工業(yè)機器人技術基礎第2章-工業(yè)機器人的數學基礎課件

目錄第一章工業(yè)機器人概論第二章工業(yè)機器人的數學基礎第三章工業(yè)機器人的機械系統(tǒng)第四章工業(yè)機器人的動力系統(tǒng)第五章工業(yè)機器人的感知系統(tǒng)第六章工業(yè)機器人的控制系統(tǒng)第七章工業(yè)機器人編程與調試工業(yè)機器人技術基礎工業(yè)機器人技術基礎主要內容2.1矩陣及運算2.2坐標系及其關系描述2.3坐標變換2.4機器人運動學2.5機器人動力學工業(yè)機器人技術基礎第2章工業(yè)機器人的數學基礎主要內容工業(yè)機器人技術基礎第2章工業(yè)機器人的數學基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1矩陣及運算1.矩陣的定義定義1由mn個數aij（i=1，2，，m；j=1,2，，n），排成m行n列的數表：稱為m行n列矩陣，簡稱為mn矩陣。這mn個數稱為矩陣A的元素，aij叫做矩陣A的第i行第j列元素。元素是實數的矩陣叫做實矩陣，元素是復數的矩陣叫做復矩陣。本教程中的矩陣除特別說明外，都指實矩陣。通常用大寫的拉丁字母A、B、C等表示矩陣。有時為了指明矩陣的第i行第j列元素為aij，可將A記作A=(aij)mn或A=(aij)，也可將mn矩陣A記為Amn。當A的行數與列數相等時，稱A為n階方陣或n階矩陣。顯然，一階矩陣就是一個數。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1矩陣及運算只有一行的矩陣A=（a1，a2，，an）叫做行矩陣；只有一列的矩陣叫做列矩陣。兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們?yōu)橥途仃?。如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即

aij=bij

（i=1，2，，m；j=1，2，，n），那末就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B。元素都是零的矩陣，記作0。注意不同型的零矩陣是不同的。II幾種特殊矩陣a)對角矩陣(diagonalmatrix)，如下的矩陣稱為對角矩陣，記為diag（a11

,a22,a33……

ann）第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1矩第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎b)數量矩陣(scalarmatrix)c)三角矩陣(triangularmatrix)上三角矩陣(uppertriangularmatrix)第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎b)數量矩第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎d)

對稱陣(symmetricmatrix）和反對稱陣(anti-symmetricmatrix)如果n階矩陣A=（aij）的元素滿足aij=aji（i，j=1，2，，n），則稱A為n階對稱矩陣，如如果n階矩陣A=（aij）的元素滿足aij=aji（i，j=1，2，，n），則稱A為n階反對稱矩陣。顯然，故aii=0（i=1，2，，n）如：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎d)

第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣的加法設有兩個mn的矩陣A=（aij），B＝（bij），則矩陣A和B的和記作A+B。即：III矩陣的運算易證，矩陣加法滿足下列運算規(guī)律（設A、B、C都是mn矩陣）：a)A+B=B+A；b)（A+B）+C=A+（B+C）。設矩陣A=（aij），記A=（aij），A稱為A的負矩陣，顯然有A+（A）=0。由此定義矩陣的減法運算為

AB=A+(-B)第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣相等條件：①矩陣要同階②對應元素相等滿足上述條件，矩陣就相等。如下述矩陣：III矩陣的運算第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲數與矩陣相乘數與矩陣A的乘積記作A或A，規(guī)定為易證，數乘矩陣滿足下列運算規(guī)律（設A、B為mn矩陣，、為數）：(i).

（）A=（A）；(ii).

（+）A=A+A；(iii).

（A+B）=A+B。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲數與矩陣相第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣與矩陣相乘設矩陣A=(aij)ms，B=(bij)sn，則矩陣A和矩陣B的乘積矩陣C=（cij）mn，其中

Cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj

（i=1，2，，m；j=1，2，，n）記作C=AB。對于矩陣的乘法需注意以下三點：第一，只有矩陣A的列數等于B的行數時，AB才有意義。第二，乘積C=（cij）mn的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的每一個元素與矩陣B的第j列的對應元素的乘積之和。第三，乘積C的行數等于矩陣A的行數，列數等于矩陣B的列數。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣與矩陣第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例1求AB和BA。其中解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例1求第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2求AB和BA。其中解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2求第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

在上述兩個例子中都有ABBA，即矩陣乘法不滿足乘法交換律，為此將AB稱為用A左乘B，而將BA稱為A右乘以B。還應注意到在例5中：A，B均為非零矩陣，但AB卻為零矩陣。由定義可以驗證矩陣的乘法滿足以下運算規(guī)律：（假設運算都是可行的）(i).

結合律：（AB）C=A（BC）；(ii).

左分配律：A（B+C）=AB+AC；(iii).

右分配律：（B+C）A=BA+CA；(iv).

