MATLAB計算四類數(shù)學(xué)物理方程的舉例求解課件

數(shù)學(xué)物理建模與計算機輔助設(shè)計第5章四類數(shù)學(xué)物理方程的求解舉例1數(shù)學(xué)物理建模與計算機輔助設(shè)計第5章四類數(shù)學(xué)物理方程的求解舉本章內(nèi)容§5.1求解本征值型數(shù)學(xué)物理方程§5.2求解穩(wěn)定型數(shù)學(xué)物理方程§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程本章內(nèi)容§5.1求解本征值型數(shù)學(xué)物理方程本征值問題簡介用分離變量法解數(shù)學(xué)物理方程的時候，最后都會歸結(jié)到求解本征值問題上去。在利用本征函數(shù)系展開法求解數(shù)學(xué)物理方程的時候，需要對所用的本征函數(shù)系有較好的理解在本部分中講介紹一維和二維本征值問題和相應(yīng)的本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征值問題簡介用分離變量法解數(shù)學(xué)物理方程的時候，最后都會歸結(jié)一維本征值問題一維波動方程

令則分離變量可得§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題一維波動方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方一維本征值問題一維熱傳導(dǎo)方程令分離變量可得§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題一維熱傳導(dǎo)方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理一維本征值問題二維拉普拉斯方程令分離變量可得§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題二維拉普拉斯方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物一維本征值問題特點：分離變量后的方程都是一元一階或二階常微分方程一階常微分方程表明變量是衰減的，具有阻尼，即解中具有e的負指數(shù)因子二階常微分方程表明變量是振蕩的，將具有一次或多次倍頻的正弦或余弦的形式，即為本征函數(shù)。這兒的頻率既可以指空間頻率，也可指時間頻率。下面講解二階常微分方程獲得的本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題特點：§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界上都是第一類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界上都是第二類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界中左邊界是第一類邊界條件，右邊界上是第二類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界中左邊界是第二類邊界條件，右邊界上是第一類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的本征函數(shù)系圖像>>x=0:0.001:1;(p65)>>A=sin(pi*[1:4]'*x);>>B=cos(pi*(0:3)'*x);>>C=sin(pi*(1/2:7/2)'*x);>>D=cos(pi*(1/2:7/2)'*x);>>subplot(4,1,1);plot(x,A);>>subplot(4,1,2);plot(x,B);>>subplot(4,1,3);plot(x,C);>>subplot(4,1,4);plot(x,D);采用了矢量化技術(shù)§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系圖像>>x=0:0.001:1;本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)functionzb%存儲于文件zb.m中(p65)t=0:0.005:2.0;x=0:0.001:1;ww1=wfun(1,0);ww2=wfun(2,0);ww3=wfun(3,0);ww4=wfun(4,0);ymax1=max(abs(ww1));figuresubplot(2,1,1);h1=plot(x,ww1,'r','linewidth',5);holdon;h3=plot(x,ww3,'g','linewidth',5);axis([01–ymax1ymax1]);ymax4=max(abs(ww4));subplot(2,1,2);h2=plot(x,ww2,'r','linewidth',5);holdon;h4=plot(x,ww4,'g','linewidth',5);axis([01–ymax4ymax4]);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)functionzb本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)forn=2:length(t)ww1=wfun(1,t(n));set(h1,'ydata',ww1);ww3=wfun(3,t(n));set(h3,'ydata',ww3);drawnowww2=wfun(2,t(n));set(h2,'ydata',ww2);ww4=wfun(4,t(n));set(h4,'ydata',ww4);drawnowendfunctionwtx=wfun(k,t)%調(diào)用函數(shù)存儲于wfun.m中x=0:0.001:1;a=1;wtx=cos(k*pi*a*t).*sin(k*pi*x);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)forn=2:length(本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)functionsfb%存放于sfb.m中(p67)x=0:0.01:1;t=1e-5:0.0001:0.005;ww1=sfbf(1,t(1));ww2=sfbf(2,t(1));ww3=sfbf(3,t(1));ww4=sfbf(4,t(1));ymax3=max(abs(ww3));figuresubplot(2,1,1);h1=plot(x,ww1,'r','linewidth',3);holdon;h3=plot(x,ww3,'g','linewidth',3);axis([01–ymax3ymax3]);ymax4=max(abs(ww4));subplot(2,1,2);h2=plot(x,ww2,'r','linewidth',3);holdon;h4=plot(x,ww4,'g','linewidth',3);axis([01–ymax4ymax4]);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)functionsfb本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)forn=2:length(t)ww1=sfbf(1,t(n));set(h1,'ydata',ww1);ww3=sfbf(3,t(n));set(h3,'ydata',ww3);drawnowww2=sfbf(2,t(n));set(h2,'ydata',ww2);ww4=sfbf(4,t(n));set(h4,'ydata',ww4);drawnowendfunctioncht=sfbf(k,t)%調(diào)用函數(shù)存儲于wfun.m中x=0:0.01:1;cht=sin(k*pi*x).*exp(-k^2*pi^2*2^2*t);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)forn=2:length二維本征值問題：矩形區(qū)域情況矩形區(qū)域的本征模與本征振動邊長為b和c的的四周固定的矩形本征模的本征值問題為采用分離變量法可以得到本征模和本征值為§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況矩形區(qū)域的本征模與本征振動§5.