初等數(shù)學研究(六)初等幾何基礎(chǔ)課件

第六講

初等幾何基礎(chǔ)(一)1第六講

初等幾何基礎(chǔ)(一)1二、初等幾何的內(nèi)容體系①.初等幾何研究的內(nèi)容②.初等幾何研究的方法③.初等幾何的內(nèi)容體系④.初等幾何研究問題的主要類型§1.初等幾何簡介一、初等幾何的研究對象2二、初等幾何的內(nèi)容體系§1.初等幾何簡介2三、學習初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力2.邏輯能力的培養(yǎng)不能被數(shù)學的其他科目完全取代3.學習初等幾何可發(fā)展人的空間想象能力和識圖能力4.學習初等幾何有助于在生活現(xiàn)實中獨立自主，提高動手能力，更是繼續(xù)學習的基礎(chǔ)5.你認為學習初等幾何還有哪些重要性？(討論題)3三、學習初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力31.幾何發(fā)展大約經(jīng)過四個階段(1)實驗幾何(大約公元前七世紀前)(2)初步推理幾何(大約公元前四世紀前)(3)解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展(4)現(xiàn)代幾何的發(fā)展2.歐幾里得《幾何原本》中的不足3.歐幾里得不可磨滅的貢獻(1)《幾何原本》是人類第一次把豐富散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴明的讀本(2)《原本》是人類歷史上的一部杰作(3)兩千年來，人類對初等幾何的研究仍以《原本》為依據(jù)(4)歐幾里得成了“幾何”的代名詞歐幾里德(前330～前260)畢達哥拉斯(約前580～約前500)四、初等幾何學發(fā)展簡史41.幾何發(fā)展大約經(jīng)過四個階段歐幾里德(前330～前260)畢約前486～前376

5約前486～前37654.《幾何原本》譯成中文簡介(1)明萬歷年間(明萬歷三十五年(1607))徐光啟(1562－1633)與意大利傳教士利瑪竇(R·Matte1552-1610)首次合譯前6卷[“幾何學”一詞由徐光啟引入]；(2)清人李善蘭(1810－1882)與英人偉烈亞力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合譯后9卷。5.公理化方法

從盡可能少的無定義的原始概念和一組不證自明的命題(基本公理)出發(fā)，利用邏輯的法則，把一門數(shù)學建成為演繹系統(tǒng)的方法。徐光啟(1562-1633)李善蘭(1810－1882)64.《幾何原本》譯成中文簡介5.公理化方法徐光啟(1562-《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。第一卷以23個定義、5個公設(shè)和5個公理開始的。定義(1)點是沒有部分的。(2)線是只有長度而沒有寬度的。(3)線的界限是點。(4)直線是這樣的線，它對于它的所有各個點都有同樣的位置。(5)面是只有長度和寬度的。(6)面的界限是線。(7)平面是這樣的面，它對于它的所有直線有同樣的位置。(8)平面上的角是在一個平面上的兩條相交直線相互的傾斜度(9)當形成一角度的兩線是一直線的時候，那角度成為平角?！?23)平行線是在同一平面上而且盡管向兩側(cè)延長也決不相交的直線。7《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。第6.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)86.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)8§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征1.擴大公理系統(tǒng)，刪減繁雜內(nèi)容，適應中學生接受2.利用圖形直觀降低幾何學習入門難度二、幾何證明的要求和特點1.充分利用一般數(shù)學證明的方法、思路、技巧2.嚴格規(guī)范證題的基本要求3.作一般圖形，盡量避免將特殊圖形的某些直觀特征引入幾何證題4.作圖準確，幫助啟發(fā)探索證題思路9§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征二、幾何三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：3.選擇證法：4.敘述證明：EBACDFHGMPQK四、幾何證題的基本思路1.如何選擇適當?shù)亩ɡ?.怎樣創(chuàng)造條件用好選用的定理3.定理選擇的多樣性和特殊性4.引用定理的相關(guān)性和靈活性10三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：EBACDFHGMP§3.幾何證明的一般方法1.直接證法(1)疊合法(2)合一法2.間接證法(1)反證法：①歸謬法②窮舉法(2)同一法

證明方法小結(jié)：一、直接證法與間接證法11§3.幾何證明的一般方法1.直接證法證明方法小結(jié)：一☆

二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?

