Part2-第11章-橋梁結構幾何非線性計算理論課件

橋梁結構幾何非線性同濟大學橋梁工程系大跨度橋梁研究室第十一章計算理論橋梁結構幾何非線性同濟大學橋梁工程系第十一章計算理論1概述2橋梁結構幾何非線性分析的有限元方法3橋梁結構分析常用單元的切線剛度矩陣4橋梁結構幾何非線性分析若干問題的討論5非線性方程的求解6算例7小結第十一章橋梁結構幾何非線性計算理論本章主要內容1概述第十一章橋梁結構幾何非線性計算理論本章主要內容1概述二十世紀中葉，奠定了非線性力學的理論基礎由于計算繁復，許多非線性微分方程的邊值問題無法求解用解析法解決非線性工程問題仍顯得無能為力二十世紀六十年代末，有限元法與計算機相結合，才使工程中的非線性問題逐步得以解決1概述二十世紀中葉，奠定了非線性力學的理論基礎由于計算繁復固體力學中有三組基本方程——本構方程、幾何運動方程和平衡方程1.1非線性問題及其分類本構方程（廣義胡克定律）

——應力與應變的關系固體力學中有三組基本方程——1.1非線性問題及其分類本構方固體力學中有三組基本方程——本構方程、幾何運動方程和平衡方程1.1非線性問題及其分類(續(xù))幾何方程——位移與應變的關系固體力學中有三組基本方程——1.1非線性問題及其分類(續(xù))固體力學中有三組基本方程——本構方程、幾何運動方程和平衡方程1.1非線性問題及其分類(續(xù))平衡方程——點的應力狀態(tài)固體力學中有三組基本方程——1.1非線性問題及其分類(續(xù))經典線性理論基于三個基本假定，這些假定使得三組基本方程成為線性

1.1非線性問題及其分類(續(xù))材料的應力、應變關系滿足廣義虎克定律位移是微小的約束是理想約束不滿足其中任何一個假定，就轉化為非線性問題

經典線性理論基于三個基本假定，這些假定使得三組基本方程成為線1.1

非線性問題及其分類(續(xù))1.1非線性問題及其分類(續(xù))幾何非線性理論將平衡方程建立在結構變形后位置上任何結構的平衡只有在其變形后的位置上滿足，才是真實意義上平衡的一般結構的平衡狀態(tài)不因變形而發(fā)生明顯改變,線性理論才得以廣泛應用1.2幾何非線性問題幾何非線性理論將平衡方程建立在結構變形后位置上1.2幾何非按線性理論求解無法找到平衡位置按幾何非線性分析方法求解，可以找到平衡位置B’，即為B點位移的解受力狀態(tài)因變形而發(fā)生明顯改變時，就必須用幾何非線性方法進行分析幾何非線性理論一般可以分成大位移小應變即有限位移理論和大位移、大應變理論，即有限應變理論兩種橋梁工程中的幾何非線性問題一般都是有限位移問題1.2幾何非線性問題(續(xù))PBACB’P按線性理論求解無法找到平衡位置1.2幾何非線性問題(續(xù))P1888年，Melan在懸索橋結構分析中提出了撓度理論考慮主纜拉力二階影響將平衡方程建立在變形后的位置上忽略了吊桿伸長、結構水平位移及加勁梁剪切變形的影響撓度理論從1908年開始應用于紐約的Manhattan大橋設計，大大節(jié)省了工程造價，充分顯示了它的優(yōu)越性此后的數十年中，撓度理論為懸索橋和大跨徑拱橋的發(fā)展作出了巨大貢獻1.3橋梁結構中的幾何非線性研究1888年，Melan在懸索橋結構分析中提出了撓度理論1.3撓度理論平衡微分方程的求解仍是十分復雜的Timoshenko于1928年提出了三角級數解Godard通過忽略后期荷載對結構剛度的影響提出了線性撓度理論我國李國豪教授于1941年提出了用于懸索橋分析的等代梁法將撓度理論中的非線性項等代于偏心受拉梁的彎矩減小系數揭示了懸索橋受力的本質1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))撓度理論平衡微分方程的求解仍是十分復雜的1.3橋梁結構中1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析撓度折減系數與橋梁柔度關系圖加勁梁撓度1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析加勁梁彎矩和剪力折減系數圖加勁梁彎矩和剪力1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析Hp影響線影響線1—一階理論；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0Q影響線1/41.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析影響線1—一階理論；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0位移η影響線（×10）

1/4-7M影響線1/41.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析楊浦大橋160+580+160m懸索橋方案主跨包絡圖（1—一階理論；2—二階理論）彎矩包絡圖1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析楊浦大橋160+580+160m懸索橋方案主跨包絡圖（1—一階理論；2—二階理論）剪力包絡圖1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析楊浦大橋160+580+160m懸索橋方案主跨包絡圖（1—一階理論；2—二階理論）撓度包絡圖1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理現代橋梁工程的發(fā)展和跨徑的增大使得結構柔且復雜結構分析中梁柱效應、索的伸長、結構水平位移及后期荷載的二階影響變得不可忽略對各種復雜結構，建立非線性平衡微分方程及其求解也越來越困難六十年代初，Brotton等發(fā)表求解結構大位移、初應力問題的研究成果這些理論方法都可歸入幾何非線性力學的有限位移理論