二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的圖形(p70_1.m)a=2;b=1;[m,n]=meshgrid(1:3);L=((m*pi./b).^2+(n*pi./b).^2);x=0:0.01:a;y=0:0.01:b;[X,Y]=meshgrid(x,y);w11=sin(pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w12=sin(2*pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w21=sin(pi*Y./b).*sin(2*pi*X./a);w22=sin(pi*Y./b).*sin(3*pi*X./a);figuresubplot(2,2,1);mesh(X,Y,w11);subplot(2,2,2);mesh(X,Y,w12);subplot(2,2,3);mesh(X,Y,w21);subplot(2,2,4);mesh(X,Y,w22);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的圖形(二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的運動圖形：波動圖形波動問題中的時間因子的形式為這里的不妨取其中的正弦項加以展示functionp71_1%p71_1.mb=2;c=1;x=0:0.02:b;y=0:0.02:c;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=zeros(51,51);p=moviein(2*3*60);form=1:2forn=1:3fori=1:60a=sqrt((m*pi/c).^2+(n*pi/b).^2);Z=sin(a*i*.02*pi)*sin(m*pi*Y./c).*sin(n*pi*X./b);mesh(X,Y,Z)

t=['本征振動：','m=',int2str(m),'n=',int2str(n)];title(t);axis([0b0c-11]);p(:,((m-1)*3+(n-1))*60+i)=getframe;endendendMOVIE2AVI(p,'D:\A.avi')§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的運動圖形二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：圓形區(qū)域情況半徑為

周邊固定的圓形膜的本征問題是本征模是其中下面討論第一類其次邊界條件下的本征值情形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況半徑為周邊固定的圓形膜的二維本征值問題：圓形區(qū)域情況m=0，n=0,1,2,3的貝塞爾函數(shù)的前4個本征函數(shù)圖形r=0:0.01:1;%(p71_1.m)y=inline('besselj(0,x)','x');x(1)=fzero(y,1);plot(r,y(x(1)*r))holdonfork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+3);plot(r,y(x(k+1)*r));end§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況m=0，n=0,1,2,3的貝塞二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=0，n=0,1,2,34個本征模圖形(p75_1.m)[XX,YY]=meshgrid(-1:0.01:1);[Q,R]=cart2pol(XX,YY);R(find(R>1))=NaN;y=inline('besselj(0,x)','x');x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R))fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R));end§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=0，n=0,1,2,3二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=1，n=0,1,2,3的4個本征模圖形(p76_1.m)[XX,YY]=meshgrid(-1:0.01:1);[Q,R]=cart2pol(XX,YY);R(find(R>1))=NaN;y=inline('besselj(1,x)','x');x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R).*sin(Q))fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R).*sin(Q));end§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=1，n=0,1,2,3二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=2，n=0,1,2,3的4個本征模圖形[XX,YY]=meshgrid(-1:0.01:1);[Q,R]=cart2pol(XX,YY);R(find(R>1))=NaN;y=inline('besselj(2,x)','x');x(1)=fzero(y,4);meshc(XX,YY,y(x(1)*R).*sin(2*Q))fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R).*sin(2*Q));end§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=2，n=0,1,2,3二維本征值問題：圓形區(qū)域情況用PDE工具箱求解步驟命令窗口中鍵入pdetool進入PDE工具箱界面以原點為中心繪一個半徑為1的圓選擇方程類型為Eigenmodes，參數(shù)c=1,a=0,d=1邊界條件設(shè)置為固定（默認）細分網(wǎng)格設(shè)置求解參數(shù)中本征值搜索范圍為0~100打開作圖對話框選擇需要作圖的類型和本征值，并作圖二維本征值問題：圓形區(qū)域情況用PDE工具箱求解二維本征值問題：球函數(shù)的圖形實數(shù)形式的球函數(shù)其中是連帶勒讓德函數(shù)。復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形實數(shù)形式的球函數(shù)§5.1求解本二維本征值問題：球函數(shù)的圖形球函數(shù)的圖形球函數(shù)是在球面上的二元函數(shù)，它是從球函數(shù)方程的本征問題中得到的本征函數(shù)系。球函數(shù)的圖形是空間圖形，為了畫出其圖形，必須指定球的半徑對復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)，必須對其實部和虛部分別作圖可以用角變量作為平面上的x、y軸的變量畫出球函數(shù)圖§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值二維本征值問題：球函數(shù)的圖形l=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;%(p81_1.m)theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;[phi,theta]=meshgrid(phi,theta0);Ymn=legendre(l,cos(theta0));Ymn=Ymn(m+1,:)';L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);Imyy=yy.