從題設(shè)的已知出發(fā)，通過邏輯推理，導出所給命題的結(jié)論，即“由因?qū)Ч钡乃季S方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B

12☆二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?AC1C2C3D2.分析法(執(zhí)果索因)

是指從待證的結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，如此逐步往追溯，一直到已知條件為止，即“執(zhí)果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B132.分析法(執(zhí)果索因)AC1C2C3C4C5D1D2D3B1三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)

是由演繹推理組成的證明方法，要求演繹推理中的三段論的大、小前提都是正確真實的，是一種由一般原理推出特殊事實結(jié)論的證明方法。例1.題略證明：同圓半徑相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半徑(小前提)∴OA＝OB(結(jié)論)∵線段中點平分線段(大前提)C、D分別是OA、OB的中點(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(結(jié)論)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(結(jié)論)平時證題我們用簡略的三段論。14三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)例1.題略平時證題我2.歸納法

是由歸納推理組成的證明方法。歸納法又分為不完全歸納法、完全歸納法和數(shù)學歸納法。(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。

注意：不完全歸納法有時不太可靠

如：x=1,2,3,……,39時，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)，若就此得出“當x∈N+時，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)”的結(jié)論便是錯誤的。其實當x＝40時，402＋40＋41＝412是合數(shù)。152.歸納法(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多種)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。(如圓周角定理的證明)(3)數(shù)學歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(可數(shù)多種，即可用自然數(shù)來一一編號種情況)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。16(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？(2)何謂位置關(guān)系的證明？一、關(guān)于兩線段(角)相等的證明1.有關(guān)證明的主要定理2.證明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例題選講17§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？1例2：題略分析：因為a是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、OF.若能證得△OEF為等腰三角形即可。憑經(jīng)驗應連OB、OC，發(fā)現(xiàn)只要能證Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一邊OB＝OC，設(shè)法再找一組銳角或另一條直角邊對應相等。另外還有哪些證明的途徑？可分別在O、C、A、F和B、E、A、O共圓的條件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4

△OEF為等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223118例2：題略分析：因為a是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點,分別以AB、BC為邊在同一側(cè)作等邊三角形ABD和BCE,BD與AE交于F,BE與CD交于G.求證:BF=BG.·

BACDEF··G分析：

要證BF=BG，可在△BFE、△BGC中考慮，它們已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。這時可考慮是否有△ABE≌△DBC.這是易證的。1234當然也可由證得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同時，此題可改造成求證：FG∥AC，或△BFG為正三角形等。上述問題可供大家課后研究。19例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點,分別以AB、BC為邊在同一二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般思考方法［通常有“截長”、“補短”、“加倍”、“減半”、“n倍”、“1/n”等。］20二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明20ABC·PD3.例題選講例4.已知P是正△ABC外接圓BC弧上任一點.求證：PA=PB+PC.

這是一個傳統(tǒng)的題目，不少教材都有這個例子。

不少書上通常使用截長法、補短法，我們也可從不同的地方截長或補短。這樣可有8種不同的方法。此外，在△PAB，△PAC中用余弦定理，或正弦定理()，或托勒密定理(最簡)等可解本題。21ABC·D3.例題選講這是一個傳統(tǒng)的題目，不少教材都有這三、關(guān)于線段(角)不等的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般方法思考3.例題選講例5.已知在△ABC中AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點，且∠APB＞∠APC.求證：PB＜PC.ABCPP′小大本題的結(jié)論也可改為求證：∠BAP<∠CAP大小22三、關(guān)于線段(角)不等的證明1.有關(guān)證明的重要定理3.例題選