1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))現代橋梁工程的發(fā)展和跨徑的增大使得結構柔且復雜1.3橋梁結1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線性平衡方程，一般考慮三方面因素的幾何非線性效應1）單元初內力對單元剛度矩陣的影響一般指單元軸力對彎曲剛度的影響有時也考慮彎矩對軸向剛度的影響常通過引入穩(wěn)定函數或單元幾何剛度矩陣的方法來考慮1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線性平衡方程，一般考慮三方面因素的幾何非線性效應2）大位移對建立結構平衡方程的影響T.L列式法將參考座標選在未變形的結構上，通過引入大位移單元剛度矩陣來考慮大位移問題U.L列式法將參考座標選在變形后的位置上，讓節(jié)點座標跟隨結構一起變化，從而使平衡方程直接建立在變形后的位置上1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線性平衡方程，一般考慮三方面因素的幾何非線性效應3）由索垂度引起的單元剛度變化引入Ernst公式，通過等效模量法近似修正垂度效應導出索元切線剛度矩陣，用索單元直接描述索類構件1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線目前，有限位移理論一般用有限元方法來求解七十年代未，國外相繼推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等結構分析綜合程序可用于橋梁結構的部分非線性計算和局部應力分析但無法完整地完成橋梁設計計算國內學者根據規(guī)范要求和實際情況，開發(fā)了橋梁通用程序同濟大學橋梁系開發(fā)的BAP系統(tǒng)交通部公規(guī)院開發(fā)的QJS系統(tǒng)有的已具備非線性計算功能1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))目前，有限位移理論一般用有限元方法來求解1.3橋梁結構中的2.1變形體的運動描述變形體在空間都占據一定的區(qū)域，構成一定的形狀，這種幾何形狀簡稱為構形物體在問題求解開始時的構形稱為初始構形，在任一瞬時的構形稱為現時構形，物體位移的改變叫運動物體中一點0P，在t=0t時坐標為（0x1,0x2,0x3）2.橋梁幾何非線性分析的有限元方法運動狀態(tài)的描述方法：獨立變量為0xi(i=1,2,3)和0t即給出任意時刻物體中各質點的位置1)物質描述2.1變形體的運動描述2.橋梁幾何非線性分析的有限元方法運動2.1變形體的運動描述獨立變量為質點Ｐ的當前坐標與時刻t——拉格朗日法選擇t=0時的構形為參照時，稱為總體拉格朗日描述(T.L列式)2)參照描述以nt為獨立變量，取nt為非線性增量求解時增量步的開始時刻，稱為更新的拉格朗日描述(U.L列式)3)相關描述獨立變量是質點Ｐ當前的位置n+1x與時間n+1t——歐拉描述4)空間描述下面介紹T.L列式和U.L列式2.1變形體的運動描述獨立變量為質點Ｐ的當前坐標與時刻t——在整個分析過程中，以t=0時的構形作為參考，且參考位形保持不變增量形式T.L列式的單元平衡方程：2.2總體拉格朗日列式法(TotalLagrangianFormulation)看看推導吧！——單元切線剛度矩陣，表示荷載增量與位移增量之間的關系；——單元彈性剛度矩陣，與單元節(jié)點位移無關；——單元初位移剛度矩陣，由大位移引起的結構剛度變化；——初應力剛度矩陣(幾何剛度矩陣)，表示初應力對結構剛度的影響在整個分析過程中，以t=0時的構形作為參考，且參考位形保持不將各單元切線剛度方程按節(jié)點力平衡條件組集成結構增量剛度方程，即有：

2.2總體拉格朗日列式法(續(xù))(TotalLagrangianFormulation)式中：0[K()]T為結構切線剛度矩陣;d{P}為荷載增量。荷載增量一般取為有限值而不可能取成微分形式在計算中，一般通過迭代法來求解

2.2總體拉格朗日列式法(續(xù))式中：0[K()]T為結構以最后一個已知平衡狀態(tài)為參照構形，這種列式法稱為更新的拉格朗日列式法(U.L列式)與T.L列式的一個重要區(qū)別:t[k]L的積分式是t[k]0的一階或二階小量,因此，代表[k]L的積分式可以略去增量形式的U.L列式平衡方程可寫成:2.3