*sin(m*phi);ReM=max(max(abs(Reyy)));Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rex=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形l=3;m=2;R=4;A二維本征值問題：球函數(shù)的圖形subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('實球諧函數(shù)');ImM=max(max(abs(Imyy)));Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM==0));Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imx=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('虛球諧函數(shù)');§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形subplot(1,2,1);二維本征值問題：球函數(shù)的圖形figuresubplot(3,1,1);surf(theta,phi,Reyy);xlabel('\theta');ylabel('\phi');subplot(3,1,2);surf(theta,phi,Imyy);xlabel('\theta');ylabel('\phi');subplot(3,1,3);surf(theta,phi,(Reyy.^2+Imyy.^2));xlabel('\theta');ylabel('\phi');§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形figure§5.1求解本征值二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：球函數(shù)的圖形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：拉普拉斯方程矩形區(qū)域的拉普拉斯方程求解方法：利用PDE工具箱§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：拉普拉斯方程矩形區(qū)域的拉普拉斯方程§5.1二維本征值問題：拉普拉斯方程采用Heattransfer類型的時候，此類方程屬于橢圓型方程采用Genericscalar類型的時候，此類方程為§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：拉普拉斯方程采用Heattransfer類二維本征值問題：拉普拉斯方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：拉普拉斯方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維拉普拉斯方程問題1：陽光照射的圓柱的溫度分布半徑為a，表面熏黑的均勻長圓柱，在溫度為零的空氣中受陽光的照射，陽光垂直于柱軸，熱流強度為q，試求柱內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布定解問題是其中§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程二維拉普拉斯方程問題1：陽光照射的圓柱的溫度分布§5.2二維拉普拉斯方程問題的解析解為a=1;H=1.5;k=0.3;h=0.2;q=5;N=20;%(p91_1.m)p=0:0.05:1;theta=0:pi/30:2*pi;[Th,P]=meshgrid(theta,p);[X,Y]=pol2cart(Th,P);z=0;u0=q/H/pi+1/(k+H*a)*q/2.*P.*sin(Th);forn=1:Nzz=2*q/pi/a^(2*n-1)/(2*n*k+a*H)/(1-4*n^2)*P.^(2*n).*cos(2*n*Th);z=z+zz;end§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程二維拉普拉斯方程問題的解析解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物二維拉普拉斯方程u=u0+z;figure(1);surfc(X,Y,u);figure(2);contour3(X,Y,u,20);§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程二維拉普拉斯方程u=u0+z;§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物二維拉普拉斯方程可用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程二維拉普拉斯方程可用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的二維拉普拉斯方程問題2：云與大地間的電纜帶電的云與大地間存在一個均勻的電場，平行于大地的電纜相當于無限長導(dǎo)體。在平行于電場的方向作垂直于電纜的截面，研究截面上的電勢分布?！?.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程二維拉普拉斯方程問題2：云與大地間的電纜§5.2求解穩(wěn)定三維拉普拉斯方程問題1：靜電場中的介質(zhì)球在電場強度為E的靜電場中放置均勻的介質(zhì)球，球的半徑是r0，介電常數(shù)為ε，求介質(zhì)球內(nèi)外的電場強度?！?.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題1：靜電場中的介質(zhì)球§5.2求解穩(wěn)定三維拉普拉斯方程問題2：帶有電荷的細圓環(huán)的電場均勻細圓環(huán)，半徑為a，環(huán)上帶有4πε0q的單位電荷，求空間的電勢分布該問題可用三種計算機方法求解(1)對解析解可視化(2)用PDE工具箱求解(3)直接用數(shù)值計算方法計算§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題2：帶有電荷的細圓環(huán)的電場§5.2求三維拉普拉斯方程(1)解析解的可視化(p94_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)解析解的可視化(p94_1.m)§三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解(重點講解)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解(重點講解)§三維拉普拉斯方程(3)用數(shù)值積分法求解(p97_1.m)(重點講解)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(3)用數(shù)值積分法求解(p97_1.m)三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題3：均勻圓盤的引力勢質(zhì)量均勻的圓盤半徑為a，質(zhì)量為M，求它在空間的引力勢定解問題是

§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題3：均勻圓盤的引力勢§5.2求解穩(wěn)定三維拉普拉斯方程(1)解析解的MATLAB可視化(p100_1.m)問題的解析解是：§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)解析解的MATLAB可視化(p三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程問題4：環(huán)形電流磁感應(yīng)強度圓線圈的半徑為a，通有電流I，求空間任意一點的磁感應(yīng)強度B(1)用連帶勒讓德函數(shù)表示解析解，再用MATLAB可視化(2)用橢圓函數(shù)表示解析解，再用MATLAB可視化(3)用數(shù)值積分方法可視化§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題4：環(huán)形電流磁感應(yīng)強度§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程(1)用連帶勒讓德函數(shù)表示解析解(p104_1.m)解析解表示為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)用連帶勒讓德函數(shù)表示解析解(p1三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)利用橢圓函數(shù)表示解析表達式利用畢奧—薩伐爾定律可以得到環(huán)形電流在空間的磁感應(yīng)強度的解析表達式§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)利用橢圓函數(shù)表示解析表達式§5.2三維拉普拉斯方程其中E和K是橢圓函數(shù)(p107_1.m)查找p109的程序在MATLAB中計算橢圓函數(shù)的指令為ellipke§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程其中E和K是橢圓函數(shù)§5.2求解穩(wěn)定型的三維拉普拉斯方程(3)利用數(shù)值積分求磁感應(yīng)強度(p112_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(3)利用數(shù)值積分求磁感應(yīng)強度(三維拉普拉斯方程利用畢奧—薩伐爾定律可以直接給出表達式取x=0，畫出y-z平面上的磁感應(yīng)強度分布?？