MXT-高中數(shù)學(xué)-兩直線的位置關(guān)系

兩直線的地址關(guān)系◆高考導(dǎo)航·順風(fēng)出發(fā)◆最新考綱常有題型1.能依照兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直．2.能用解方程組的方法求兩條訂交直線的交點坐標(biāo)．常有于選擇題、填空題、難度較低，3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩屬中、低檔題目，占5分平行直線間的距離.[知識梳理]1．兩條直線地址關(guān)系的判斷直線方程斜截式一般式地址關(guān)系y＝k1x＋b1A1x＋B1y＋C1＝0y＝kx＋bAx＋By＋C＝022222訂交k121221≠kAB－AB≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1＝k2AB－AB＝0AB－AB＝0平行1221或1221且b1≠b2B2C1－B1C2≠0A1C2－A2C1≠0k＝k2A1B2－A2B1＝0A1B2－A2B1＝0重合1且b1＝b2B2C1－B1C2＝0或A1C2－A2C1＝02．幾種距離(1)兩點距離兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)點線距離|Ax0＋By0＋C|點P0(x0，y0)到直線l∶Ax＋By＋C＝0(A、B不同樣時為0)的距離d＝.A2＋B2(3)線線距離|C1－C2|兩平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝A2＋B2.[知識感悟]常有的四大直線系方程(1)過定點P(x0，y0)的直線系A(chǔ)(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，還可以夠表示為y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在時可視為0x＝x)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(3)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(4)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.[知識自測]1．判斷以下結(jié)論可否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，必然有k1＝k2?l1∥l2.()(2)若是兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積必然等于－1.()(3)已知直線l：Ax＋By＋C＝0，l：Ax＋By＋C＝0(A、B、C、A、B、C為常11112222111222數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.()|kx0＋b|)00(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．()(6)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線1，且線段ABAB的斜率等于－k的中點在直線l上．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．已知P：直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，則P是Q的()A．充要條件B．充分不用要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不用要條件[剖析]由于直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行的充要條件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.因此P是Q的充要條件．[答案]A3．直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點，則實數(shù)a的值為______．2x－y＝－10[剖析]，解得：2x－x－1＝－10，x＝－9，y＝－8，代入y＝ax－2得：y＝x＋12－8＝－9a－2，a＝3.[答案]

23題型一兩條直線的平行與垂直(基礎(chǔ)拿分題，自主練透)(1)(2018·邢臺模擬考試)“a＝－1”是“直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行”的()A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件[剖析]依題意，注意到直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要條件a13＝－a－2，是≠1，a－2解得a＝－1，應(yīng)選C.[答案]

C(2)(2018

屆·東北師大附中三模

)“a＝－1”是“直線

ax＋(2a－1)y＋1＝0

和直線

3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不用要的條件B．必要不充分的條件C．充要條件D．既不充分又不用要條件1[剖析]當(dāng)a＝－1時直線ax＋(2a－1)y＋1＝0的斜率是－3，直線3x＋ay＋3＝0的斜率是3，∴滿足k1·k2＝－1.a＝0時，直線ax＋(2a－1)y＋1＝0和直線3x＋ay＋3＝0垂直，∴a＝－1是直線ax＋(2a－1)y＋1＝0和直線3x＋ay＋3＝0垂直的充分條件．[答案]A方法感悟1．當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不但要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特別情況．同時還要注意x、y的系數(shù)不能夠同時為零這一隱含條件．2．在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．【針對補(bǔ)償】1．過點

(1,0)且與直線

x－2y－2＝0平行的直線方程是

(

)A．x－2y－1＝0

B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0

D．x＋2y－1＝0[剖析]

依題意，設(shè)所求的直線方程為

x－2y＋a＝0，由于點

(1,0)在所求直線上，則

1＋a＝0，即

a＝－1，則所求的直線方程為

x－2y－1＝0.[答案]