更新的拉格朗日列式法(U.L列式)以最后一個已知平衡狀態(tài)為參照構形，這種列式法稱為更新的拉格朗相同點——

相同的荷載增量步內,其線性化的切線剛度矩陣相同不同點——2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍相同點——2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍適用范圍——從理論上講，這兩種方法都可以用于各種幾何非線性分析一般情況下，T.L列式適用于大位移、中等轉角和小應變的幾何非線性問題U.L列式除了適應于上述問題外，還適用于非線性大應變分析、彈塑性、徐變分析，可以追蹤變形過程的應力變化目前，國內使用的橋梁非線性分析程序，一般都采用U.L列式方法2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍適用范圍——2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍總體拉格朗日列式法推導過程[B]矩陣可分解為與桿端位移無關的部分[B0]和與桿端位移有關的部分[BL]兩部分，即：[B]=[B0]+[BL](11－3)全量列式法桿系單元的平衡方程可由虛功原理得到：總體拉格朗日列式法推導過程[B]矩陣可分解為與桿端位移無關的增量列式法：總體拉格朗日列式法推導過程增量列式法：總體拉格朗日列式法推導過程由前面討論可知:T.L列式下單元切線剛度陣可分為三個部分，即彈性剛度陣0[k]0、初位移剛度陣0[k]L和幾何剛度陣0[k]而U.L列式下單元切線剛度陣只有t[k]0和t[k]兩部分本節(jié)進一步討論橋梁結構分析中常用單元切線剛度陣的具體表達形式3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣由前面討論可知:3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣(續(xù))推導非線性剛度方程的一般方法建立應變與位移的非線性關系即幾何方程；將形函數代入幾何方程得到應變矩陣:[B]=[B]0+[BL]；代入各式即可求得相應剛度矩陣。3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣(續(xù))推導非線性剛度方程的3.1平面桁架單元圖11.3所示的桁架單元ij，桿長為l，截面積為A，在外荷載作用下，i、j端發(fā)生了位移3.1平面桁架單元3.1平面桁架單元(續(xù))單元應變與節(jié)點位移的關系矩陣：

(11－2)

3.1平面桁架單元(續(xù))單元應變與節(jié)點位移的關系矩陣：3.1平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1

平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1

平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1

平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))由此說明:T.L和U.L列式的單元切線剛度矩陣具有等價性T.L列式下單元初位移矩陣的實質是讓單元在變形后的位置上發(fā)揮其作用，以滿足平衡方程必須建立在結構變形后位置上這一重要條件U.L列式則通過節(jié)點坐標的不斷遷移來實現平衡方程必須建立在結構變形后位置上這一目標3.1

平面桁架單元(續(xù))由此說明:3.1平面桁架單元(續(xù))柔索的特點：抗彎剛度小索的自重對結構平衡影響不可忽略用拉壓桿模擬柔索會引起誤差有必要建立柔索單元的剛度方程3.2平面柔索單元為討論方便，且不影響計算精度，作如下假定：1)柔索僅能承受張力而不承受彎曲內力（抗彎剛度為0）2)柔索僅受索端集中力和沿索長均勻分布的荷載作用，荷載合力效應為q3)柔索材料符合虎克定律4)局部座標系取在柔索荷載合力平面內3.2平面柔索單元為討論方便，且不影響計算精度，作如下假考察圖11.5中所示柔索，無應力索長為S0，索的荷載集度q向下為正。3.2平面柔索單元(續(xù))考察圖11.5中所示柔索，無應力索長為S0，索的荷載集度q向（A、B、C為桿端力的函數）在索端平衡力已知的情況下，可直接計算柔索切線剛度矩陣3.2平面柔索單元(續(xù))（A、B、C為桿端力的函數）3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))而用直桿代替柔索計算只是常用的近似方法柔索的垂度效應可用Ernst公式對彈性模量進行修正這種方法在小位移、高應力水平下，具有較高精度如果索工作在大位移狀態(tài)或應力水平不高的情況下，用Ernst公式就會出現很大的誤差3.2平面柔索單元(續(xù))而用直桿代替柔索計算只是常用的近似方法3.2平面柔索單元U.L列式下的單元切線剛度矩3.3平面梁單元U.L列式下的單元切線剛度矩3.3平面梁單元4.橋梁結構幾何非線性分析特殊問題的討論4.1穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣問題：非線性分析時可能有許多剛度矩陣表達形式，如何選用？思路：對比穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣元素之間的區(qū)別和聯系如下圖所示壓桿的M、Q和位移為正，其撓曲平衡微分方程為：

(11－50)4.橋梁結構幾何非線性分析特殊問題的討論4.1穩(wěn)定函數與幾4.1

穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))c為力矩作用端的角變形，s為另一端的角變形，均是γ的函數：

4.1穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))c為力矩作用端的角變形，4.1

穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))以穩(wěn)定函數表達的剛度系數包含了軸力對彎曲剛度的影響，相當于前面切線剛度陣中彈性剛度系數與幾何剛度系數之和

4.1穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))以穩(wěn)定函數表達的剛度系數幾何剛度陣系數就是穩(wěn)定函數忽略高階項的軸力影響系數當>3時，隨著的增大，幾何剛度矩陣的誤差也增大但由于與l成正比，有限元分析中只要減小單元長度，就可避免使用幾何剛度陣產生的這種誤差4.1

穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))幾何剛度陣系數就是穩(wěn)定函數忽略高階項的軸力影響系數4.1穩(wěn)在桿件微段上，彎曲引起的桿件軸線計算長度的改變量為： (11－63) (11－64)

(11－65)在外力作用下，桿件總的縮短量為：

(11－66)

因此(11－67)