傻玫健?.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程利用畢奧—薩伐爾定律可以直接給出表達式§5三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題5：柱體內(nèi)溫度場分布之一(Jv的應(yīng)用)半徑為b高度為h的圓柱體，其側(cè)面絕熱，下底溫度保持零度，上底溫度為，求圓柱體內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布。這個定解問題是此問題的解是§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題5：柱體內(nèi)溫度場分布之一(Jv的應(yīng)用)§三維拉普拉斯方程取b=1.5，u0=1，h=0.5，需計算貝塞爾函數(shù)的零點(1)用MATLAB對解析解可視化(p115_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程取b=1.5，u0=1，h=0.5，需計算貝三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程問題6：柱體內(nèi)溫度場分布之二(Jv的應(yīng)用)均勻圓柱，半徑為，高L，下底面和側(cè)面保持零度，上底面上溫度分布為，求解柱內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布。定解問題是問題的解是§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題6：柱體內(nèi)溫度場分布之二(Jv的應(yīng)用)§三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p117_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p1三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程問題7：柱體內(nèi)溫度場分布之三(I0的應(yīng)用)勻質(zhì)圓柱，半徑為，高L，柱側(cè)有均勻分布的熱流進入，其強度為q0。圓柱上下底面保持為恒溫度u0。求解柱內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布。令，則定解條件為解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題7：柱體內(nèi)溫度場分布之三(I0的應(yīng)用)§三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對數(shù)值解可視化(p120_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對數(shù)值解可視化(p1三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程問題8：柱體內(nèi)溫度場分布之三(I0的應(yīng)用)勻質(zhì)圓柱，半徑為，高L，上下底面溫度分別為u1和u2，側(cè)面溫度為。求解柱內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布。定解問題是解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題8：柱體內(nèi)溫度場分布之三(I0的應(yīng)用)§三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p122_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p1三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程問題9：電子透鏡(J0和I0的應(yīng)用)電子透鏡的某一部件由兩個中空柱筒組成，其電勢分別為+Q0和-Q0，在中間縫隙邊緣電勢近似為。求圓柱筒內(nèi)的電勢分布圓筒內(nèi)半徑為。§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題9：電子透鏡(J0和I0的應(yīng)用)§5.三維拉普拉斯方程定解問題是§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程定解問題是§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方三維拉普拉斯方程令，該問題可以分解成兩個問題§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程令三維拉普拉斯方程相應(yīng)的解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程相應(yīng)的解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p125_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p12三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)三維拉普拉斯方程問題10：柱體外的電勢(K0的應(yīng)用)半徑為高為L的導(dǎo)體圓柱殼，上下底面和側(cè)面被絕緣物質(zhì)隔離開來，柱殼側(cè)面的電勢為z，上下接地，求柱體外的靜電場的電勢分布。定解問題是方程的解析解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程問題10：柱體外的電勢(K0的應(yīng)用)§5.三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p128_1.m)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(1)用MATLAB對解析解可視化(p1三維拉普拉斯方程(2)利用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)利用PDE工具箱求解§5.2求解三維拉普拉斯方程泊松方程和格林函數(shù)矩形區(qū)域泊松方程在矩形區(qū)域0<x<a，-b/2<y<b/2上求解泊松方程，邊界值為零。