（AB）=（A）B=A（B）。（為常數）對于單位矩陣E,容易驗證EmAmn=Amn

，AmnEn=Amn。有了矩陣的乘法，就可以定義n階方陣的冪。設A是n階方陣，定義A1=A，A2=A1A1，，Ak+1=AkA1

，其中k為正整數。這就是說，Ak就是k個A相乘。顯然，只有方陣的冪才有意義。由于矩陣乘法適合結合律，所以方陣的冪滿足以下運算規(guī)律：

AA=A+

，(A)=A

不過，一般(AB)kAkBk。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎在上述第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣的轉置把矩陣A=(aij)m×n的行換成同序數的列所得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣(transpose)，記作A

或AT。顯然，A=(aji)n×m矩陣的轉置也是一種運算，易證它滿足下述運算規(guī)律（假設運算都是可行的）：

(i)

(A)=A；

(ii)

(A+B)=A+B

；

(iii)(A)=A

；

(iv)(AB)=BA

。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣的轉第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲方陣的行列式

由n階方陣A的元素按原來位置不變所構成的行列式（各元素的位置不變），叫做方陣A的行列式，記作|A|或detA。設A為n階方陣，如果|A|≠0，則稱

為非奇異矩陣；如果|A|=0，則稱

為奇異矩陣。

由方陣A確定行列式|A|的運算滿足下述運算規(guī)律（設A，B為n階方陣，為數）：

(i).

|A|=|A|（行列式性質1）；

(ii).

|A|=n|A|；

(iii).|AB|=|A||B|。

▲其它方陣設

A為n階方陣，由|A|的各元素的代數余子式所構成的方陣稱為方陣

的伴隨陣

A*，有以下性質：AA*=A*A=|A|E如果存在一個矩陣A-1

，使得AA-1=A-1A=

E,則矩陣

A-1稱為A

的可逆矩陣或逆陣。當方陣|A|≠0，有第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲方陣的行第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣求導

矩陣的元素如果為時間t

的函數，記為

Aij(t)，該矩陣記為

A(t)。它對時間的導數為一同階矩陣，其各元素為原矩陣的元素

對時間的導數，即根據此定義與微分的基本性質，可得如下關系式：上式中：

a為時間函數的標量；

A與B

均為時間函數的矩陣，它們滿足矩陣運算的條件。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣求導第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.2坐標系及其關系描述▲坐標系插曲：有一天，笛卡爾(1596-1650，法國哲學家、數學家、物理學家)生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復思考一個問題:幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢?這里，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組"數"掛上鉤。他就拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把"點"和"數"聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的"表演"，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢?他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那么空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎?反過來，任意給一組三個有順序的數，例如3.2.1，也可以用空間中的一個點P來表示它們(如圖1)。同樣，用一組數(a，b)可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示(如圖2)。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標系。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.2坐標第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■直角坐標系

在平面上建立直角坐標系以后，可用點到兩條互相垂直的坐標軸的距離來確定點的位置，即平面內的點P與二位有序數組（a，b）一一對應。在空間建立三維直角坐標系后，可用點到三個互相垂直的坐標平面的距離來確定點的位置，即空間的點P與三維有序數組（a，b，c）一一對應。建立坐標系，如左圖所示，取三條相互垂直的具有一定方向和度量單位的直線，叫做三維直角坐標系

或空間直角坐標系o-xyz。利用三維直角坐標系可以把空間的點P與三維有序數組（a，b，c）建立起一一對應的關系。右圖所示就是典型的直角坐標系型機器人。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■直角坐標系第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圓柱坐標系如左圖所示設M(r,ψ,z)為空間內一點，并設點M在xoy面上的投影P的極坐標為r,θ，則這樣的三個數r,θ,z就叫點M的圓柱坐標，其典型圓柱坐標系型機器人見右圖。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圓柱坐標系第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■球坐標系如左圖所示假設P（x，y，z）為空間內一點，則點P也可用這樣三個有次序的數(r，θ，φ)來確定，其中r為原點O與點P間的距離；θ為有向線段OP與z軸正向的夾角；φ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到OM所轉過的角，這里M為點P在xOy面上的投影。這樣的三個數r，θ，φ叫做點P的球面坐標，其典型球坐標系型機器人見右圖第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■球坐標系第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■機器人常用坐標系

在機器人學科里經常用參考坐標系和關節(jié)坐標系來描述空間機器人的位姿?！鴧⒖甲鴺讼?/p>

通常采用三維空間中的固定坐標系o-xyz來描述▲關節(jié)坐標系

關節(jié)坐標系用來描述機器人每一個獨立關節(jié)的運動。XYZO參考坐標系關節(jié)坐標系XYOX’Y’O’第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■機器人常用第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■向量向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：或或或第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■向量向量：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構成的向量.第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎自由向量：不第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎[1]加法第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結合律：（3）[2]減法第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎向量的加法符第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎三、向量與數的乘法第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎三、向量與數第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎數與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結合律：（2）分配律：兩個向量的平行關系第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎數與向量的乘第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例1

化簡解第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例1第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎四、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標這六個平面與x,y,z軸分別相交于第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎四、向量在坐第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎zxoy第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎zxoy第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎稱有向線段的值為向量在x軸上的投影有向線段的值為向量在

y軸上的投影有向線段的值為向量在

z軸上的投影依次記作即xoy第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎稱有向線段的第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎由圖上可以看出而——稱為基本單位向量xoy第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎由圖上可以看第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎——向量在三個坐標軸上的分向量——向量的分解式向量在三個坐標軸上的投影——稱為向量的坐標向量可用它的坐標表示為——向量的坐標表示式xoy第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎——向量在三第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎特殊地：——稱為向徑向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎特殊地：——第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.五、向量的模與方向余弦的坐標表示式第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎非零向量第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標表示式第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎由圖分析可知第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎當時，向量方向余弦的坐標表示式第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎當第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎啟示實例兩向量作這樣的運算,結果是一個數量.定義一、兩向量的數量積第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎啟示實例兩向第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎結論兩向量的數量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.數量積也稱為“點積”、“內積”.第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎結論兩向第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎數量積符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數若、為數：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎數量積符合下第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎兩向量夾角余弦的坐標表示式第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎兩向量夾角余第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎實例二、兩向量的向量積第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎實例二、兩向第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎定義關于向量積的說明：//向量積也稱為“叉積”、“外積”.第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎定義關于向量第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標系之間關系描述空間中任意點

