(xiàng)達(dá)到了優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：

分析：全班學(xué)生由兩部分人組成，一部分是三個(gè)項(xiàng)目都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀的4人，另一部分是至少有一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人，所以關(guān)鍵是求出至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)?！炯记筛形颉壳筮@個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。項(xiàng)目短跑游泳籃球短跑游泳短跑籃球游泳籃球短跑游泳籃球人數(shù)171815

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2例5、某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的【技巧感悟】

解法一：如下圖所示，把每個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)用圓圈表示。先填短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目都優(yōu)秀的人數(shù)（2人），4人4人短跑8人籃球6人游泳8人3人

2人最后考慮單項(xiàng)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，由于籃球有15人優(yōu)秀，從圖中可知，籃球優(yōu)秀的已有3+2+4=9（人），則在籃球的圈中，單項(xiàng)優(yōu)秀的人數(shù)為15－9=6（人）；同樣道理，游泳單項(xiàng)優(yōu)秀的人數(shù)為18－（2+4+4）=8（人）；短跑單項(xiàng)優(yōu)秀的人數(shù)為17－（4+2+3）=8（人）。這樣一來(lái)，短跑、游泳、籃球三項(xiàng)中至少有一項(xiàng)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)就是2＋3＋4＋4＋6＋8＋8=35（人），全班人數(shù)是：35+4=39（人）。再填籃球、短跑都優(yōu)秀的人數(shù)（5人），但是，前面三項(xiàng)都優(yōu)秀的人數(shù)已包含兩項(xiàng)優(yōu)秀的人數(shù)，所以在短跑與籃球的交界處只要填5－2=3（人）；同樣道理，在短跑與游泳的交界處只要填6－2=4（人）；在游泳與籃球的交界處只要填6－2=4（人）；【技巧感悟】解法一：如下圖所示，把每個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀的人【技巧感悟】

解法二：與例４的解法相同。先把三個(gè)單項(xiàng)的人數(shù)相加，在減去兩項(xiàng)都優(yōu)秀的人數(shù)之和，然后再加上三項(xiàng)都優(yōu)秀的人數(shù)，這樣就求出了短跑、游泳、籃球三項(xiàng)中至少有一項(xiàng)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，最后再加上三項(xiàng)都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)就得到了全班人數(shù)。（17+18+15）－（6+5+6）+2=35（人）答：這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)是39人。

35+4=39（人）【技巧感悟】解法二：與例４的解法相同。先把三個(gè)單項(xiàng)的人小朋友們，今天學(xué)習(xí)怎樣，知識(shí)點(diǎn)掌握了沒(méi)有?小朋友們，今天學(xué)習(xí)怎樣，知識(shí)點(diǎn)掌握了沒(méi)有?金杯數(shù)學(xué)（4b）

天津科學(xué)技術(shù)出版社金杯數(shù)學(xué)（4b）天津科學(xué)技術(shù)出版社聽(tīng)說(shuō)我們即將學(xué)習(xí)圖片中老師講的那個(gè)題目。會(huì)不會(huì)很難啊，看起來(lái)挺復(fù)雜的！聽(tīng)說(shuō)我們即將學(xué)習(xí)圖片中老師講的那個(gè)題目。會(huì)不會(huì)很難啊，看起來(lái)一點(diǎn)都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學(xué)習(xí)解答這個(gè)題目！------請(qǐng)問(wèn)，小明爺爺奶奶家有多少人？？小明家5個(gè)人（爸爸、媽媽、小明、爺爺、奶奶）小明叔叔家5個(gè)人（叔叔、嬸嬸、妹妹爺爺、奶奶）小明伯伯家5個(gè)人（伯伯、伯母、姐姐、爺爺、奶奶）這還不簡(jiǎn)單，3×5=15（個(gè)）同學(xué)們你們覺(jué)得小尼回答正確嗎？一點(diǎn)都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學(xué)習(xí)解答這個(gè)題目！小明家5個(gè)人現(xiàn)在不知道，等我們學(xué)了今天的課程，就知道是怎么一回事了！現(xiàn)在不知道，【知識(shí)領(lǐng)航】容斥原理的運(yùn)用很廣泛，它不僅適用于兩個(gè)事物之間的包含與排除關(guān)系，而且也運(yùn)用于三個(gè)事物之間。有時(shí)要試著從問(wèn)題的另一面去思考，如“3人跳繩比賽獲獎(jiǎng)，1人跳繩、踢毽子兩項(xiàng)都獲獎(jiǎng)”就要想到“只有跳繩比賽獲獎(jiǎng)的有2人”?！局R(shí)領(lǐng)航】容斥原理的運(yùn)用很廣泛，它不僅適用于兩個(gè)事物【方法點(diǎn)撥

