計算點面距離的方法

九。計算點面距離的方法1。在棱長為a的正方體E人中,E、f分別為棱AB和BC的中點,G為上底面，'|R'r|D|的中心.⑴求AD與BG所成角的余弦值；’1"求二面角廠；/'饑"的大??；求點D到平面1'\上1的距離.2。已知四棱錐P里乂工，中,底面ABCD是矩形，H一平面ABCD,」產’AQ1,宜-,E>F分別是AB、PD的中點.(1)求證：-'」?"'平面PEC;⑵求二面角,廠)的大小.九。計算點面距離的方法1。答案解:建立如圖所示的空間直角坐標系”.則&Q.O.O)B"。)C(o,0,0)型色土。)口弓&。)，，~a—*口K—/Q皿\（i）「m:.頊"，「*「,廣Lf\令AD與BG所成角為,,AD-~BGV6挪。冊=_一一-=飛-\AD\-\BG\".二」1）與BG所成角的余弦值為「."仁設平面幾"的法向量為-京=[—勺扣前=（勇,0）&—4,>_、則.0；-nr”，：.?.??z；".faaJ~2t1質q]、凝=（〕取"',則/"1.二可取?'”—；，顯然"」平面史'％'[.「.可取平面「〃t?的法向量■■'?''|lLL"-.m云2???'"""""?,<-■-所求二面角的大小為.由'/巳求平面R的法向量1!，-■-■「，又>DB\=（a,a,a）…點D到平面的距離’十l二■,點D到平面七'的距離為a.解析⑴以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出AD與BG的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出AD與BG所成角的余弦值；(II)分別求出平面的法向量和平面“"打'的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角”'的大小；由'中結論，平面"的法向量”,又由—_.祁I應FI.代入-，即可求出點D到平面心'的距離.本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，點到平面之間的距離，其中(I)的關鍵是求出AD與BG的方向向量，門的關鍵是求出平面占I的法向量和平面「"打的法向量，'")的關鍵是求出平面-■■■'■■'的法向量1:，及D與平面0"」'任一點連線―!—>的方向向量，如"申'*'3").2。解法一：(1)證明:取PC的中點O,連結OF、OE.，且*'「""?""/.又，?是AB的中點，且AB=DC，,「E?目.一四邊形AEOF是平行四邊形，?-"'E?-(5分)又。土二平面PEC，"平面PEC,平面JW'-一(7分)(2)解:作A」U(1,交ce延長線于M,連結PM.由三垂線定理，得".「HE是二面角尸。的平面角.…(11分)由，以,可得一」^.IrrtanZPMA=~2-一,二面角廠上廠D的大小為….(14分)解法二：以A為原點，如圖建立直角坐標系.則71(0,0,0)5(2,0,0)C(2,1,D)D(0}l,0)P(0,0,1)加打),,,,,,"""L….(2分)⑴證明：取PC的中點O,連結OE.則11>11>11O(L-).AF=(D.-).EO=(0：-,-),云局—-,?,"1.一(5分)又。"二平面PEC,"」平面PEC,山平面「"二...(7分)⑵解:設平面PEC的法向量為"'八俱「.;屈=(1,0.-1).瓦=(1,撰)ITlt-PE=flJ衛(wèi)一啟=0,\|ntEC=0—r”曰］'工+#="由L，可得1人丁一|m??t—(—1,1,—1)...■令，則(11分)~*由題意可得平面ABCD的法向量是廠」"I〉1).TOC\o"1-5"\h\z—777布，FA1..cos<m,rA>=—————\o"CurrentDocument"\rii\\PA\寸$'.arccos….八?,二面角1L，-□的大小為：，(14分)解析解法一：(1)取PC的中點O,連結OF、OE,證明?"('〃?,利用線面平行的判定定理，即可證明AL//平面PEC;⑵作-口1一(「匚,交CE延長線于M,連結PM,證明1是二面角卜-■°的平面角，即可求二面角。頊'D的大小.解法二:(1)建立空間直角坐標系，證明!'';/',即可證明平面PEC;(2)確定平面