高考數(shù)學(xué)試題新亮點類比推理題

PAGEPAGE12高考數(shù)學(xué)試題新亮點——類比推理題1、實數(shù)系與向量系的類比：實數(shù)系向量系實數(shù)0、單位1數(shù)a的相反數(shù)－a實數(shù)a的絕對值|a|零向量eq\o(0,\s\up5(→))、單位向量eq\o(e,\s\up5(→))向量eq\o(a,\s\up5(→))的相反向量－eq\o(a,\s\up5(→))向量eq\o(a,\s\up5(→))的模|eq\o(a,\s\up5(→))|運算規(guī)律：①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(ab)c＝a(bc)③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac④消去律：若ab＝ac，a≠0，則b＝c⑤若ab＝0，則a＝0，或b＝0⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2⑦|a·b|＝|a|·|b|運算規(guī)律：①交換律：eq\o(a,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→))＝eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(a,\s\up5(→))②結(jié)合律：(eq\o(a,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→)))＋eq\o(c,\s\up5(→))＝eq\o(a,\s\up5(→))＋(eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(c,\s\up5(→)))(eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→)))eq\o(c,\s\up5(→))≠eq\o(a,\s\up5(→))(eq\o(b,\s\up5(→))·eq\o(c,\s\up5(→)))（乘法不滿足）③分配律：eq\o(a,\s\up5(→))·(eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(c,\s\up5(→)))＝eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(c,\s\up5(→))④不滿足消去律：若eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＝eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(c,\s\up5(→))，那么eq\o(b,\s\up5(→))與eq\o(c,\s\up5(→))不一定相等.⑤若eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＝0，那么不一定eq\o(a,\s\up5(→))＝eq\o(0,\s\up5(→))或eq\o(b,\s\up5(→))＝0.⑥公式：(eq\o(a,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→)))·(eq\o(a,\s\up5(→))－eq\o(b,\s\up5(→)))＝eq\o(a,\s\up5(→))2－eq\o(b,\s\up5(→))2(eq\o(a,\s\up5(→))±eq\o(b,\s\up5(→)))2＝eq\o(a,\s\up5(→))2±2eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→))2⑦|eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))|≤|eq\o(a,\s\up5(→))|·|eq\o(b,\s\up5(→))|||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|||eq\o(a,\s\up5(→))|－|eq\o(b,\s\up5(→))||≤|eq\o(a,\s\up5(→))±eq\o(b,\s\up5(→))|≤|eq\o(a,\s\up5(→))|＋|eq\o(b,\s\up5(→))|2、平面幾何與立體幾何：平面幾何立體幾何角及角平分線二面角及角平分面線段的垂直平分線線段的垂直平分面三角形的三條邊四面體的四個面平行四邊形對角線相交一點，并且被平分平行六面體的對角線相交于一點，并且被平分3、圓與球的性質(zhì)的類比：圓球圓心與弦（非直徑）中心的連線垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過球心）圓心連線垂直于截面與圓心距離相等的兩條弦長相等與球心距相等的兩個截面圓的面積相等圓的周長C＝d（d為直徑）球的表面積S＝d2（d為球直徑）圓的面積S＝r2（r為半徑）球的體積V＝eq\f(4,3)r3（r為球半徑）（這一點不是很好的類比）4、三角形與四面體的性質(zhì)類比：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半四面體的中位面（同一頂點發(fā)出的三條棱中點確定的截面）平行于第四個面，面積等于第四個面的eq\f(1,4)三角形三邊的中垂線交于一點，且這一點是三角形外接圓的圓心（外心）四面體的六條棱的中垂面（經(jīng)過棱的中點且垂直于棱的平面）交于一點，且這一點是四面體外接球的球心，（或經(jīng)過各個面三角形外心且垂直該面的垂線交于一點，這一點是四面體外接球的球心）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心）四面體的四個面構(gòu)成的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體的內(nèi)切球的球心三角形的三條中線相交于一點（重心），這點把每條中線分成2：1.四面體的每個頂點與對面三角形的重心的連線相交于一點（重心），且被該點分成3：1三角形的面積S＝eq\f(1,2)ah四面體的體積V＝eq\f(1,3)Sh5、直角三角形與直角四面體的類比：直角三角形直角四面體（在四面體中，若有一頂點發(fā)出的三條棱兩兩互相垂直，則改四面體成為直角四面體）如圖，Rt△CAB中，∠C＝90，OOABcabhH如圖，在四面體OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，O為直角頂點：OOABCHabcAB2＝OA2＋OB2（c2＝a2＋b2）S2△ABC＝S2△OAB＋S2△OBC＋S2△OCAcos2A＋cos2B＝1cos2＋cos2＋cos2＝1（、、是側(cè)面與底面所成的角）eq\f(1,OH2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)eq\f(1,OH2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)外接圓半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)外接球半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(a＋b－c,2)＝eq\f(ab,a＋b＋c)內(nèi)切球半徑r＝eq\f(S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＋S△ABC,a＋b＋c)6、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比：等差數(shù)列{an}（公差為d）等比數(shù)列{bn}（公比為q）通項：an＝a1＋(n－1)d通項：bn＝b1·qn－1am－an＝(m－n)deq\f(bm,bn)＝qm－n若a1＝0，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at＝(t－1)as若b1＝0，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有bts－1＝bst－1若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，則am＋an＝ap＋ar若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，則bm·bn＝bp·br若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，am＋an＝2ap若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，bm·bn＝bp2Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列前n項和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n(a1＋an),2)前n項積：Tn＝b1·b2·…·bn＝eq\r((b1·bn)n)若ak＝0，2k＞n＋1，k，n∈N*則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－n－1若bk＝1，2k＞n＋1，k，n∈N*則有b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b2k－n－1若cn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，則數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列若dn＝eq\r(n,b1·b2·…·bn)，則數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列若cn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，則數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列.若dn＝(b1·eqb\o(\s\up1(2),\s\do1(2))·eqb\o(\s\up1(3),\s\do1(3))·…·eqb\o(\s\up1(n),\s\do1(n)))eq\s\up6(\f(1,1＋2＋3＋…＋n))，則數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列.7、橢圓與雙曲線的類比：橢圓雙曲線xxA1B1B2F1A2F2H2H1OyFF1F2OyxA1A2B2B1H2H1eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）焦半徑：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0焦半徑：左支上|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)右支上|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a通徑：︱H1H2︱＝eq\f(2b2,a)通徑：︱H1H2︱＝eq\f(2b2,a)P是橢圓上一點，∠F1PF2＝，則Seq\s\do3(△PF1F2)＝b2taneq\f(,2)P是雙曲線上一點，∠F1PF2＝，則Seq\s\do3(△PF1F2)＝b2coteq\f(,2)P是橢圓上一點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則以PF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2內(nèi)切，如下圖：PPFP是雙曲線上一點，F(xiàn)是雙曲線的一個焦點，則以PF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2內(nèi)切或外切，如下圖：PPF1F2過橢圓上一點(x0，y0)的切線方程為：eq\f(\o(x0x),a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1過雙曲線上一點(x0，y0)的切線方程為：eq\f(\o(x0x),a2)－eq\f(y0y,b2)＝1若P0(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）外，過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.若P0(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）外，過P0作雙曲線的兩條切線的切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.橢圓的焦點△PF1F2的旁切圓圓心M的軌跡是過長軸的端點且垂直于長軸的直線.PPF1F2M雙曲線的焦點△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的軌跡是過實軸的端點且垂直于實軸的直線.PPF1F2AB是橢圓的長軸，O是橢圓的中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的的焦點，直線AC，BD是橢圓過A、B的切線，P是橢圓上任意一點，CD是過P的切線，則有PF1·PF2＝PC·PDAB是雙曲線的實軸，O是雙曲線的中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的的焦點，直線AC，BD是雙曲線過A、B的切線，P是雙曲線上任意一點，CD是過P的切線，則有PF1·PF2＝PC·PD數(shù)列中的類比推理例1（2000年上海卷）在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式成立.分析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.一種較本質(zhì)的認(rèn)識是：等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述（若且則）；等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述（若且則）.由此，猜測本題的答案為：事實上，對等差數(shù)列，如果，則.所以有：）（）.從而對等比數(shù)列，如果，則有等式：成立.評注本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運用類比的思想方法由等差數(shù)列而得到等比數(shù)列的新的一般性的結(jié)論。例2（2004年北京高考題）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為，這個數(shù)列的前項和的計算公式為.分析由等和數(shù)列的定義，易知，（=1，2，…），故.當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.評注本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識及其數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。例6在計算“”時，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項：由此得…相加得類比上述方法，請你計算“”，其結(jié)果為