或向量在不同坐標系的描述是不同的，為了闡述從一個坐標系到另一個坐標系的描述關系，需要討論兩坐標系的位姿(位置和姿態(tài))關系。坐標系通常由3個互相正交的軸來表示（例如x，y和z）。由于在任意給定空間內可能有多個坐標系，因此我們定義o-xyz(簡稱{o}系)來表示固定的全局參考坐標系；用o-xbybzb(簡稱系)來表示運動的剛體坐標系。分兩種情況來描述兩坐標系之間位姿關系。分兩種情況：▲共原點設{o}系和系共原點，i，j和k是{o}系的三正交軸單位向量，ib，jb和kb是系的三正交軸單位向量，那么這兩個坐標系的位姿關系可以用下列第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標系之間第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎方向余弦陣具有以下基本性質：1)方向余弦陣為一正交陣.矩陣中每行和每列中元素的平方和為1；兩個不同列或不同行中對應元素的乘積之和為0。2）A系相對B系的方向余弦陣與B系相對

系A的方向余弦陣互為轉置；3)當且僅當兩坐標系兩兩方向一致時，則它們的方向余弦陣為一三階單位陣。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎方向余弦陣具第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標系之間關系描述空間中任意點

或向量在不同坐標系的描述是不同的，為了闡述從一個坐標系到另一個坐標系的描述關系，需要討論兩坐標系的位姿(位置和姿態(tài))關系。坐標系通常由3個互相正交的軸來表示（例如x，y和z）。由于在任意給定空間內可能有多個坐標系，因此我們定義o-xyz(簡稱{o}系)來表示固定的全局參考坐標系；用o-xbybzb(簡稱系)來表示運動的剛體坐標系。分兩種情況來描述兩坐標系之間位姿關系。分兩種情況：▲不共原點設{o}系和系不共原點，i，j和k是{o}系的三正交軸單位向量，ib，jb和kb是系的三正交軸單位向量，那么這兩個坐標系的位姿關系可以用下列矩陣來表示：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標系之間第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.1如圖所示，{o}系為一固定坐標系，為一運動坐標系。初始狀態(tài)：運動坐標系的初始位姿與{o}系重合，但經過一定時間后，系開始運動，最終系相對于{o}系的y軸逆時針旋轉了30°，試用方向余弦陣A分別表示出運動初始和運動終了兩個狀態(tài)時的兩坐標系的位姿關系。解：1）運動初始狀態(tài) 根據方向余弦陣的基本性質可知，兩坐標系完全重合，其方向余弦陣A就是一個三階單位陣2）運動終了狀態(tài) 根據式（2-3），可寫出方向余弦陣A第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.1如圖所示，{o}系為一固定坐標系第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■空間剛體描述在運動過程中物體內任意兩點的距離保持不變的物體稱為剛體。在機器人學里，任一剛體的位置、姿態(tài)可由其上的任一基準點（通常選作物體的質心）和過該點的坐標系相對于參考坐標系的相對關系來確定。如下圖所示，設有一運動橢圓剛體A，選其上的圓心點ob為基準點，長軸為yb軸，短軸為xb，橢圓面的法向為zb，置坐標系ob-xbybzb。再選一固定坐標系{o}，于是，該橢圓剛體A的空間位置和姿態(tài)可由下式所示矩陣來表示出式中：，第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■空間剛體描第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標變換變換定義為在空間產生運動。當空間的坐標系（向量、物體或運動坐標系）相對于固定的參考坐標系運動時，這一運動可以用類似于表示坐標系的方式來表示。這是因為變換本身就是坐標系狀態(tài)的變化（表示坐標系位姿的變化）。變換坐標可為如下幾種形式的一種：1．純平移坐標變換；2．繞一個軸的純旋轉；3．平移與旋轉的組合第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標變換第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎設有一固定的直角坐標系o-xyz（簡稱{o}系）和一運動的直角坐標系ob-xbybzb（簡稱系）具有相同的方位，但{o}系的原點與系的原點不重合，用位置向量

描述系相對{o}系的位置，稱

為系相對{o}系的平移向量，且其中

、

和

是平移向量

相對于固定坐標系{o}的xb、yb和zb軸的3個分量?！黾兤揭频诙鹿I(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎設有一固定的第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎如果點

P在系中的位置為

bP，那么它相對于{o}系的位置向量oP

可由向量相加得出，即oP=oPoob+bP上式稱為：坐標平移方程

那么如何在{O}表述呢？坐標余弦陣，因為兩坐標系方位相同，即兩坐標系關系為：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎如果點P在第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎而系在{o}表示應該用兩個矩陣來表述，及位置矩陣和余弦矩陣，則：那矩陣可看成是如下兩個矩陣的乘積：首先可以看到，新坐標系位姿可通過在原坐標系矩陣前面左乘平移變換矩陣得到。其次可以看到，方向向量經過平移后保持不變。最后可以看到，這種坐標變換便于用矩陣乘法來進行變換計算，并使得到的新矩陣的維數與變換前相同。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎而系在第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.2初始狀態(tài)：運動坐標系在固定坐標系{o}的位姿為Tboold