】容斥原理的第二種類(lèi)型是：如果被統(tǒng)計(jì)的事物有甲、乙、丙三類(lèi)，那么，甲類(lèi)或乙類(lèi)或丙類(lèi)物體的個(gè)數(shù)=甲類(lèi)物體的個(gè)數(shù)+乙類(lèi)物體的個(gè)數(shù)+丙類(lèi)物體的個(gè)數(shù)－既是甲類(lèi)又是乙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)－既是甲類(lèi)又是丙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)－既是乙類(lèi)又是丙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)－既是甲類(lèi)又是乙類(lèi)而且是丙類(lèi)的物體個(gè)數(shù)的2倍?！痉椒c(diǎn)撥】容斥原理的第二種類(lèi)型是：如果被統(tǒng)計(jì)的事物有【技巧感悟】

分析：答對(duì)第一題的有52人，答對(duì)第二題的有49人，根據(jù)題意，答對(duì)第一題和第二題的總?cè)藬?shù)是52+49=101人，但其中兩題都答對(duì)的43人被算了兩次，用101－43=58人就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)。所以?xún)深}都答得不對(duì)的有62－58=4人。解：52+49－43=58（人）62－58=4（人）答：至少答對(duì)一題的有58人，兩題都沒(méi)答對(duì)的有4人。第一題(52-43)人第二題(49-43)人？例1：四年級(jí)某班62個(gè)同學(xué)在課堂小測(cè)驗(yàn)中，答對(duì)第一題的有52人，答對(duì)第二題的有49人，兩題都答對(duì)的有43人。至少答對(duì)一題的有多少人？?jī)深}都沒(méi)答對(duì)的有幾人？【技巧感悟】分析：答對(duì)第一題的有52人，答對(duì)第二題的有4【熱身演練】某班有40個(gè)學(xué)生，其中15人參加數(shù)學(xué)興趣小組，18人參加航模興趣小組，有10人兩個(gè)小組都參加，那么有幾個(gè)人兩個(gè)小組都不參加？(1)共40人數(shù)學(xué)15人航模18人10？【熱身演練】某班有40個(gè)學(xué)生，其中15人參加數(shù)學(xué)興趣小組，例2、育才小學(xué)舉辦學(xué)生美術(shù)作品展覽。其中有22幅不是四年級(jí)的，有26幅不是五年級(jí)的。四、五年級(jí)的參展作品共有12幅，其他年級(jí)參展的作品共有多少幅？

分析：由題意可知，22幅作品是一、二、三、五、六年級(jí)的總數(shù)；26幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)的總數(shù)。22+26=48幅，這是一個(gè)四、五年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、六年級(jí)參展的作品總數(shù)，從中去掉四、五年級(jí)共參展的12幅即可得到兩個(gè)一、二、三、六年級(jí)參展的作品總數(shù)，再除以2，就求出了其他年級(jí)參展的作品。解：【技巧感悟】（22+26－12）÷2=18(幅)答：其他年級(jí)參展的作品共有18幅。例2、育才小學(xué)舉辦學(xué)生美術(shù)作品展覽。其中有22幅不是四年級(jí)的【熱身演練】希望小學(xué)畫(huà)展上展出了許多幅畫(huà)，其中有16幅不是六年級(jí)的，有15幅畫(huà)不是五年級(jí)的。五、六年級(jí)共有25幅畫(huà)，那么其他年級(jí)的畫(huà)共有多少幅？(2)【熱身演練】希望小學(xué)畫(huà)展上展出了許多幅畫(huà)，其中有16幅不是例3、某班有52人，其中會(huì)下棋的有48人，會(huì)畫(huà)畫(huà)的有37人，會(huì)跳舞的有39人，這個(gè)班三項(xiàng)都會(huì)的至少有多少人？【技巧感悟】