泊松方程為定解問題為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程泊松方程和格林函數(shù)§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)三維拉普拉斯方程定解問題的解為(1)MATLAB對解析函數(shù)可視化§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程定解問題的解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程三維拉普拉斯方程(2)用PDE工具箱求解§5.2求解穩(wěn)泊松方程和格林函數(shù)問題1：球域的格林函數(shù)在半徑為a的導(dǎo)體球內(nèi)(或?qū)w球外)，距球心r0處放置電量為4πε0q的點電荷，求它形成的靜電場定解問題是解析解是§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程泊松方程和格林函數(shù)問題1：球域的格林函數(shù)§5.2求解穩(wěn)定泊松方程和格林函數(shù)(1)球外有一點電荷§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程泊松方程和格林函數(shù)(1)球外有一點電荷§5.2求解穩(wěn)定泊松方程和格林函數(shù)(2)球內(nèi)有一點電荷§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程泊松方程和格林函數(shù)(2)球內(nèi)有一點電荷§5.2求解穩(wěn)定泊松方程和格林函數(shù)問題2：圓域的格林函數(shù)在半徑為a的圓外，距圓心r0處放置電量為4πε0q的點電荷，求它形成的靜電場定解問題是問題的解析解為§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程泊松方程和格林函數(shù)問題2：圓域的格林函數(shù)§5.2求解穩(wěn)定泊松方程和格林函數(shù)(1)圓外區(qū)域電荷§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程泊松方程和格林函數(shù)(1)圓外區(qū)域電荷§5.2求解穩(wěn)定型泊松方程和格林函數(shù)(2)圓內(nèi)區(qū)域電荷§5.2求解穩(wěn)定型的數(shù)學(xué)物理方程泊松方程和格林函數(shù)(2)圓內(nèi)區(qū)域電荷§5.2求解穩(wěn)定型一維熱傳導(dǎo)問題問題1：無限長細桿熱傳導(dǎo)利用Fourier變換求解得到的解為其中初始溫度分布為§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題問題1：無限長細桿熱傳導(dǎo)§5.3求解熱傳導(dǎo)一維熱傳導(dǎo)問題(1)用瀑布圖來描述xx=-10:0.5:10; tt=0.01:0.1:1; tau=0:0.01:1; a=2;[X,T,TAU]=meshgrid(xx,tt,tau);F=1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).^2/4/2^2./T);js=0.5*trapz(F,3);waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js)§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題(1)用瀑布圖來描述§5.3求解熱傳導(dǎo)型一維熱傳導(dǎo)問題(2)用動畫描述figureh=plot(xx',js(1,:));set(h,'erasemode','xor');forj=2:10set(h,'ydata',js(j,:));drawnowpause(0.1)end§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題(2)用動畫描述§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)一維熱傳導(dǎo)問題問題2：有限長細桿熱傳導(dǎo)(第一類邊界條件)取所得的解析解為§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題問題2：有限長細桿熱傳導(dǎo)(第一類邊界條件)§一維熱傳導(dǎo)問題(1)用MATLAB對解析解可視化§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題(1)用MATLAB對解析解可視化§5.3一維熱傳導(dǎo)問題(2)用PDE工具箱進行求解仿真§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題(2)用PDE工具箱進行求解仿真§5.3一維熱傳導(dǎo)問題問題3：輸運問題解析解是§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題問題3：輸運問題§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物一維熱傳導(dǎo)問題(1)對解析解進行MATLAB可視化§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題(1)對解析解進行MATLAB可視化§5.一維熱傳導(dǎo)問題§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程(2)用數(shù)值計算方法計算一維熱傳導(dǎo)問題§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程(2)用一維熱傳導(dǎo)問題問題4：第三類邊界條件下的細桿導(dǎo)熱問題此問題的解析解為§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維熱傳導(dǎo)問題問題4：第三類邊界條件下的細桿導(dǎo)熱問題§5.二維熱傳導(dǎo)問題問題1：定解問題§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程二維熱傳導(dǎo)問題問題1：§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題問題1：球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題之一(j0的應(yīng)用)半徑為r0的勻質(zhì)球放在溫度為U0的烘箱中，初始時刻球體的溫度為u0，求此后球內(nèi)的溫度變化情況令，定解問題是此問題的解為§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題問題1：球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題之一(j0的應(yīng)用)§三維熱傳導(dǎo)問題用MATLAB進行可視化§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題用MATLAB進行可視化§5.3求解熱傳導(dǎo)三維熱傳導(dǎo)問題問題2：柱體內(nèi)的熱傳導(dǎo)半徑為的圓柱高為L，側(cè)面和下底面的溫度保持為u0，上底面絕熱，初始溫度為。求此后球內(nèi)的溫度u變化情況§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題問題2：柱體內(nèi)的熱傳導(dǎo)§5.3求解熱傳導(dǎo)型三維熱傳導(dǎo)問題其解析解為其中§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題其解析解為§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題問題3：球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)半徑為的均勻球，初始溫度分布為，保持球面的溫度為0讓它冷卻，求球內(nèi)各點的溫度變化情況定解問題是解析解為§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題問題3：球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)§5.3求解熱傳導(dǎo)型三維熱傳導(dǎo)問題其中§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程三維熱傳導(dǎo)問題其中§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題問題1：無限長弦的自由振動定解問題的解為(達朗貝爾公式)§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題問題1：無限長弦的自由振動§5.4求解波動型一維波動問題達朗貝爾公式的物理意義達朗貝爾公式可以理解為兩個完全決定于初始條件的函數(shù)F2(x-at)表示弦上質(zhì)點的振動所構(gòu)成的外形函數(shù)，此外形以常速度a向x軸正方向傳播，表示正向波(右行波)F1(x+at)表示弦上質(zhì)點的振動所構(gòu)成的外形函數(shù)，此外形以常速度a向x軸負方向傳播，表示反向波(左行波)達朗貝爾公式表明：