。經過一段時間后，運動坐標系沿固定坐標系{o}的y軸正向移動5個單位，沿z軸正向移動5個單位。求運動終了時運動坐標系在固定坐標系{o}的位姿Tbo-new

。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.2初第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎如圖2-13所示，旋轉前固定坐標系{o}和運動坐標系重合，顯然P點在{o}系和系中的坐標值都相等；經過一段時間后運動坐標系繞z軸逆時針旋轉了θ角，旋轉后P點在{o}系和系中的坐標值顯然不等。但存在關系■繞軸轉動第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎如圖2-13第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎寫成矩陣形式為：可見，旋轉后為了得到點P在固定參考坐標系{o}里的坐標矩陣，必須在點P在運動坐標系的坐標矩陣的左邊乘上一個矩陣，該矩陣也就是繞z軸旋轉的旋轉矩陣

，它可表示為：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎寫成矩陣形式第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎同理可推出繞Y軸旋轉的旋轉矩陣：可推出繞X軸旋轉的旋轉矩陣：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎同理可推出繞第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.3現(xiàn)運動坐標系中有一點p(1,2,3)T，它隨運動坐標系一起繞固定坐標系的z軸旋轉90°。求旋轉后該點在固定坐標系的坐標。解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.3現(xiàn)運第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■復合運動對于一般的情形，運動坐標系與固定坐標系{o}的原點既不重合，方位也不相同。但兩者的關系可通過一定的變換實現(xiàn)。這種變換就是復合變換，即由固定坐標系的一系列沿軸平移變換和繞軸旋轉變換所組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移變換和旋轉變換。例如，為了完成所要求的變換，可以先繞x軸旋轉，再沿x、y和z軸平移，最后再繞z軸旋轉。但一般情況下這種變換順序很重要，如果顛倒兩個依次變換的順序，結果將會有所不同。為探討如何處理復合變換，假定運動坐標系相對于固定坐標系{o}依次進行了下面3個變換：1）首先繞x軸旋轉α角；2）然后分別沿x、y和z軸平移dx、dy和dz；3）最后繞y軸旋轉β角。簡稱：轉-移-轉第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■復合運動對第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎按轉-移-轉運動順序，寫出運動方程：1）轉2）移3）轉4）運動合成（左乘原則）第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎按轉-移-轉第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.4現(xiàn)運動坐標系中有一點p(1,2,3)T，經歷了如下變換，求出變換后該點在固定坐標系的坐標。1）首先繞x軸旋轉90°角；2）然后分別沿x、y和z軸平移1、0和0；3）最后繞z軸旋轉90°角解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.4第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圖形解驗證：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圖形解驗證第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.5已知條件一樣，但變換順序發(fā)生了以下變動，求出變換后該點在固定坐標系的坐標。。1）首先繞Z軸旋轉90°角；2）然后分別沿x、y和z軸平移1、0和0；3）最后繞X軸旋轉90°角解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.5第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圖形解驗證：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圖形解驗證第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎從例題（2.4）和例題（2.5）不難發(fā)現(xiàn)，盡管所有的變換完全相同，但由于變換的順序變了，該點在固定坐標系中的坐標值完全不同，可見坐標變換必須嚴格按照變換順序進行，也就是說矩陣的乘法一般情況下不滿足交換律?！鱿鄬\動坐標系下的變換前面所有例子是相對固定坐標系而言的，那相對運動坐標系該作如何變換？一個原則：原來的左乘矩陣現(xiàn)在變?yōu)橛页司涂梢粤?。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎從例題（2.第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.6在例2-4中，已知條件一樣，但變換參照發(fā)生了以下變動，求出變換后該點在固定坐標系的坐標。1）首先繞zb軸旋轉90°角；2）然后分別沿xb、yb和zb軸平移1、0和0；3）最后繞xb軸旋轉90°角。解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.6第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圖形解驗證：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■圖形解驗證第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標逆變換正如2.2.1節(jié)所提及的逆矩陣在機器人坐標變換中有著十分重要的作用。根據方向余弦陣的性質可知，方向余弦陣為一正交陣，其轉置矩陣和逆矩陣是相等關系。如圖2-17，假設機器人要在零件P上鉆孔，則機器人末端執(zhí)行器必須向P處移動。一般情況下，機器人的基座是固定的，因此可用固定坐標系{o}來描述機器人基座，機器人末端執(zhí)行器用運動坐標系來描述，待加工零件用另一坐標系{p}來描述（一般情況下它相對固定坐標系{o}而言，其位姿也是已知的）。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標逆變換第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標逆變換待加工零件p的位置可通過兩條路徑來獲取：一條是直接通過固定坐標系{o}到待加工零件坐標系{p}，正如剛才而言，其在固定坐標系{o}內的位姿是已知的；另一條是從固定坐標系{o}變換到末端執(zhí)行器即運動坐標系，然后再從運動坐標系變換到待加工零件坐標系{p}。因此可寫出：引入逆矩陣：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■坐標逆變換第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.4機器人運動學機器人運動學涉及機器人相對于固定坐標系運動幾何學關系的分析和研究，而與產生該運動所需的力或力矩無關。這樣，運動學就涉及機器人空間位移作為時間函數的解析說明，特別是機器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關節(jié)變量之間的關系。運動學基本問題：⒈

對于一給定的機器人，已知桿件幾何參數和關節(jié)角向量，求機器人末端執(zhí)行器相對參考坐標系的位置和姿態(tài)。這類問題稱為運動學正問題（直接問題）。2.已知機器人桿件的幾何參數，給定了機器人末端執(zhí)行器相對參考坐標系的期望位置和姿態(tài)，求機器人各關節(jié)角向量，即機器人各關節(jié)要如何運動才能達到這個預期的位姿？如能達到，那么機器人有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件？這類問題稱為運動學逆問題（解臂形問題）。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.4機第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

