第1講幾何專題班教師版

教學目標掌握五大模型的特征，會從復雜圖形中找出基本模型.靈活運用五大模型求直線型圖形的面積和線段長度.教學隨筆本講主要掌握五大模型的特點，并會從各種復雜圖形中找出基本模型，有的題目不僅僅只包含一種模型，建議老師根據(jù)學生找到的模型，引導學生解題，還有不包含基本模型的就是我們第二講所要介紹的方法技巧.本講題目基本上是按所講模型順序設計的，可能和老師的觀點不統(tǒng)一，教師再講課時可以靈活分類經(jīng)典精講一、等積變換模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比;ABabCD如左圖S:S=a:b夾在一站平有線之間的等積變形，如右上圖S”=Sg；反之，如果5命=S『，則可知直線AB平行于CD"?正方形的面積等于對角線長度平方的一半；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；二、鳥頭定理（共角定理）模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比如圖在△ABC中，D,E分別是AB,AC上的點如圖（1）（或D在BA的延長線上，E在AC上），則S冬abc:S冬ade=（ABxAC）:（ADxAE）推理過程連接BE，再利用等積變換模型即可三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理"）:①S::S=S::S或者SxS=SxS②AO::OC=（S+S）:（S+S）124313241243蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關(guān)系.梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）:S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；梯形S的對應份數(shù)為（a+b）2.四、相似模型相似三角形性質(zhì):O（金字塔模型）（沙漏模型）五、燕尾定理模型,（金字塔模型）（沙漏模型）五、燕尾定理模型ABACBCAG②S:S=AF2：AG2.所謂△的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；BECSAABG:SAAGC=SABGE:SAEGC=BE:EC；S^BGA:S4BGC=SAAGF:SAFGC=AF:FC；SAAGC:SMCG=S△ADG:SADGB=AD:^^B:BEC【例1】（第3屆華杯賽試題）一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積是長方形面積的0.15倍，黃色三角形的面積是21平方厘米.問：長方形的面積平方厘米.【例2】【例3】【例4】（2007年六年級希望杯二試試題）如圖，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為。，張大伯常走這兩條小路，他知道DF=DC,且AD=2DE.則兩塊地ACF和CFB的面積比是

［鞏固］兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積分別是3,7,7,則陰影四邊形的面積是多少？［分析］方法一：遇到?jīng)]有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便后面的計算.再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形。設三角形為ABC,BE和CD交于F，則BF=FE,再連結(jié)DE。所以三角形DEF的面積為3.設三角形ADE的面積為x，則x（3+3）=AD:DB=（x+10）:10，所以x=15，四邊形的面積為18。方法二：連接AF，用燕尾定理解［拓展］如圖，已知長方形ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3,三角形ACF的面積是4,那么三角形ABC的面積是多少？CDBEAFCDBEAF■/ADEF是長方形【例5CDBEAFCDBEAF4|幾何專題班?第1講?教師版如圖.將三角形ABC的AB邊延長1倍到D,BC邊延長2倍到E，CA邊延長3倍到F.如果三4|幾何專題班?第1講?教師版［拓展］如圖，在^ABC中，延長AB至D，使BD=AB,延長BC至E，使CE=-BC,F是AC的中點，2若^ABC的面積是2，則ADEF的面積是多少？【例6】如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O,若AAOM、AABO和ABON的面積分別是3、2、1，則AMNC的面積是.［鋪墊］四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O（如圖所示）.如果?1角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的3，且AO=2，DO=3，那么CO的長度是DO的長度的倍.【例7】如右圖，已知D是BC中點，E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點，AABC由這6部分組成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么AABC的面積是多少平方厘米？【例8】如右圖，長方形ABCD中，EF=16，F(xiàn)G=9，求AG的長.DA、GAABDDCECDAAGPBDBCDE,,,AGE//NF―\B6|幾何專題班?第1講?教師版BDEFCBDEFCF”一一OMCEC【例10】如右圖，三角形ABC中,BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求AF:FB.【例11】M［鋪墊］圖中四邊形ABCD是邊長為12cm的正方形，從G到正方形頂點C、D連成一個三角形，已知這個三角形在AB上截得的EF長度為4cm，那么三角形GDC的面積是多少？G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于已知△ABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則△ABC［拓展］如圖，三角形ABC的面積是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部分的面積口B各是多少？【例9】如圖，長方形ABCD中，E為AD中點，AF與BE、BD分別交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG.如右圖，△ABC中AF與BG交于N,的面積是多少平方厘米?AG1【例10】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE=2BE，CF=2DF，連接BF，DE，相交于點G，過G作MN，PQ得到兩個正方形MGQA和正方形PCNG，設正方形MGQA的面積為5，正方形PCNG的面積為S，則S1：S2=n0□附加題2QADFMNQDFMN【例1】如下圖，在梯形ABCD中,【例2】如右圖面積為1的三角形ABC中，D、點，求陰影部分面積.G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分AEHNFFGGDIDIHHQCGBFGC（上圖中中心六邊形的面積）7I幾何專題班?第1【例1】如下圖，在梯形ABCD中,【例2】如右圖面積為1的三角形ABC中，D、點，求陰影部分面積.G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分AEHNFFGGDIDIHHQCGBFGC（上圖中中心六邊形的面積）7I幾何專題班?第1講?教師版CE是BC邊的三等分點，點F、G是AC邊的三等分點，那么1.如圖，正方形ABCD的邊長為6,［拓展］如圖，CE是BC邊的三等分點，點F、G是AC邊的三等分點，那么1.如圖，正方形ABCD的邊長為6,［分析］家庭作業(yè)AE=1.5,CF=2.長方形EFGH的面積為【分析】連接DE,DF,則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍.三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積.5622624刷以長方形EFGH面積為33【分析】本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是“當兩個三角形這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，有一個角相等或互補時也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種情況.最后求得Safgs的面積為.43211S=xxxx

△fgs543221.103.如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB，求陰影部分的面積.BC三角形DEF【分析】本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是“當兩個三角形這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，有一個角相等或互補時也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種情況.最后求得Safgs的面積為.43211S=xxxx

△fgs543221.103.如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB，求陰影部分的面積.，，.3SDE=Sad=2，所以SDEO=4x2=1.5，陰影部分的面積為2+1.5=3.5.4.如右圖，已知BD=DC,EC=2AE，三角形ABC的面積是30,求陰影部分面積.【分析】連接CF,因為BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面積是30，ATOC\o"1-5"\h\z3一由于EF:DC1:3根據(jù)梯形蝴蝶定理，S*Sefo=3:1,所以SdeM4SD,而所以SMBE=3以BC=10，SAABD=2七BC=15.SAE1SBD,根據(jù)燕尾定理，AABF==—，UABF==1,ScbfEC2S^C^CD所以Sabf=4S^bc=