式中：彎矩引起的軸向剛度修正系數，是桿兩端彎矩和軸力的函數

彎矩對軸向剛度的影響較小，一般可以不用考慮4.2

彎矩對軸向剛度的影響在桿件微段上，彎曲引起的桿件軸線計算長度的改變量為：4非線性狀態(tài)下荷載最不利加載區(qū)域稱為影響區(qū)活載幾何非線性分析，會遇到如下問題：線性疊加原理失效無法再用傳統(tǒng)的影響線加載法進行活載分析確定影響區(qū)本身是一個非線性問題僅用恒載初始狀態(tài)計算活載，會帶來影響區(qū)范圍改變和不正確載位引起的誤差單位強迫變位產生的等效力很大用機動法求解影響區(qū)將破壞指定狀態(tài)結構影響區(qū)的真實形狀4.3

活載的幾何非線性分析非線性狀態(tài)下荷載最不利加載區(qū)域稱為影響區(qū)4.3活載的幾何非1)將結構恒載受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，計算出初始影響函數2)用動態(tài)規(guī)劃加載法，找出最不利加載位置，并作好記錄3)以恒載受力狀態(tài)為計算初態(tài)，將活載按最不利載位一次性作用于結構，分析恒、活載共同作用下的結構受力狀態(tài)和關心截面力學量4)將恒、活載共同作用下的結構狀態(tài)作為求解下一步影響區(qū)函數新的初態(tài)，重復1)～3)的計算，經過數次迭代計算得到活載作用下關心力學量的最值求解活載影響區(qū)可用機動法但單位強迫變位應取用一個很小的數(如10-5），以保證確定的影響區(qū)不失真，使動態(tài)規(guī)劃法找到的載位即為相應內力狀態(tài)下的最不利載位4.3

活載的幾何非線性分析(續(xù))活載幾何非線性分析，可按以下步驟計算：1)將結構恒載受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，計算出初始影響函數4.3在設計和施工計算中，常常需要對某些結構參數進行調整通過關心截面內力、位移、應力調值計算來解決一般情況下，要使關心截面中n個獨立參量調整為指定值，就必須改變施調截面中的n個獨立參量4.4

幾何非線性調值計算當幾何非線性表現突出時，基于線性疊加原理的調值計算方法無法直接用于非線性結構的計算下面討論計入幾何非線性影響的調值計算求解策略在設計和施工計算中，常常需要對某些結構參數進行調整4.4幾4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))4.4幾何非線性調值計算(續(xù))4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))但當受調向量為內力時，將內力元素的影響向量用相應位置和方向上桿件的單位強迫變形影響向量來代替4.4幾何非線性調值計算(續(xù))但當受調向量為內力時，將內力4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))4.4幾何非線性調值計算(續(xù))4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))4.4幾何非線性調值計算(續(xù))5.非線性方程的求解5.1求解方法概述結構非線性控制方程是一組非線性代數方程下面是幾種常用的求解方法1)直接求解法（11-80）當設定位移向量{}的初值{}后，改進的近似解可由下式得到：迭代過程

5.非線性方程的求解5.1求解方法概述結構非線性控制方程是5.1

求解方法概述(續(xù))1)直接求解法直接迭代法應用簡單，運算速度一般較快，可應用于具有輕微非線性的問題求解過程的成功與否很大程度上取決于對初值位移{}的正確估計。圖(b)表示的是直接迭代法迭代過程發(fā)散時的情形為改善收斂性和收斂速度，可以采用將荷載分成若干級的做法5.1求解方法概述(續(xù))1)直接求解法直接迭代法應用簡單2)增量法將整個荷載變形過程劃分為一連串增量段，每一增量段中結構的荷載響應被近似地線性化將每一級增量荷載下求得的狀態(tài)變量視作結構平衡狀態(tài)，計算相應的切線剛度陣，進而作下一級荷載計算，并不斷累加其位移增量每一級荷載作用前結構并未精確地到達平衡位置，誤差會逐漸累積無法修正為了保證計算精度，常常將增量區(qū)間劃分得相當小5.1

求解方法概述(續(xù))2)增量法每一級荷載作用前結構并未精確地到達平衡位3）增量法改進將不平衡力作為一種修正荷載并入下一級荷載增量具有較高的求解速度，比簡單增量法的計算精度高在求解塑性問題時得到廣泛的應用

5.1

求解方法概述(續(xù))3）增量法改進5.1求解方法概述(續(xù))5.2

Newton-Raphson法5.2Newton-Raphson法5.2

Newton-Raphson法(續(xù))5.2Newton-Raphson法(續(xù))5.2

Newton-Raphson法(續(xù))N·R法M·N·R法

5.2Newton-Raphson法(續(xù))N·R法圖11.16法和法迭代流程圖

5.2

Newton-Raphson法(續(xù))編程時可以混合使用兩種方法

圖11.16法和法迭代流程在迭代計算中，為了中止迭代過程，必須確定一個收斂標準在實際應用中，可以從結構的不平衡力向量和位移增量向量兩方面來判斷迭代計算的斂散性節(jié)點力和位移都是向量，其大小一般用該向量的范數來表示

5.3

收斂準則在迭代計算中，為了中止迭代過程，必須確定一個收斂標準5.35.3

收斂準則(續(xù))5.3收斂準則(續(xù))位移準則——取位移增量為衡量收斂標準的準則，若滿足下列條件就認為迭代收斂：

平衡力準則——取不平衡結點力為衡量收斂標準，若滿足下列條件就認為迭代收斂：

5.3

收斂準則(續(xù))位移準則——取位移增量為衡量收斂標準的準則，若滿足下列條件就在用平衡力準則時，取比較好。在用位移準則時，取更為方便。在非線性比較嚴重的問題中，用位移準則更合適有的學者還用能量作為收斂標準，綜合了力與位移兩個方面，但要增加更多的計算量。