由于機器人手臂的獨立變量是關節(jié)變量，但作業(yè)通常是用固定坐標系來描述的，所以常常碰到的是第二個問題，即機器人運動學逆問題。1955年Denavit和Hartenbe曾提出了一種采用矩陣代數方法，來描述機器人手臂桿件相對固定參考坐標系的空間幾何。這種方法使用4x4齊次變換矩陣來描述兩個相鄰的機械剛性構件間的空間幾何關系，把正向運動學問題簡化為尋求等價的4x4齊次變換矩陣，此矩陣把手部坐標系的空間位移與參考坐標系聯(lián)系起來，并且該矩陣還可用于推導手臂運動的動力學方程。而運動學逆向問題可采用如矩陣代數、迭代或幾何方法來解。

為了使問題簡單易懂，以兩自由度的機器人的手爪為例來說明。圖2-18所示為兩自由度機器人手部的連桿機構。由于其運動主要由各連桿機構來決定，所以在進行機器人運動學分析時，一般是把驅動器及減速器的元件去除后來分析。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎從幾何學的觀點來處理這個手指位置與關節(jié)變量的關系成為運動學。這里引入向量分別表示末端執(zhí)行器位置r和關節(jié)變量θ：末端執(zhí)行器位置的各分量，按幾何學可表示為：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎從幾何學的觀第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎用向量表示這個關系式，其一般可表示為：已知機器人的關節(jié)變量θ，求其末端執(zhí)行器位置r的運動學問題稱為正運動學。如果給定機器人末端執(zhí)行器位置r，為了達到這個預期的位姿，求機器人的關節(jié)變量θ的運動學問題稱為逆運動學。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎用向量表示這第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆運動學方程

要確定一個剛體在空間的位姿，需要在該剛體上固連一個坐標系（因剛體在空間需要按不同期望運動，因此該坐標系一般叫做運動坐標系），然后通過描述該坐標系的原點在固定坐標系的坐標位置（3個自由度）以及該坐標系相對固定坐標系的姿態(tài)（3個自由度），總共需要6個自由度或6個信息來完整定義或描述該剛體在固定坐標系的位姿。