．解析：類比已知可得：…相加，得函數(shù)中的類比推理例3（2003年上海春招高考題）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法，可求得的值為.分析此題利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算：，，，發(fā)現(xiàn)正好是一個定值，，.２．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋f(4)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝___７／２___３.已知函數(shù)的對稱中心為M，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，則有。若函數(shù)，則可求得：-8054.二、在函數(shù)中的應(yīng)用例3如圖所示，對于函數(shù)上任意兩點，，線段必在曲線段的上方，設(shè)點分向量的比為，則由圖象中點在點的上方可得不等式。請分析函數(shù)的圖象，類比上述不等式可以得到的不等式是

．解析：首先弄清不等式的來歷，由圖象知的圖象，在上圖象下凹知，，，所以點的縱坐標(biāo)是，而與的橫坐標(biāo)都是，而點在曲線上，點在曲線上方，所以>而如圖所示函數(shù)，在上圖像上凸，所以，即：三、排列組合中的類比推理例5（2002年上海高考題）規(guī)定：，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣.求的值；組合數(shù)的兩個性質(zhì)（）是否都能推廣到（是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；（3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時，.分析本題“新的規(guī)定（是正整數(shù)）”是組合數(shù)（是正整數(shù)，且）的一種推廣.這個結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中沒有的，目的是考查考生對相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺運用以及創(chuàng)新思維能力.解：（1）根據(jù)新規(guī)定直接進行演算即可（2）性質(zhì)①不能推廣.反例：當(dāng)時，有意義，但無意義.性質(zhì)②能推廣，且推廣形式不變：是正整數(shù)）.證明如下：===（3）需要就與的大小作出邏輯劃分并進行嚴(yán)密的論證.當(dāng)時，都是正整數(shù)，就是組合數(shù)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時，，結(jié)論也成立；當(dāng)時，，是正整數(shù)，故.綜上所述，當(dāng)，是正整數(shù)時，.例6（2003年上海高考題）已知數(shù)列（為正整數(shù)）的首項為，公比為的等比數(shù)列.求和：；.由（1）的結(jié)果，歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明.分析本題由（1）的結(jié)論，通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結(jié)論：（1）=，.（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.（證明略）解析幾何中的類比推理例10（2001年上海高考題）已知兩個圓：，①與②則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為.分析將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：設(shè)圓的方程為，③與④其中或，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程.評注本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。例11（2003年上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，