5.3

收斂準則(續(xù))選取方法：在用平衡力準則時，取比較好。5.3收斂準則(續(xù))選取6.算例例：圖11.17結構在圖示荷載作用下桿件材料仍將處在線彈性工作階段，彈性模量E=2.0×104kN/cm2，桿件的橫截面積A=4cm2。試采用帶有一階自校正的增量法和Newton-Raphson方法對其進行幾何非線性分析。

6.算例例：圖11.17結構在圖示荷載作用下桿件材料仍將處在6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))1)帶有一階自校正的增量法。

6.算例(續(xù))1)帶有一階自校正的增量法。6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))由表11－3可以看出：本例采用一階自校正的增量法所得節(jié)點位移和桿件軸向力分別比精確值大5.32%和8.28%，比采用簡單增量法(相應誤差分別為24.32%和40.31%)有很大的改善。利用一階自校正的增量法可以得到比較精確的荷載－變位曲線，而且計算工作量不大，因此一階自校正增量法很合適于求解塑性問題等路徑有關的非線性問題。一階自校正增量法要求在荷載－變位反應非線性程度較大的區(qū)段采用較小的增量步。6.算例(續(xù))由表11－3可以看出：6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))6.算例(續(xù))本章介紹了橋梁結構非線性問題的分類及幾何非線性分析理論的發(fā)展過程通過變形體的運動描述，介紹了總體拉格朗日列式法和更新的拉格朗日列式法求解非線性問題的思想及其異同和適用范圍通過平面桁架單元的切線剛度矩陣的推導，說明了TL列式與UL列式兩者的統(tǒng)一性討論了穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣關系、彎矩對軸向剛度的影響、活載幾何非線性分析方法、幾何非線性調值計算方法等橋梁結構幾何非線性分析中的特殊問題最后，給出了非線性方程的求解和收斂準則的確定方法7.小結6.算例本章介紹了橋梁結構非線性問題的分類及幾何非線性分析理論的發(fā)展

習題習題橋梁結構幾何非線性同濟大學橋梁工程系大跨度橋梁研究室第十一章計算理論橋梁結構幾何非線性同濟大學橋梁工程系第十一章計算理論1概述2橋梁結構幾何非線性分析的有限元方法3橋梁結構分析常用單元的切線剛度矩陣4橋梁結構幾何非線性分析若干問題的討論5非線性方程的求解6算例7小結第十一章橋梁結構幾何非線性計算理論本章主要內容1概述第十一章橋梁結構幾何非線性計算理論本章主要內容1概述二十世紀中葉，奠定了非線性力學的理論基礎由于計算繁復，許多非線性微分方程的邊值問題無法求解用解析法解決非線性工程問題仍顯得無能為力二十世紀六十年代末，有限元法與計算機相結合，才使工程中的非線性問題逐步得以解決1概述二十世紀中葉，奠定了非線性力學的理論基礎由于計算繁復固體力學中有三組基本方程——本構方程、幾何運動方程和平衡方程1.1非線性問題及其分類本構方程（廣義胡克定律）

——應力與應變的關系固體力學中有三組基本方程——1.1非線性問題及其分類本構方固體力學中有三組基本方程——本構方程、幾何運動方程和平衡方程1.1非線性問題及其分類(續(xù))幾何方程——位移與應變的關系固體力學中有三組基本方程——1.1非線性問題及其分類(續(xù))固體力學中有三組基本方程——本構方程、幾何運動方程和平衡方程1.1非線性問題及其分類(續(xù))平衡方程——點的應力狀態(tài)固體力學中有三組基本方程——1.1非線性問題及其分類(續(xù))經典線性理論基于三個基本假定，這些假定使得三組基本方程成為線性