由任意初始擾動引起的自由弦振動總是以行波的形式向正、反兩個方向傳播，其中傳播速度等于泛定方程中的常數(shù)a§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題達朗貝爾公式的物理意義§5.4求解波動型數(shù)學(xué)一維波動問題(1)初位移不為零，初速度為零。設(shè)初始條件為由達朗貝爾公式得§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(1)初位移不為零，初速度為零。設(shè)初始條件為§一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(2)初位移為零，初速度不為零。設(shè)初始條件為由達朗貝爾公式得§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(2)初位移為零，初速度不為零。設(shè)初始條件為§一維波動問題根據(jù)初始條件可以得到§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題根據(jù)初始條件可以得到§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題問題2：兩端固定的弦的振動問題問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題問題2：兩端固定的弦的振動問題§5.4求解波一維波動問題(1)初始位移不為零，初始速度為零。設(shè)初始條件為方法I：解析解法§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(1)初始位移不為零，初始速度為零。設(shè)初始條件為一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法II：差分法得到數(shù)值解參數(shù)網(wǎng)格化微分方程改差分方程整理差分方程得到遞推關(guān)系式§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法II：差分法得到數(shù)值解§5.4求解波動型一維波動問題初始條件處理邊界條件處理§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題初始條件處理§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法III：用PDE工具箱仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法III：用PDE工具箱仿真§5.4求解波一維波動問題(2)初始位移任意，初始速度為零。設(shè)初始條件為可用差分法求數(shù)值解§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(2)初始位移任意，初始速度為零。設(shè)初始條件為§一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(3)初始位移為零，初始速度不為零。設(shè)初始條件為其解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(3)初始位移為零，初始速度不為零。設(shè)初始條件為一維波動問題方法I：解析解直接可視化§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法I：解析解直接可視化§5.4求解波動型數(shù)一維波動問題方法II：用差分法進行數(shù)值計算仿真初始條件邊界條件§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法II：用差分法進行數(shù)值計算仿真§5.4求一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(4)初始位移不為零，初始速度為零，且有阻尼。設(shè)定解問題用差分法進行仿真泛定方程初始條件邊界條件§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(4)初始位移不為零，初始速度為零，且有阻尼。設(shè)一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(5)初始位移為零，初始速度為零，有驅(qū)動。設(shè)定解問題該問題可以用傅立葉級數(shù)法、沖量定理法或格林函數(shù)法求解其解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(5)初始位移為零，初始速度為零，有驅(qū)動。設(shè)定解一維波動問題方法I：解析解直接可視化§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法I：解析解直接可視化§5.4求解波動型數(shù)一維波動問題方法II：用PDE工具箱求解仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題方法II：用PDE工具箱求解仿真§5.4求解一維波動問題(5)初始位移和初始速度都為零，有驅(qū)動和阻尼。設(shè)定解問題寫出差分方程初位移為零初速度為零§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題(5)初始位移和初始速度都為零，有驅(qū)動和阻尼。設(shè)一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程一維波動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程二維波動問題問題1：矩形膜的振動§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程二維波動問題問題1：矩形膜的振動§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物二維波動問題定解問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程二維波動問題定解問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理二維波動問題采用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程二維波動問題采用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)二維波動問題問題2：圓形膜的振動定解問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程二維波動問題問題2：圓形膜的振動§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物二維波動問題用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程二維波動問題用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)三維振動問題問題1：柱體內(nèi)的振動勻質(zhì)圓柱，半徑為，高為L，上下底面固定，側(cè)面自由，初始位移為零，初始速度為，求柱內(nèi)各處的振動情況§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題1：柱體內(nèi)的振動§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物三維振動問題問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題2：柱體外的振動問題之一半徑為的長柱面，其徑向速度分布為，試求解這個長圓柱在空氣中輻射出去的聲場中的速度勢。設(shè)圓柱半徑遠小于聲波波長。