A2．已知過點A(－2，m)和點B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l31223.若l∥l，l⊥l，則實數(shù)m＋n的值為()A．－10B．－2C．0D．84－m[剖析]∵l1∥l2，∴＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(經(jīng)檢驗，l1與l2不重合)，l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.[答案]A3．已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使(1)l1與l2訂交于點P(m，－1)；l1∥l2；l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.m2－8＋n＝0，[解](1)由題意得2m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.即m＝1，n＝7時，l1與l2訂交于點P(m，－1)．m2－16＝0，(2)∵l1∥l2，∴－m－2n≠0，m＝4，m＝－4，解得或n≠－2n≠2.即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時，l1∥l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)2m＋8m＝0，即m＝0時，l1⊥l2.n又－8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8時，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.題型二兩條直線的訂交和距離(高頻考點題，多角打破)考向一已知距離，求點的坐標(biāo)或個數(shù)1．已知P是直線2x－3y＋6＝0上一點，O為坐標(biāo)原點，且點A的坐標(biāo)為(－1,1)，若|OP|＝|PA|，則P點的坐標(biāo)為______．2a－3b＋6＝0，[剖析]法一：設(shè)P(a，b)，則a2＋b2＝a＋12＋b－12，解得a＝3，b＝4.∴P點的坐標(biāo)為(3,4)．法二：線段OA的中垂線方程為x－y＋1＝0，2x－3y＋6＝0，則由x－y＋1＝0.x＝3，則P點的坐標(biāo)為(3,4)．解得y＝4，[答案](3,4)考向二已知距離求參數(shù)2．若直線l：x－2y＋m＝0(m>0)與直線l：x＋ny－3＝0之間的距離是5，則m＋n等12于()A．0B．1C．－1D．2[剖析]∵直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離為5，∴n＝－2，|m＋3|＝5，∴n＝－2，m＝2(負(fù)值舍去)．∴m＋n＝0.5[答案]A3．已知點(m,1)(m＞0)到直線l：x－y＋2＝0的距離為1，則實數(shù)m的值為()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1[剖析]d＝|m－1＋2|＝|m＋1|＝1，22m＝－1±2.又∵m>0，∴m＝2－1.[答案]C考向三已知距離求直線方程4．已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離為2，則直線l1的方程為______．[剖析]由于l1與l2：x＋y－1＝0平行，因此可設(shè)l1的方程為x＋y＋b＝0(b≠－1)．又由于l1與l2的距離是2，因此|b＋1|＝2，解得b＝1或b＝－3，12＋12即l1的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.[答案]x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0考向四與距離有關(guān)的最值問題5．l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是______．[剖析]當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大．由于－1－111kAB＝0－1＝2，因此兩條平行直線的斜率為－2，因此直線l1的方程是y－1＝－2(x－1)，即x＋2y－3＝0.[答案]x＋2y－3＝06．點P(2,1)到直線l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距離是______．[剖析]直線l經(jīng)過定點Q(0，－3)，以下列圖．由圖知，當(dāng)PQ⊥l時，點P(2,1)到直線l的距離獲取最大值|PQ|＝2－02＋1＋32＝25，因此點P(2,1)到直線l的最大距離為25.[答案]257．(2018濟(jì)·南模擬)若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上搬動，則P12)P的中點P到原點的距離的最小值是(5A.22B．5215C.22D．152[剖析]12的中點為P(x，y)，則x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2設(shè)PP22.x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.y＝x－10，∴P(x，x－10)，∴P到原點的距離d＝x2＋x－102＝2x－52＋50≥50＝52.[答案]B方法感悟距離問題的常有題型與求解策略題型求解策略已知距離，求點的坐標(biāo)或借助于距離公式，建立方程(組)求解或判斷解的個數(shù)即可．點的個數(shù)已知距離求參數(shù)值可利用距離公式得出方程，解方程求得．立足確定直線的幾何要素——點和方向，利用直線方程的各種形已知距離，求直線方程式，結(jié)合直線的地址關(guān)系，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解．與距離最值有關(guān)的問題一是轉(zhuǎn)變成幾何問題，利用幾何知識求解，二是借助于基本不等式或函數(shù)性質(zhì)求解.【針對補(bǔ)償】4.如圖，設(shè)素來線過點(－1,1)，它被兩平行直線l：x＋2y－1＝0，l：x＋2y－3＝0所12截的線段的中點在直線l3：x－y－1＝0上，則其方程為______．[剖析](1)與l1，l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0.設(shè)所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直線過(－1,1)，(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－1.∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0.3[答案]2x＋7y－5＝05．已知點P(2，－1)．(1)求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程．(2)求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)可否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明原由．[剖析](1)過點P的直線l與原點的距離為2，而點P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|－2k－1|3＝2，解得k＝.k2＋14此時l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線，如圖．由l⊥OP，得klkOP＝－1，因此kl1＝2.＝－kOP由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.因此直線2x－y－5＝0是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為|－5|＝5.5(3)由(2)可知，過點P不存在到原點的距離高出5的直線，因此不存在過點P且到原點的距離為6的直線．題型三對稱問題(重點保分題，共同商議)考向一點關(guān)于點的對稱問題1．過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P均分，則直線l的方程為______．[剖析]設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，因此直線l的方程為x＋4y－4＝0.[答案]x＋4y－4＝0考向二點關(guān)于線的對稱問題2．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)，則點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)為______．[剖析]設(shè)A′(x，y)，y＋22＝－1，×x＋13由已知得y－2x－12×2－3×2＋1＝0，33，解得x＝－13故A′－33，441313.y＝13，[答案]A′－33，41313考向三線關(guān)于線的對稱問題3．(2018泰·安模擬)已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程．[解]在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．2×a＋2－3×b＋0＋1＝0，設(shè)對稱點M′(a，b)，則22b－0×2＝－1，a－236a＝13，6，30解得∴M′1313.30，b＝132x－3y＋1＝0，設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由3x－2y－6＝0，得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點N(4,3)．∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.考向四對稱問題的應(yīng)用4．(2018