1.1非線性問題及其分類(續(xù))材料的應力、應變關系滿足廣義虎克定律位移是微小的約束是理想約束不滿足其中任何一個假定，就轉化為非線性問題

經典線性理論基于三個基本假定，這些假定使得三組基本方程成為線1.1

非線性問題及其分類(續(xù))1.1非線性問題及其分類(續(xù))幾何非線性理論將平衡方程建立在結構變形后位置上任何結構的平衡只有在其變形后的位置上滿足，才是真實意義上平衡的一般結構的平衡狀態(tài)不因變形而發(fā)生明顯改變,線性理論才得以廣泛應用1.2幾何非線性問題幾何非線性理論將平衡方程建立在結構變形后位置上1.2幾何非按線性理論求解無法找到平衡位置按幾何非線性分析方法求解，可以找到平衡位置B’，即為B點位移的解受力狀態(tài)因變形而發(fā)生明顯改變時，就必須用幾何非線性方法進行分析幾何非線性理論一般可以分成大位移小應變即有限位移理論和大位移、大應變理論，即有限應變理論兩種橋梁工程中的幾何非線性問題一般都是有限位移問題1.2幾何非線性問題(續(xù))PBACB’P按線性理論求解無法找到平衡位置1.2幾何非線性問題(續(xù))P1888年，Melan在懸索橋結構分析中提出了撓度理論考慮主纜拉力二階影響將平衡方程建立在變形后的位置上忽略了吊桿伸長、結構水平位移及加勁梁剪切變形的影響撓度理論從1908年開始應用于紐約的Manhattan大橋設計，大大節(jié)省了工程造價，充分顯示了它的優(yōu)越性此后的數十年中，撓度理論為懸索橋和大跨徑拱橋的發(fā)展作出了巨大貢獻1.3橋梁結構中的幾何非線性研究1888年，Melan在懸索橋結構分析中提出了撓度理論1.3撓度理論平衡微分方程的求解仍是十分復雜的Timoshenko于1928年提出了三角級數解Godard通過忽略后期荷載對結構剛度的影響提出了線性撓度理論我國李國豪教授于1941年提出了用于懸索橋分析的等代梁法將撓度理論中的非線性項等代于偏心受拉梁的彎矩減小系數揭示了懸索橋受力的本質1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))撓度理論平衡微分方程的求解仍是十分復雜的1.3橋梁結構中1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析撓度折減系數與橋梁柔度關系圖加勁梁撓度1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析加勁梁彎矩和剪力折減系數圖加勁梁彎矩和剪力1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析Hp影響線影響線1—一階理論；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0Q影響線1/41.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析影響線1—一階理論；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0位移η影響線（×10）

1/4-7M影響線1/41.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析楊浦大橋160+580+160m懸索橋方案主跨包絡圖（1—一階理論；2—二階理論）彎矩包絡圖1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析楊浦大橋160+580+160m懸索橋方案主跨包絡圖（1—一階理論；2—二階理論）剪力包絡圖1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理1.3

橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理論對比分析楊浦大橋160+580+160m懸索橋方案主跨包絡圖（1—一階理論；2—二階理論）撓度包絡圖1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))懸索橋一階和二階理現代橋梁工程的發(fā)展和跨徑的增大使得結構柔且復雜結構分析中梁柱效應、索的伸長、結構水平位移及后期荷載的二階影響變得不可忽略對各種復雜結構，建立非線性平衡微分方程及其求解也越來越困難六十年代初，Brotton等發(fā)表求解結構大位移、初應力問題的研究成果這些理論方法都可歸入幾何非線性力學的有限位移理論

1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))現代橋梁工程的發(fā)展和跨徑的增大使得結構柔且復雜1.3橋梁結1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線性平衡方程，一般考慮三方面因素的幾何非線性效應1）單元初內力對單元剛度矩陣的影響一般指單元軸力對彎曲剛度的影響有時也考慮彎矩對軸向剛度的影響常通過引入穩(wěn)定函數或單元幾何剛度矩陣的方法來考慮1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線性平衡方程，一般考慮三方面因素的幾何非線性效應2）大位移對建立結構平衡方程的影響T.L列式法將參考座標選在未變形的結構上，通過引入大位移單元剛度矩陣來考慮大位移問題U.L列式法將參考座標選在變形后的位置上，讓節(jié)點座標跟隨結構一起變化，從而使平衡方程直接建立在變形后的位置上1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線性平衡方程，一般考慮三方面因素的幾何非線性效應3）由索垂度引起的單元剛度變化引入Ernst公式，通過等效模量法近似修正垂度效應導出索元切線剛度矩陣，用索單元直接描述索類構件1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))建立桿系結構幾何非線目前，有限位移理論一般用有限元方法來求解七十年代未，國外相繼推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等結構分析綜合程序可用于橋梁結構的部分非線性計算和局部應力分析但無法完整地完成橋梁設計計算國內學者根據規(guī)范要求和實際情況，開發(fā)了橋梁通用程序同濟大學橋梁系開發(fā)的BAP系統(tǒng)交通部公規(guī)院開發(fā)的QJS系統(tǒng)有的已具備非線性計算功能1.3橋梁結構中的幾何非線性研究(續(xù))目前，有限位移理論一般用有限元方法來求解1.3橋梁結構中的2.1變形體的運動描述變形體在空間都占據一定的區(qū)域，構成一定的形狀，這種幾何形狀簡稱為構形物體在問題求解開始時的構形稱為初始構形，在任一瞬時的構形稱為現時構形，物體位移的改變叫運動物體中一點0P，在t=0t時坐標為（0x1,0x2,0x3）2.橋梁幾何非線性分析的有限元方法運動狀態(tài)的描述方法：獨立變量為0xi(i=1,2,3)和0t即給出任意時刻物體中各質點的位置1)物質描述2.1變形體的運動描述2.橋梁幾何非線性分析的有限元方法運動2.1變形體的運動描述獨立變量為質點Ｐ的當前坐標與時刻t——拉格朗日法選擇t=0時的構形為參照時，稱為總體拉格朗日描述(T.L列式)2)參照描述以nt為獨立變量，取nt為非線性增量求解時增量步的開始時刻，稱為更新的拉格朗日描述(U.L列式)3)相關描述獨立變量是質點Ｐ當前的位置n+1x與時間n+1t——歐拉描述4)空間描述下面介紹T.L列式和U.L列式2.1變形體的運動描述獨立變量為質點Ｐ的當前坐標與時刻t——在整個分析過程中，以t=0時的構形作為參考，且參考位形保持不變增量形式T.L列式的單元平衡方程：2.2總體拉格朗日列式法(TotalLagrangianFormulation)看看推導吧！——單元切線剛度矩陣，表示荷載增量與位移增量之間的關系；——單元彈性剛度矩陣，與單元節(jié)點位移無關；——單元初位移剛度矩陣，由大位移引起的結構剛度變化；——初應力剛度矩陣(幾何剛度矩陣)，表示初應力對結構剛度的影響在整個分析過程中，以t=0時的構形作為參考，且參考位形保持不將各單元切線剛度方程按節(jié)點力平衡條件組集成結構增量剛度方程，即有：