定解問題是問題的解析解是§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題2：柱體外的振動問題之一§5.4求解波動三維振動問題遠場區(qū)域的漸近解為采用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題遠場區(qū)域的漸近解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理三維振動問題問題3：柱體外的振動問題之二半徑為長柱面，徑向速度分布為試求解這個長圓柱在空氣中輻射出去的聲場中的速度勢。設(shè)圓柱半徑遠小于聲波波長。定解問題是問題的解析解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題3：柱體外的振動問題之二§5.4求解波動三維振動問題遠場區(qū)域的漸近解為采用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題遠場區(qū)域的漸近解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理三維振動問題問題4：偶極聲源半徑為的球面，其徑向速度分布為試求解這個球面所發(fā)射的穩(wěn)恒振動的速度勢u。設(shè)球半徑遠小于聲波波長。定解問題為問題的解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題4：偶極聲源§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方三維振動問題遠場區(qū)域的漸近解為(1)采用MATLAB直接可視化§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題遠場區(qū)域的漸近解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理三維振動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題(2)采用PDE工具箱進行仿真§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題(2)采用PDE工具箱進行仿真§5.4求解三維振動問題問題5：四極聲源半徑為的球面，其徑向速度分布為試求解這個球面所發(fā)射的穩(wěn)恒振動的速度勢u。設(shè)球半徑遠小于聲波波長。定解問題為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題5：四極聲源§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方三維振動問題問題的解為在遠場近似解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題問題的解為§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題(1)用MATLAB對解析解可視化§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題(1)用MATLAB對解析解可視化§5.4三維振動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題(2)用PDE工具箱求解問題§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程三維振動問題(2)用PDE工具箱求解問題§5.4求解波數(shù)學(xué)物理建模與計算機輔助設(shè)計第5章四類數(shù)學(xué)物理方程的求解舉例173數(shù)學(xué)物理建模與計算機輔助設(shè)計第5章四類數(shù)學(xué)物理方程的求解舉本章內(nèi)容§5.1求解本征值型數(shù)學(xué)物理方程§5.2求解穩(wěn)定型數(shù)學(xué)物理方程§5.3求解熱傳導(dǎo)型數(shù)學(xué)物理方程§5.4求解波動型數(shù)學(xué)物理方程本章內(nèi)容§5.1求解本征值型數(shù)學(xué)物理方程本征值問題簡介用分離變量法解數(shù)學(xué)物理方程的時候，最后都會歸結(jié)到求解本征值問題上去。在利用本征函數(shù)系展開法求解數(shù)學(xué)物理方程的時候，需要對所用的本征函數(shù)系有較好的理解在本部分中講介紹一維和二維本征值問題和相應(yīng)的本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征值問題簡介用分離變量法解數(shù)學(xué)物理方程的時候，最后都會歸結(jié)一維本征值問題一維波動方程

令則分離變量可得§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題一維波動方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方一維本征值問題一維熱傳導(dǎo)方程令分離變量可得§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題一維熱傳導(dǎo)方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理一維本征值問題二維拉普拉斯方程令分離變量可得§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題二維拉普拉斯方程§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物一維本征值問題特點：分離變量后的方程都是一元一階或二階常微分方程一階常微分方程表明變量是衰減的，具有阻尼，即解中具有e的負指數(shù)因子二階常微分方程表明變量是振蕩的，將具有一次或多次倍頻的正弦或余弦的形式，即為本征函數(shù)。這兒的頻率既可以指空間頻率，也可指時間頻率。下面講解二階常微分方程獲得的本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題特點：§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界上都是第一類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界上都是第二類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界中左邊界是第一類邊界條件，右邊界上是第二類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系求解本征值問題注意到這里的兩個邊界中左邊界是第二類邊界條件，右邊界上是第一類齊次邊界條件。其本征值和本征函數(shù)分別是§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程一維本征值問題的本征函數(shù)系本征函數(shù)系§5.1求解本征值型的本征函數(shù)系圖像>>x=0:0.001:1;(p65)>>A=sin(pi*[1:4]'*x);>>B=cos(pi*(0:3)'*x);>>C=sin(pi*(1/2:7/2)'*x);>>D=cos(pi*(1/2:7/2)'*x);>>subplot(4,1,1);plot(x,A);>>subplot(4,1,2);plot(x,B);>>subplot(4,1,3);plot(x,C);>>subplot(4,1,4);plot(x,D);采用了矢量化技術(shù)§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系圖像>>x=0:0.001:1;本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)functionzb%存儲于文件zb.m中(p65)t=0:0.005:2.0;x=0:0.001:1;ww1=wfun(1,0);ww2=wfun(2,0);ww3=wfun(3,0);ww4=wfun(4,0);ymax1=max(abs(ww1));figuresubplot(2,1,1);h1=plot(x,ww1,'r','linewidth',5);holdon;h3=plot(x,ww3,'g','linewidth',5);axis([01–ymax1ymax1]);ymax4=max(abs(ww4));subplot(2,1,2);h2=plot(x,ww2,'r','linewidth',5);holdon;h4=plot(x,ww4,'g','linewidth',5);axis([01–ymax4ymax4]);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)functionzb本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)forn=2:length(t)ww1=wfun(1,t(n));set(h1,'ydata',ww1);ww3=wfun(3,t(n));set(h3,'ydata',ww3);drawnowww2=wfun(2,t(n));set(h2,'ydata',ww2);ww4=wfun(4,t(n));set(h4,'ydata',ww4);drawnowendfunctionwtx=wfun(k,t)%調(diào)用函數(shù)存儲于wfun.m中x=0:0.001:1;a=1;wtx=cos(k*pi*a*t).