同理，如果要確定機器人末端執(zhí)行器在空間的位姿，也必須在末端執(zhí)行器上固連一個坐標系來確定末端執(zhí)行器在空間的位姿，這正是機器人正運動學方程所要完成的任務。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎機器人實現(xiàn)這一過程主要由兩步來完成：1）首先在固定坐標系中首先移動機器人末端執(zhí)行器到達預定的位置，即先確定位置的正逆運動學方程；2）機器人末端執(zhí)行器到達指定位置后，然后調整末端執(zhí)行器姿態(tài)，以適應或滿足期望姿態(tài)，理論上機器人末端執(zhí)行器在固定坐標系的位姿與加工目標在固定坐標系的位姿完全一致，即確定姿態(tài)的正逆運動學方程。確定位置的正逆運動學方程需根據工業(yè)機器人不同的坐標構型來定，下面就探討幾種構型的情況。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎機器人實現(xiàn)這第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆運動學方程▲直角坐標系型在這種情況下，有3個沿xyz軸的線性運動，這一類型的機器人的所有驅動都是線性的（比如液壓油缸或線性動力絲杠），這時機器人末端執(zhí)行器通過3個線性關節(jié)分別沿3個軸的運動來完成。在直角坐標系中，表示機器人末端執(zhí)行器位置的正運動學變換矩陣為例2.7要求固連在直角坐標系型機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系的原點定位在固定坐標系上的點p=[3,4,5]T，試計算運動坐標系相對固定坐標系{o}所需要的移動量或各關節(jié)變量。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.7要求固連在直角坐標系型機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系的原點定位在固定坐標系上的點p=[3,4,5]T，試計算運動坐標系相對固定坐標系{o}所需要的移動量或各關節(jié)變量。解：寫出其正運動學變換矩陣由此矩陣可得到：dx=3、dy=4和dz=5第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.7要第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆運動學方程▲圓柱坐標系型圓柱坐標系包括3個關節(jié)變量，分別是兩個線性關節(jié)平移變量和一個旋轉關節(jié)變量。其坐標變換順序為：1）首先沿固定坐標系的x軸移動dx；2）然后繞固定坐標系的z軸旋轉γ角，3）最后沿固定坐標系的z軸移動dz。這三個坐標變換建立了機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系到固定坐標系之間的聯(lián)系關系。由于這三個變換都是相對固定坐標系的坐標軸的，因此由這3個變換所產生的總變換可通過依次左乘每個對應變換矩陣而求得：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.8假設要將圓柱坐標系型機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系原點放在[3,4,7]T，試計算該機器人的三個關節(jié)變量。解：dz=7和方程組求解此方程組：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.8假第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆運動學方程▲球坐標系型球坐標系包括3個關節(jié)變量，分別是1個線性關節(jié)平移變量和2個旋轉關節(jié)變量。其坐標變換順序為：1）首先沿固定坐標系的z軸移動dz；2）然后繞固定坐標系的y軸旋轉β角；3）最后繞固定坐標系的z軸旋轉γ角。這三個坐標變換建立了機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系到固定坐標系之間的聯(lián)系關系。由于這三個變換都是相對固定坐標系的坐標軸的，因此由這3個變換所產生的總變換可通過依次左乘每個對應變換矩陣而求得：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■位置的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.9假設要將球坐標系型機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系原點放在[3,4,7]T，試計算該機器人的三個關節(jié)變量。解：可得求解此方程組：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.9假第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■姿態(tài)的正逆運動學方程假設固連在機器人末端執(zhí)行器上的運動坐標系在直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系中已經運動到了我們期望的位置上，但它仍然平行于固定坐標系，或者說姿態(tài)不滿足使用要求。下一步工作正如前面分析的那樣，希望在不改變位置的情況下，適當地旋轉運動坐標系而使其達到期望的位姿。當然這時只能相對運動坐標系各個軸旋轉了，因為假設繞固定坐標系參考軸旋轉，那么最先運動到位的位置有可能發(fā)生改變。常見的繞運動坐標系的旋轉主要有：1）滾動角、俯仰角、偏航角2）歐拉角第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■姿態(tài)的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■姿態(tài)的正逆運動學方程▲滾動角、俯仰角、偏航角空中的戰(zhàn)斗機要完成各種攻擊任務，必須要參考飛機坐標系姿態(tài)實時進行調整改變，而不是參照大地坐標來進行姿態(tài)調整。定義：1、滾轉角Φα（又稱Roll，簡稱R）---繞圖示坐標系x軸旋轉；2、偏航角Φβ（又稱Yaw，簡稱Y）---繞圖示坐標y軸旋轉；3、俯仰角Φγ（又稱Pitch，簡稱P）---繞圖示坐標Z軸旋轉?，F(xiàn)假設按照PRY旋轉順序進行姿態(tài)調整，需要右乘所有PRY和其它旋轉所產生的與位姿改變有關的矩陣。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■姿態(tài)的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎上式僅表示機器人末端執(zhí)行器相對固定坐標系的姿態(tài)變化，不能反應出位置。該坐標系相對于固定坐標系的最終位姿是由機器人末端執(zhí)行器在固定坐標系的位置和機器人末端執(zhí)行器相對固定坐標系的姿態(tài)組成。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎上式僅表示機第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎根據機器人末端執(zhí)行器采取的坐標系型式不同，其最終位姿也有所不同，具體有以下三種：1）根據直角坐標系和PRY來設計的，那么機器人末端執(zhí)行器運動坐標系相對固定坐標系的最終位姿矩陣就為：2）根據圓柱坐標系和PRY來設計的，那么機器人末端執(zhí)行器運動坐標系相對固定坐標系的最終位姿矩陣就為：3）根據球坐標系和PRY來設計的，那么機器人末端執(zhí)行器運動坐標系相對固定坐標系的最終位姿矩陣就為：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎根據機器人末第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎一般情況下，機器人末端執(zhí)行器相對固定坐標系的位姿矩陣是已知的，而PRY角的值是未知的，也是需要求的關節(jié)變量?，F(xiàn)以直角坐標系和PRY組合方式求其逆運動學解。由式（2-17）可很方便寫出機器人末端執(zhí)行器相對固定坐標系的位姿矩陣：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎一般情況下，第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎上述矩陣為同型矩陣，且相等，那么它們對應的元素也必須相等。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎上述矩陣為同第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.10下面給出了一個直角坐標系+PRY型機器人手所期望的最終位姿，試求出所有關節(jié)變量。解：根據式（2-18）和式（2-19）式得第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.10第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■姿態(tài)的正逆運動學方程▲歐拉角空中的戰(zhàn)斗機要完成各種攻擊任務，必須要參考飛機坐標系姿態(tài)實時進行調整改變，而不是參照大地坐標來進行姿態(tài)調整。與PRY角不同，按照以下順序變換：1）首先繞圖示坐標系z軸旋轉角Φ；2）然后繞圖示坐標y軸旋轉角θ；3）最后繞圖示坐標z軸旋轉ψ，這樣的旋轉轉序稱為歐拉角旋轉。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎■姿態(tài)的正逆第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎根據機器人末端執(zhí)行器采取的坐標系型式不同，其最終位姿也有所不同，具體有以下三種：1）根據直角坐標系和歐拉角來設計的，那么機器人末端執(zhí)行器運動坐標系相對固定坐標系的最終位姿矩陣就為：2）根據圓柱坐標系和歐拉角來設計的，那么機器人末端執(zhí)行器運動坐標系相對固定坐標系的最終位姿矩陣就為：3）根據球坐標系和歐拉角來設計的，那么機器人末端執(zhí)行器運動坐標系相對固定坐標系的最終位姿矩陣就為：其坐標位姿矩陣的逆運動學解同PRY解法一樣，此處不再探討。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎根據機器人末第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎D-H法與正逆運動學方程D-H模型表示了對機器人連桿和關節(jié)進行建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機器人構型，而不管機器人的結構順序和復雜程度如何。它也可用于表示已經討論過的在任何坐標中的變換，例如直角坐標、圓柱坐標、球坐標、歐拉角坐標及RPY坐標等。另外，它也可以用于表示全旋轉的鏈式機器人、SCARA機器人或任何可能的關節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對機器人直接建模會更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好處，使用它已經開發(fā)了許多技術，例如，雅克比矩陣的計算和力分析等。假設機器人由一系列關節(jié)和連桿組成。這些關節(jié)可能是滑動（線性）的或旋轉（轉動）的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長度（包括零），它可能被彎曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一組關節(jié)和連桿都可以構成一個我們想要建模和表示的機器人。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎D-H法與正第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎D-H法定義：關節(jié)：第1個關節(jié)為n關節(jié)；第2個關節(jié)為關節(jié)n+1；第3個關節(jié)為關節(jié)n+2；在這些關節(jié)的前后可能還有其他關節(jié)。連桿：位于關節(jié)n與關節(jié)n+1之間的桿件為連桿n；位于關節(jié)n+1與關節(jié)n+2之間的桿件為連桿n+1；依次類推。坐標系：1）如果關節(jié)是旋轉副，那么z軸位于按右手定則規(guī)定的旋轉的方向；如果關節(jié)是移動副，那么z軸為沿直線運動的方向。在每種情況下，關節(jié)n處的z軸的編號為n-1；對于旋轉關節(jié)，其關節(jié)變量為θ；對于移動關節(jié)，其關節(jié)變量為d。2）通常關節(jié)不一定平行或相交，因此定義前后兩個z軸的公垂線為x軸，且x軸的指向為下一個z軸。3）y軸由右手定則和已定的z軸與x軸而定。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎D-H法定義第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎D-H法定義：坐標變換（目標：{n}系變換到{n+1}）繞zn軸旋轉θz-n+1，使得xn軸和xn+1軸互相平移；沿zn軸平移dz-n+1距離，使得xn軸和xn+1軸共線；沿xn軸平移dx-n+1距離，使得兩坐標系原點重合；將zn軸繞xn+1軸旋轉θx-n+1，使得zn軸和zn+1軸對準。表示前面4個運動變換的兩個依次坐標系之間的變換是4個運動變換矩陣的乘積，又因為是參照運動坐標系的，因此所有的變換矩陣都是右乘。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎D-H法定義第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.11對于如圖2-20所示的簡單2軸平面機器人，根據D-H表示法，建立必要的坐標系，填寫D-H參數表，導出該機器人的正運動學方程。解：根據坐標系有關對z軸和x軸的定義，在圖2-20上作出各關節(jié)坐標軸。再填寫D-H參數表2-2。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2.11第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎從0-2系的運動學方程就為：如果給定θ1、θ2、d1和d2的值，根據正運動學方程就可以求出機器人末端的位姿。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎從0-2系的第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎機器人微分運動與速度：再由矩陣求導公式，分別對上述方程的兩個變量θ1和θ2求微分，可得出：寫成矩陣形式為：顯然點P的位置微小變化就是點P的運動速度，在多自由度的機器人中，可用同樣的方法將關節(jié)的微分運動與手的微分運動結合起來。為了具有共性，式（2-20）還可寫為：表示機器人手繞x、y、z軸的微分旋轉表示雅可比矩陣。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎機器人微分運第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.坐標系的微分運動▲微分平移▲微分轉動微分旋轉是坐標系的微小旋轉，它通常用Rot(q,dθ)來表示，其含義是坐標系繞q軸旋轉一個角度dθ。因為旋轉量很小，根據微分理論有sindx=dx；cosdx=1。顯然，表示繞x、y、z軸的微分旋轉矩陣為第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.坐標系第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎機器人動力學：機器人的動力學研究物體的運動與受力之間的關系。機器人動力學方程是機器人機械系統(tǒng)的運動方程，它表示機器人各關節(jié)的關節(jié)位置、關節(jié)速度、關節(jié)加速度與各關節(jié)執(zhí)行器驅動力或力矩之間的關系。機器人的動力學有兩個相反的問題：一是已知機器人各關節(jié)執(zhí)行器的驅動力或力矩，求解機器人各關節(jié)的位置、速度、加速度，這是動力學正問題；二是已知各關節(jié)的位置、速度、加速度，求各關節(jié)所需的驅動力或力矩，這是動力學逆問題。機器人的動力學正問題主要用于機器人的運動仿真。例如在機器人設計時，需根據連桿質量、運動學和動力學參數、傳動機構特征及負載大小進行動態(tài)仿真，從而決定機器人的結構參數和傳動方案，驗算設計方案的合理性和可行性，以及結構優(yōu)化的程度；在機器人離線編程時，為了估計機器人高速運動引起的動載荷和路徑偏差，要進行路徑控制仿真和動態(tài)模型仿真。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎機器人動力學第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎研究機器人動力學逆問題的目的是為了對機器人的運動進行有效的實時控制，以實現(xiàn)預期的軌跡運動，并達到良好的動態(tài)性能和最優(yōu)指標。由于機器人是個復雜的動力學系統(tǒng)，由多個連桿和關節(jié)組成，具有多個輸入和輸出，存在著錯綜復雜的耦合關系和嚴重的非線性，所以動力學的實時計算很復雜，在實際控制時需要做一些簡化假設。目前研究機器人動力學的方法很多，由牛頓-歐拉方法、拉格朗日方法、阿貝爾方法和凱恩方法等，詳細內容可查閱相關書籍。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎研究機器人動