2.2總體拉格朗日列式法(續(xù))(TotalLagrangianFormulation)式中：0[K()]T為結構切線剛度矩陣;d{P}為荷載增量。荷載增量一般取為有限值而不可能取成微分形式在計算中，一般通過迭代法來求解

2.2總體拉格朗日列式法(續(xù))式中：0[K()]T為結構以最后一個已知平衡狀態(tài)為參照構形，這種列式法稱為更新的拉格朗日列式法(U.L列式)與T.L列式的一個重要區(qū)別:t[k]L的積分式是t[k]0的一階或二階小量,因此，代表[k]L的積分式可以略去增量形式的U.L列式平衡方程可寫成:2.3

更新的拉格朗日列式法(U.L列式)以最后一個已知平衡狀態(tài)為參照構形，這種列式法稱為更新的拉格朗相同點——

相同的荷載增量步內,其線性化的切線剛度矩陣相同不同點——2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍相同點——2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍適用范圍——從理論上講，這兩種方法都可以用于各種幾何非線性分析一般情況下，T.L列式適用于大位移、中等轉角和小應變的幾何非線性問題U.L列式除了適應于上述問題外，還適用于非線性大應變分析、彈塑性、徐變分析，可以追蹤變形過程的應力變化目前，國內使用的橋梁非線性分析程序，一般都采用U.L列式方法2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍適用范圍——2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍總體拉格朗日列式法推導過程[B]矩陣可分解為與桿端位移無關的部分[B0]和與桿端位移有關的部分[BL]兩部分，即：[B]=[B0]+[BL](11－3)全量列式法桿系單元的平衡方程可由虛功原理得到：總體拉格朗日列式法推導過程[B]矩陣可分解為與桿端位移無關的增量列式法：總體拉格朗日列式法推導過程增量列式法：總體拉格朗日列式法推導過程由前面討論可知:T.L列式下單元切線剛度陣可分為三個部分，即彈性剛度陣0[k]0、初位移剛度陣0[k]L和幾何剛度陣0[k]而U.L列式下單元切線剛度陣只有t[k]0和t[k]兩部分本節(jié)進一步討論橋梁結構分析中常用單元切線剛度陣的具體表達形式3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣由前面討論可知:3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣(續(xù))推導非線性剛度方程的一般方法建立應變與位移的非線性關系即幾何方程；將形函數代入幾何方程得到應變矩陣:[B]=[B]0+[BL]；代入各式即可求得相應剛度矩陣。3.結構分析常用單元的切線剛度矩陣(續(xù))推導非線性剛度方程的3.1平面桁架單元圖11.3所示的桁架單元ij，桿長為l，截面積為A，在外荷載作用下，i、j端發(fā)生了位移3.1平面桁架單元3.1平面桁架單元(續(xù))單元應變與節(jié)點位移的關系矩陣：

(11－2)

3.1平面桁架單元(續(xù))單元應變與節(jié)點位移的關系矩陣：3.1平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1

平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1

平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))3.1

平面桁架單元(續(xù))3.1平面桁架單元(續(xù))由此說明:T.L和U.L列式的單元切線剛度矩陣具有等價性T.L列式下單元初位移矩陣的實質是讓單元在變形后的位置上發(fā)揮其作用，以滿足平衡方程必須建立在結構變形后位置上這一重要條件U.L列式則通過節(jié)點坐標的不斷遷移來實現平衡方程必須建立在結構變形后位置上這一目標3.1