*sin(k*pi*x);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(振動問題)forn=2:length(本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)functionsfb%存放于sfb.m中(p67)x=0:0.01:1;t=1e-5:0.0001:0.005;ww1=sfbf(1,t(1));ww2=sfbf(2,t(1));ww3=sfbf(3,t(1));ww4=sfbf(4,t(1));ymax3=max(abs(ww3));figuresubplot(2,1,1);h1=plot(x,ww1,'r','linewidth',3);holdon;h3=plot(x,ww3,'g','linewidth',3);axis([01–ymax3ymax3]);ymax4=max(abs(ww4));subplot(2,1,2);h2=plot(x,ww2,'r','linewidth',3);holdon;h4=plot(x,ww4,'g','linewidth',3);axis([01–ymax4ymax4]);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)functionsfb本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)forn=2:length(t)ww1=sfbf(1,t(n));set(h1,'ydata',ww1);ww3=sfbf(3,t(n));set(h3,'ydata',ww3);drawnowww2=sfbf(2,t(n));set(h2,'ydata',ww2);ww4=sfbf(4,t(n));set(h4,'ydata',ww4);drawnowendfunctioncht=sfbf(k,t)%調(diào)用函數(shù)存儲于wfun.m中x=0:0.01:1;cht=sin(k*pi*x).*exp(-k^2*pi^2*2^2*t);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程本征函數(shù)系運動圖像(熱傳導(dǎo)問題)forn=2:length二維本征值問題：矩形區(qū)域情況矩形區(qū)域的本征模與本征振動邊長為b和c的的四周固定的矩形本征模的本征值問題為采用分離變量法可以得到本征模和本征值為§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況矩形區(qū)域的本征模與本征振動§5.二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的圖形(p70_1.m)a=2;b=1;[m,n]=meshgrid(1:3);L=((m*pi./b).^2+(n*pi./b).^2);x=0:0.01:a;y=0:0.01:b;[X,Y]=meshgrid(x,y);w11=sin(pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w12=sin(2*pi*Y./b).*sin(pi*X./a);w21=sin(pi*Y./b).*sin(2*pi*X./a);w22=sin(pi*Y./b).*sin(3*pi*X./a);figuresubplot(2,2,1);mesh(X,Y,w11);subplot(2,2,2);mesh(X,Y,w12);subplot(2,2,3);mesh(X,Y,w21);subplot(2,2,4);mesh(X,Y,w22);§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的圖形(二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的運動圖形：波動圖形波動問題中的時間因子的形式為這里的不妨取其中的正弦項加以展示functionp71_1%p71_1.mb=2;c=1;x=0:0.02:b;y=0:0.02:c;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=zeros(51,51);p=moviein(2*3*60);form=1:2forn=1:3fori=1:60a=sqrt((m*pi/c).^2+(n*pi/b).^2);Z=sin(a*i*.02*pi)*sin(m*pi*Y./c).*sin(n*pi*X./b);mesh(X,Y,Z)

t=['本征振動：','m=',int2str(m),'n=',int2str(n)];title(t);axis([0b0c-11]);p(:,((m-1)*3+(n-1))*60+i)=getframe;endendendMOVIE2AVI(p,'D:\A.avi')§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況下面繪制前4個本征函數(shù)的運動圖形二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：矩形區(qū)域情況§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理二維本征值問題：圓形區(qū)域情況半徑為

周邊固定的圓形膜的本征問題是本征模是其中下面討論第一類其次邊界條件下的本征值情形§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況半徑為周邊固定的圓形膜的二維本征值問題：圓形區(qū)域情況m=0，n=0,1,2,3的貝塞爾函數(shù)的前4個本征函數(shù)圖形r=0:0.01:1;%(p71_1.m)y=inline('besselj(0,x)','x');x(1)=fzero(y,1);plot(r,y(x(1)*r))holdonfork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+3);plot(r,y(x(k+1)*r));end§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況m=0，n=0,1,2,3的貝塞二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=0，n=0,1,2,34個本征模圖形(p75_1.m)[XX,YY]=meshgrid(-1:0.01:1);[Q,R]=cart2pol(XX,YY);R(find(R>1))=NaN;y=inline('besselj(0,x)','x');x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R))fork=1:3x(k+1)=fzero(y,x(k)+2);figuremeshc(XX,YY,y(x(k+1)*R));end§5.1求解本征值型的數(shù)學(xué)物理方程二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=0，n=0,1,2,3二維本征值問題：圓形區(qū)域情況圓域內(nèi)m=1，