·安一調(diào)淮

)已知入射光輝經(jīng)過點

M(－3,4)，被直線

l：x－y＋3＝0

反射，反射光輝經(jīng)過點

N(2,6)，則反射光輝所在直線的方程為

______．[剖析]

設(shè)點

M(－3,4)關(guān)于直線

l：x－y＋3＝0

的對稱點為

M′(a，b)，則反射光輝所在直線過點

M′，b－4a－－3·1＝－1，因此解得a＝1，b＝0.3＋ab＋4＋3＝0，22又反射光輝經(jīng)過點N(2,6)，y－0x－1因此所求直線的方程為＝，即6x－y－6＝0.[答案]6x－y－6＝0方法感悟四種常有對稱求解方法(1)點關(guān)于點的對稱：求點P關(guān)于點M(a，b)的對稱點Q的問題，主要依照M是線段PQ的中點，即xP＋xQ＝2a，yP＋yQ＝2b求解．(2)直線關(guān)于點的對稱：求直線l關(guān)于點M(m，n)的對稱直線l′的問題，要依照l′上的任一點T(x，y)關(guān)于M(m，n)的對稱點T′(2m－x,2n－y)必在l上．(3)點關(guān)于直線的對稱：求已知點A(m，n)關(guān)于已知直線l：y＝kx＋b的對稱點A′(x0，y0)的坐標(biāo)，一般方法是依照l是線段AA′的垂直均分線，列出關(guān)于x0，y0的方程組，由“垂直”得一方程，由“均分”得一方程．(4)直線關(guān)于直線的對稱：此類問題一般轉(zhuǎn)變成點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸訂交；二是已知直線與對稱軸平行．【針對補(bǔ)償】6．已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點；(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線．[解](1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)，kPP′·kl＝－1，即y′－y×3＝－1.①x′－x又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上，3×x′＋x－y′＋y＋3＝0.②22x′＝－4x＋3y－95，③由①②得3x＋4y＋3y′＝.④5把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標(biāo)為(－2,7)．(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l的對稱直線方程為－4x＋3y－93x＋4y＋3－2＝0，化簡得7x＋y＋22＝0.－55(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點M(0,3)關(guān)于(1,2)的對稱點M′(x′，y′)，∴x′＋0＝1，x′＝2，y′＋3＝2，y′＝1，22∴M′(2,1)．l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，∴k＝3，∴對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.◆牛刀小試·成功靠岸◆課堂達(dá)標(biāo)(四十)[A基礎(chǔ)牢固練]1．(2018懷·化模擬)已知直線ax＋2y＋2＝0與3x－y－2＝0平行，則系數(shù)a＝()A．－3B．－63D.2C．－23[剖析]a＝3，∴a＝－6.應(yīng)選B.∵直線ax＋2y＋2＝0與直線3x－y－2＝0平行，∴－2[答案]B2．(2018濟(jì)·南模擬)“m＝3”是“直線l：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l：(m12－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件[剖析]12，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2.由l⊥l∴m＝3是l1⊥l2的充分不用要條件．[答案]A3．(2018蘭·州月考)一只蟲子從點O(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：x－y＋1＝0上的P點，再從P點出發(fā)爬行到點

A(1,1)，則蟲子爬行的最短行程是

(

)A.2

B．2C．3

D．4[剖析]