平面桁架單元(續(xù))由此說明:3.1平面桁架單元(續(xù))柔索的特點：抗彎剛度小索的自重對結構平衡影響不可忽略用拉壓桿模擬柔索會引起誤差有必要建立柔索單元的剛度方程3.2平面柔索單元為討論方便，且不影響計算精度，作如下假定：1)柔索僅能承受張力而不承受彎曲內力（抗彎剛度為0）2)柔索僅受索端集中力和沿索長均勻分布的荷載作用，荷載合力效應為q3)柔索材料符合虎克定律4)局部座標系取在柔索荷載合力平面內3.2平面柔索單元為討論方便，且不影響計算精度，作如下假考察圖11.5中所示柔索，無應力索長為S0，索的荷載集度q向下為正。3.2平面柔索單元(續(xù))考察圖11.5中所示柔索，無應力索長為S0，索的荷載集度q向（A、B、C為桿端力的函數）在索端平衡力已知的情況下，可直接計算柔索切線剛度矩陣3.2平面柔索單元(續(xù))（A、B、C為桿端力的函數）3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))3.2平面柔索單元(續(xù))而用直桿代替柔索計算只是常用的近似方法柔索的垂度效應可用Ernst公式對彈性模量進行修正這種方法在小位移、高應力水平下，具有較高精度如果索工作在大位移狀態(tài)或應力水平不高的情況下，用Ernst公式就會出現很大的誤差3.2平面柔索單元(續(xù))而用直桿代替柔索計算只是常用的近似方法3.2平面柔索單元U.L列式下的單元切線剛度矩3.3平面梁單元U.L列式下的單元切線剛度矩3.3平面梁單元4.橋梁結構幾何非線性分析特殊問題的討論4.1穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣問題：非線性分析時可能有許多剛度矩陣表達形式，如何選用？思路：對比穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣元素之間的區(qū)別和聯系如下圖所示壓桿的M、Q和位移為正，其撓曲平衡微分方程為：

(11－50)4.橋梁結構幾何非線性分析特殊問題的討論4.1穩(wěn)定函數與幾4.1

穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))c為力矩作用端的角變形，s為另一端的角變形，均是γ的函數：

4.1穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))c為力矩作用端的角變形，4.1

穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))以穩(wěn)定函數表達的剛度系數包含了軸力對彎曲剛度的影響，相當于前面切線剛度陣中彈性剛度系數與幾何剛度系數之和

4.1穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))以穩(wěn)定函數表達的剛度系數幾何剛度陣系數就是穩(wěn)定函數忽略高階項的軸力影響系數當>3時，隨著的增大，幾何剛度矩陣的誤差也增大但由于與l成正比，有限元分析中只要減小單元長度，就可避免使用幾何剛度陣產生的這種誤差4.1

穩(wěn)定函數與幾何剛度矩陣(續(xù))幾何剛度陣系數就是穩(wěn)定函數忽略高階項的軸力影響系數4.1穩(wěn)在桿件微段上，彎曲引起的桿件軸線計算長度的改變量為： (11－63) (11－64)

(11－65)在外力作用下，桿件總的縮短量為：

(11－66)

因此(11－67)

式中：彎矩引起的軸向剛度修正系數，是桿兩端彎矩和軸力的函數

彎矩對軸向剛度的影響較小，一般可以不用考慮4.2

彎矩對軸向剛度的影響在桿件微段上，彎曲引起的桿件軸線計算長度的改變量為：4非線性狀態(tài)下荷載最不利加載區(qū)域稱為影響區(qū)活載幾何非線性分析，會遇到如下問題：線性疊加原理失效無法再用傳統(tǒng)的影響線加載法進行活載分析確定影響區(qū)本身是一個非線性問題僅用恒載初始狀態(tài)計算活載，會帶來影響區(qū)范圍改變和不正確載位引起的誤差單位強迫變位產生的等效力很大用機動法求解影響區(qū)將破壞指定狀態(tài)結構影響區(qū)的真實形狀4.3

活載的幾何非線性分析非線性狀態(tài)下荷載最不利加載區(qū)域稱為影響區(qū)4.3活載的幾何非1)將結構恒載受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，計算出初始影響函數2)用動態(tài)規(guī)劃加載法，找出最不利加載位置，并作好記錄3)以恒載受力狀態(tài)為計算初態(tài)，將活載按最不利載位一次性作用于結構，分析恒、活載共同作用下的結構受力狀態(tài)和關心截面力學量4)將恒、活載共同作用下的結構狀態(tài)作為求解下一步影響區(qū)函數新的初態(tài)，重復1)～3)的計算，經過數次迭代計算得到活載作用下關心力學量的最值求解活載影響區(qū)可用機動法但單位強迫變位應取用一個很小的數(如10-5），以保證確定的影響區(qū)不失真，使動態(tài)規(guī)劃法找到的載位即為相應內力狀態(tài)下的最不利載位4.3

活載的幾何非線性分析(續(xù))活載幾何非線性分析，可按以下步驟計算：1)將結構恒載受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，計算出初始影響函數4.3在設計和施工計算中，常常需要對某些結構參數進行調整通過關心截面內力、位移、應力調值計算來解決一般情況下，要使關心截面中n個獨立參量調整為指定值，就必須改變施調截面中的n個獨立參量4.4

幾何非線性調值計算當幾何非線性表現突出時，基于線性疊加原理的調值計算方法無法直接用于非線性結構的計算下面討論計入幾何非線性影響的調值計算求解策略在設計和施工計算中，常常需要對某些結構參數進行調整4.4幾4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))4.4幾何非線性調值計算(續(xù))4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))但當受調向量為內力時，將內力元素的影響向量用相應位置和方向上桿件的單位強迫變形影響向量來代替4.4幾何非線性調值計算(續(xù))但當受調向量為內力時，將內力4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))4.4幾何非線性調值計算(續(xù))4.4

幾何非線性調值計算(續(xù))4.4幾何非線性調值計算(續(xù))5.非線性方程的求解5.1求解方法概述結構非線性控制方程是一組非線性代