目錄第一章工業(yè)機器人概論第二章工業(yè)機器人的數學基礎第三章工業(yè)機器人的機械系統(tǒng)第四章工業(yè)機器人的動力系統(tǒng)第五章工業(yè)機器人的感知系統(tǒng)第六章工業(yè)機器人的控制系統(tǒng)第七章工業(yè)機器人編程與調試工業(yè)機器人技術基礎工業(yè)機器人技術基礎主要內容2.1矩陣及運算2.2坐標系及其關系描述2.3坐標變換2.4機器人運動學2.5機器人動力學工業(yè)機器人技術基礎第2章工業(yè)機器人的數學基礎主要內容工業(yè)機器人技術基礎第2章工業(yè)機器人的數學基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1矩陣及運算1.矩陣的定義定義1由mn個數aij（i=1，2，，m；j=1,2，，n），排成m行n列的數表：稱為m行n列矩陣，簡稱為mn矩陣。這mn個數稱為矩陣A的元素，aij叫做矩陣A的第i行第j列元素。元素是實數的矩陣叫做實矩陣，元素是復數的矩陣叫做復矩陣。本教程中的矩陣除特別說明外，都指實矩陣。通常用大寫的拉丁字母A、B、C等表示矩陣。有時為了指明矩陣的第i行第j列元素為aij，可將A記作A=(aij)mn或A=(aij)，也可將mn矩陣A記為Amn。當A的行數與列數相等時，稱A為n階方陣或n階矩陣。顯然，一階矩陣就是一個數。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1矩陣及運算只有一行的矩陣A=（a1，a2，，an）叫做行矩陣；只有一列的矩陣叫做列矩陣。兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們?yōu)橥途仃嚒Ｈ绻鸄=(aij)與B=(bij)是同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即