分析：會(huì)下棋的有48人，所以不會(huì)下棋的有52－48=4人；同樣，不會(huì)畫(huà)畫(huà)的有52－37=15人；不會(huì)跳舞的有52－39=13人。三項(xiàng)中有一個(gè)項(xiàng)目不會(huì)的最多有4+15+13=32人，因此，三項(xiàng)都會(huì)的至少有52－32=20人。解：（52－48）+（52－37）+（52－39）=32（人）答：這個(gè)班三項(xiàng)都會(huì)的至少有20人。52―32=20（人）例3、某班有52人，其中會(huì)下棋的有48人，會(huì)畫(huà)畫(huà)的有37人，【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動(dòng)，其中35人喜歡玩“捉特務(wù)”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋。這個(gè)班至少有多少學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡？(3)【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動(dòng)，其中35人喜歡例4、四（3）班同學(xué)對(duì)作文、數(shù)學(xué)、自然三科中至少有一門(mén)感興趣，其中30人喜歡作文，32人喜歡數(shù)學(xué)，21人喜歡自然；既喜歡作文又喜歡數(shù)學(xué)的有15人，既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡自然的有12人，既喜歡作文又喜歡自然的有14人；三門(mén)都喜歡的有8人。求全班的總?cè)藬?shù)。

分析與解

：如下圖：

【技巧感悟】（1）將喜歡作文、數(shù)學(xué)、自然的人數(shù)加起來(lái)：30+32+21=83（人）答：全班的總?cè)藬?shù)是50人。7648數(shù)學(xué)13作文9自然3（2）對(duì)兩門(mén)學(xué)科感興趣的已在上面重復(fù)統(tǒng)計(jì)了一次，應(yīng)排除：83－（15+12+14）=42（人）

（3）對(duì)三門(mén)都感興趣的，在（1）中加了三次，在（2）的括號(hào)中加了三次，但在（2）式中又被減去了三次，也就是同時(shí)對(duì)三門(mén)感興趣的都被排除在外，還必須補(bǔ)回來(lái)：42+8=50（人）綜合算式：（30+32+21）－（15+12+14）+8=50（人）例4、四（3）班同學(xué)對(duì)作文、數(shù)學(xué)、自然三科中至少有一門(mén)感興趣【熱身演練】某校有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)興趣小組，參加數(shù)學(xué)小組的有35人，參加語(yǔ)文小組的有38人，參加外語(yǔ)小組的有28人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩個(gè)小組的有8人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)兩個(gè)小組的有12人，同時(shí)參加語(yǔ)文、外語(yǔ)兩個(gè)小組的有10人，三個(gè)小組都參加的有4人。這個(gè)學(xué)校參加課外興趣小組的共有多少人？(4)【熱身演練】某校有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)興趣小組，參加數(shù)學(xué)小例5、某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試后，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一項(xiàng)達(dá)到了優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：

分析：全班學(xué)生由兩部分人組成，一部分是三個(gè)項(xiàng)目都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀的4人，另一部分是至少有一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人，所以關(guān)鍵是求出至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)?！炯记筛形颉壳筮@個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。項(xiàng)目短跑游泳籃球短跑游泳短跑籃球游泳籃球短跑游泳籃球人數(shù)171815

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2例5、某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的【技巧感悟】