例6.若AD為△ABC的角平分線，過A、D的圓切BC于D，且與AB、AC分別相交于E、F.試證：EF∥BCABCDEF3124分析：本例思路：要證：EF∥BC(連ED)只要證得∠3＝∠4即可。由圖易知：∠3＝∠1＝∠2＝∠4四、關(guān)于平行線的證明23例6.若AD為△ABC的角平分線，過A、D的圓切BC于D五、關(guān)于垂直直線的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.有關(guān)證明的一般方法3.例題選講

例7.以△ABC的邊AB和AC為一邊向外分別作正方形ABDE和工ACFG，試證：BC的中線AM與EG垂直。EBACFDGM24五、關(guān)于垂直直線的證明1.有關(guān)證明的重要定理例7.以△例8.設(shè)BD、CE為△ABC的兩條高線，若M為ED的中點，N為BC的中點，試證NM⊥DE.ABCDEMN證法1.連接ND、NE，∵BN＝NC，∠BDC＝90°，∠BDC＝90°∴ND＝BC=NE.又∵DM＝ME，∴NM⊥DE。證法2.∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四點共圓，且BC為圓的直徑。∵BN＝NC，∴N為圓心?！進為弦DE的中點，∴NM⊥DE。25例8.設(shè)BD、CE為△ABC的兩條高線，若M為ED的中點，第六講

初等幾何基礎(chǔ)(一)26第六講

初等幾何基礎(chǔ)(一)1二、初等幾何的內(nèi)容體系①.初等幾何研究的內(nèi)容②.初等幾何研究的方法③.初等幾何的內(nèi)容體系④.初等幾何研究問題的主要類型§1.初等幾何簡介一、初等幾何的研究對象27二、初等幾何的內(nèi)容體系§1.初等幾何簡介2三、學習初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力2.邏輯能力的培養(yǎng)不能被數(shù)學的其他科目完全取代3.學習初等幾何可發(fā)展人的空間想象能力和識圖能力4.學習初等幾何有助于在生活現(xiàn)實中獨立自主，提高動手能力，更是繼續(xù)學習的基礎(chǔ)5.你認為學習初等幾何還有哪些重要性？(討論題)28三、學習初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力31.幾何發(fā)展大約經(jīng)過四個階段(1)實驗幾何(大約公元前七世紀前)(2)初步推理幾何(大約公元前四世紀前)(3)解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展(4)現(xiàn)代幾何的發(fā)展2.歐幾里得《幾何原本》中的不足3.歐幾里得不可磨滅的貢獻(1)《幾何原本》是人類第一次把豐富散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴明的讀本(2)《原本》是人類歷史上的一部杰作(3)兩千年來，人類對初等幾何的研究仍以《原本》為依據(jù)(4)歐幾里得成了“幾何”的代名詞歐幾里德(前330～前260)畢達哥拉斯(約前580～約前500)四、初等幾何學發(fā)展簡史291.幾何發(fā)展大約經(jīng)過四個階段歐幾里德(前330～前260)畢約前486～前376

30約前486～前37654.《幾何原本》譯成中文簡介(1)明萬歷年間(明萬歷三十五年(1607))徐光啟(1562－1633)與意大利傳教士利瑪竇(R·Matte1552-1610)首次合譯前6卷[“幾何學”一詞由徐光啟引入]；(2)清人李善蘭(1810－1882)與英人偉烈亞力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合譯后9卷。5.公理化方法