aij=bij

（i=1，2，，m；j=1，2，，n），那末就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B。元素都是零的矩陣，記作0。注意不同型的零矩陣是不同的。II幾種特殊矩陣a)對角矩陣(diagonalmatrix)，如下的矩陣稱為對角矩陣，記為diag（a11

,a22,a33……

ann）第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎2.1矩第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎b)數量矩陣(scalarmatrix)c)三角矩陣(triangularmatrix)上三角矩陣(uppertriangularmatrix)第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎b)數量矩第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎d)

對稱陣(symmetricmatrix）和反對稱陣(anti-symmetricmatrix)如果n階矩陣A=（aij）的元素滿足aij=aji（i，j=1，2，，n），則稱A為n階對稱矩陣，如如果n階矩陣A=（aij）的元素滿足aij=aji（i，j=1，2，，n），則稱A為n階反對稱矩陣。顯然，故aii=0（i=1，2，，n）如：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎d)

第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣的加法設有兩個mn的矩陣A=（aij），B＝（bij），則矩陣A和B的和記作A+B。即：III矩陣的運算易證，矩陣加法滿足下列運算規(guī)律（設A、B、C都是mn矩陣）：a)A+B=B+A；b)（A+B）+C=A+（B+C）。設矩陣A=（aij），記A=（aij），A稱為A的負矩陣，顯然有A+（A）=0。由此定義矩陣的減法運算為

AB=A+(-B)第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣相等條件：①矩陣要同階②對應元素相等滿足上述條件，矩陣就相等。如下述矩陣：III矩陣的運算第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲數與矩陣相乘數與矩陣A的乘積記作A或A，規(guī)定為易證，數乘矩陣滿足下列運算規(guī)律（設A、B為mn矩陣，、為數）：(i).

（）A=（A）；(ii).

（+）A=A+A；(iii).

（A+B）=A+B。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲數與矩陣相第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣與矩陣相乘設矩陣A=(aij)ms，B=(bij)sn，則矩陣A和矩陣B的乘積矩陣C=（cij）mn，其中

Cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj

（i=1，2，，m；j=1，2，，n）記作C=AB。對于矩陣的乘法需注意以下三點：第一，只有矩陣A的列數等于B的行數時，AB才有意義。第二，乘積C=（cij）mn的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的每一個元素與矩陣B的第j列的對應元素的乘積之和。第三，乘積C的行數等于矩陣A的行數，列數等于矩陣B的列數。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣與矩陣第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例1求AB和BA。其中解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例1求第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2求AB和BA。其中解：第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎例2求第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

在上述兩個例子中都有ABBA，即矩陣乘法不滿足乘法交換律，為此將AB稱為用A左乘B，而將BA稱為A右乘以B。還應注意到在例5中：A，B均為非零矩陣，但AB卻為零矩陣。由定義可以驗證矩陣的乘法滿足以下運算規(guī)律：（假設運算都是可行的）(i).

結合律：（AB）C=A（BC）；(ii).

左分配律：A（B+C）=AB+AC；(iii).

右分配律：（B+C）A=BA+CA；(iv).

（AB）=（A）B=A（B）。（為常數）對于單位矩陣E,容易驗證EmAmn=Amn

，AmnEn=Amn。有了矩陣的乘法，就可以定義n階方陣的冪。設A是n階方陣，定義A1=A，A2=A1A1，，Ak+1=AkA1

，其中k為正整數。這就是說，Ak就是k個A相乘。顯然，只有方陣的冪才有意義。由于矩陣乘法適合結合律，所以方陣的冪滿足以下運算規(guī)律：

AA=A+

，(A)=A

不過，一般(AB)kAkBk。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎在上述第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲矩陣的轉置把矩陣A=(aij)m×n的行換成同序數的列所得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣(transpose)，記作A

或AT。顯然，A=(aji)n×m矩陣的轉置也是一種運算，易證它滿足下述運算規(guī)律（假設運算都是可行的）：

(i)

(A)=A；

(ii)

(A+B)=A+B

；

(iii)(A)=A

；

(iv)(AB)=BA

。第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎▲矩陣的轉第二章工業(yè)機器人的數學基礎工業(yè)機器人技術基礎

▲方陣的行列式

由n階方陣A的元素按原來位置不變所構成的行列式（各元素的位置不變），叫做方陣A的行列式，記作|A|或detA。設A為n階方陣，如果|A|≠0，則稱

為非奇異矩陣；如果|A|=0，則稱

為奇異矩陣。

由方陣A確定行列式|A|的運算滿足下述運算規(guī)律（設A，B為n階方陣，為數）：

(i).

|A|=|A|（行列式性質1）；

(ii).

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