點O(0,0)關(guān)于直線

x－y＋1＝0的對稱點為

O′(－1,1)，則蟲子爬行的最短行程為|O′A|＝1＋12＋1－12＝2.[答案]B4．(2018湖·北武漢一模)已知M＝x，yy－3＝3，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩Nx－2＝?，則a等于()A．－6或－2B．－6C．2或－6D．－2[剖析]會集M表示去掉一點A(2,3)的直線3x－y－3＝0，會集N表示恒過定點B(－1,0)的直線ax＋2y＋a＝0.由于M∩N＝?，因此兩直線平行，或直線ax＋2y＋a＝0過點A(2,3)，a因此2＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.[答案]A5．(2018綿·陽模擬)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()918A.5B.52929C.10D.534－12[剖析]由于＝≠，因此兩直線平行，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即|－24－5|＝29，因此|PQ|的最小值為29，應(yīng)選C.62＋821010[答案]C6．(2018廈·門模擬)將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n等于()3436A.5B.52832C.3D.3[剖析]由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是3＋n7＋m32＝2×2－3，m＝5，n－31解得31m－7＝－2，n＝5，故m＋n＝34，應(yīng)選A.5[答案]A7．已知點P(0，－1)，點Q在直線x－y＋1＝0上，若直線PQ垂直于直線x＋2y－5＝0，則點Q的坐標(biāo)是______．[剖析]設(shè)Q(x0，y0)，由于點Q在直線x－y＋1＝0上，因此x0－y0＋1＝0①.1y＋10又直線x＋2y－5＝0的斜率k＝－2，直線PQ的斜率kPQ＝x0，因此由直線PQ垂直于直線x＋2y－5＝0，y＋11得0·－2＝－1②.0x由①②解得x00．＝2，y＝3，即點Q的坐標(biāo)是(2,3)[答案](2,3)8．(2018忻·州訓(xùn)練)已知兩直線l：ax－by＋4＝0和l：(a－1)x＋y＋b＝0，若l∥l，1212且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，則a＋b＝______.a＋ba－1＝0，[剖析]由題意得4＝|b|.a2＋－b2a－12＋1a＝2，2，解得或a＝3經(jīng)檢驗，兩種情況均吻合題意，b＝－2b＝2.∴a＋b的值為0或8.38[答案]0或39．(2018寧·夏固原二模)若m>0，n>0，點(－m，n)關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點在直線x－y＋2＝0上，那么1＋4的最小值等于______．mn[剖析]由題意知(－m，n)關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點為(1－n,1＋m)．則1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.14114于是m＋n＝2(m＋n)m＋n1×5＋n＋4m≥1×(5＋2×2)＝9.2mn229[答案]210．(2018·京旭日區(qū)模擬北)已知△ABC的極點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程．[解]依題意知：kAC＝－2，A(5,1)，lAC為2x＋y－11＝0，聯(lián)立lAC、lCM得2x＋y－11＝0，∴C(4,3)．2x－y－5＝0，設(shè)B(x00x＋5，y＋1，00，y)，AB的中點M為22代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，2x0－y0－1＝0，∴∴B(－1，－3)，x0－2y0－5＝0，66∴kBC＝5，∴直線BC的方程為y－3＝5(x－4)，即6x－5y－9＝0.[B

能力提升練

]1．已知＝0表示(

P(x0，y0)是直線)

l：Ax＋By＋C＝0外一點，則方程

Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)A．過點P且與l垂直的直線B．過點P且與l平行的直線C．但是點P且與l垂直的直線D．但是點P且與l平行的直線[剖析]

由于

P(x0，y0)是直線

l1：Ax＋By＋C＝0外一點，因此

Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，則Ax＋By＋C＋k＝0.由于直線Ax＋By＋C＋k＝0和直線l斜率相等，但在y軸上的截距不相等，故直線Ax＋By＋C＋k＝0和直線l平行．由于Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，因此Ax0＋By0＋C＋k≠0，因此直線Ax＋By＋C＋k＝0但是點P.[答案]D2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點．光輝從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P(如圖)．若光輝QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于()A．2B．184C.3D.3[剖析]以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,0)，44，設(shè)AP＝x，從而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的幾何性質(zhì)可知C(0,4)，得△ABC的重心D3，3點P關(guān)于直線BC、AC的對稱點4，4P1(4,4－x)，P2(－x,0)與△ABC的重心D33共線，44因此3＝3－4－x，求得x＝4.443＋x－433[答案]D3．如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為______．[剖析]以A為坐標(biāo)原點，平行于l1的直線為x軸，建立以下列圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a，－2)，C(b,3)．6∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝a.1Rt△ABC的面積S＝2a2＋4·b2＋91a2＋4·362＋92a＝12

72＋9a2＋144a2≥12

72＋72＝6.[答案]

64．(2018

·慶模擬重

)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點

A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標(biāo)是

______．[剖析]

如圖，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中任一點

P，P到點

A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和為|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點．A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－(x－1)．y－2＝2x－1，由得Q(2,4)．y－5＝－x－1，[