從盡可能少的無定義的原始概念和一組不證自明的命題(基本公理)出發(fā)，利用邏輯的法則，把一門數(shù)學建成為演繹系統(tǒng)的方法。徐光啟(1562-1633)李善蘭(1810－1882)314.《幾何原本》譯成中文簡介5.公理化方法徐光啟(1562-《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。第一卷以23個定義、5個公設(shè)和5個公理開始的。定義(1)點是沒有部分的。(2)線是只有長度而沒有寬度的。(3)線的界限是點。(4)直線是這樣的線，它對于它的所有各個點都有同樣的位置。(5)面是只有長度和寬度的。(6)面的界限是線。(7)平面是這樣的面，它對于它的所有直線有同樣的位置。(8)平面上的角是在一個平面上的兩條相交直線相互的傾斜度(9)當形成一角度的兩線是一直線的時候，那角度成為平角。……(23)平行線是在同一平面上而且盡管向兩側(cè)延長也決不相交的直線。32《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。第6.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)336.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)8§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征1.擴大公理系統(tǒng)，刪減繁雜內(nèi)容，適應中學生接受2.利用圖形直觀降低幾何學習入門難度二、幾何證明的要求和特點1.充分利用一般數(shù)學證明的方法、思路、技巧2.嚴格規(guī)范證題的基本要求3.作一般圖形，盡量避免將特殊圖形的某些直觀特征引入幾何證題4.作圖準確，幫助啟發(fā)探索證題思路34§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征二、幾何三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：3.選擇證法：4.敘述證明：EBACDFHGMPQK四、幾何證題的基本思路1.如何選擇適當?shù)亩ɡ?.怎樣創(chuàng)造條件用好選用的定理3.定理選擇的多樣性和特殊性4.引用定理的相關(guān)性和靈活性35三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：EBACDFHGMP§3.幾何證明的一般方法1.直接證法(1)疊合法(2)合一法2.間接證法(1)反證法：①歸謬法②窮舉法(2)同一法

證明方法小結(jié)：一、直接證法與間接證法36§3.幾何證明的一般方法1.直接證法證明方法小結(jié)：一☆

二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?

從題設(shè)的已知出發(fā)，通過邏輯推理，導出所給命題的結(jié)論，即“由因?qū)Ч钡乃季S方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B

37☆二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?AC1C2C3D2.分析法(執(zhí)果索因)

是指從待證的結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，如此逐步往追溯，一直到已知條件為止，即“執(zhí)果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B382.分析法(執(zhí)果索因)AC1C2C3C4C5D1D2D3B1三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)

是由演繹推理組成的證明方法，要求演繹推理中的三段論的大、小前提都是正確真實的，是一種由一般原理推出特殊事實結(jié)論的證明方法。例1.題略證明：同圓半徑相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半徑(小前提)∴OA＝OB(結(jié)論)∵線段中點平分線段(大前提)C、D分別是OA、OB的中點(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(結(jié)論)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(結(jié)論)平時證題我們用簡略的三段論。39三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)例1.題略平時證題我2.歸納法

是由歸納推理組成的證明方法。歸納法又分為不完全歸納法、完全歸納法和數(shù)學歸納法。(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。

注意：不完全歸納法有時不太可靠

如：x=1,2,3,……,39時，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)，若就此得出“當x∈N+時，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)”的結(jié)論便是錯誤的。其實當x＝40時，402＋40＋41＝412是合數(shù)。402.歸納法(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多種)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。(如圓周角定理的證明)(3)數(shù)學歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(可數(shù)多種，即可用自然數(shù)來一一編號種情況)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。41(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？(2)何謂位置關(guān)系的證明？一、關(guān)于兩線段(角)相等的證明1.有關(guān)證明的主要定理2.證明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例題選講42§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？1例2：題略分析：因為a是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、OF.若能證得△OEF為等腰三角形即可。憑經(jīng)驗應連OB、OC，發(fā)現(xiàn)只要能證Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一邊OB＝OC，設(shè)法再找一組銳角或另一條直角邊對應相等。另外還有哪些證明的途徑？可分別在O、C、A、F和B、E、A、O共圓的條件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4

△OEF為等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223143例2：題略分析：因為a是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點,分別以AB、BC為邊在同一側(cè)作等邊三角形ABD和BCE,BD與AE交于F,BE與CD交于G.求證:BF=BG.·

BACDEF··G分析：

要證BF=BG，可在△BFE、△BGC中考慮，它們已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。這時可考慮是否有△ABE≌△DBC.這是易證的。1234當然也可由證得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同時，此題可改造成求證：FG∥AC，或△BFG為正三角形等。上述問題可供大家課后研究。44例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點,分別以AB、BC為邊在同一二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般思考方法［通常有“截長”、“補短”、“加倍”、“減半”、“n倍”、“1/n”等。］45二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明20ABC·PD3.例題選講例4.已知P是