微積分教學(xué)講解課件

微積分微積分第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值第一章函數(shù)集合函數(shù)概念函數(shù)的幾種特性反函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)第一章函數(shù)集合函數(shù)-集合集合是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.通常用大寫拉丁字母表示集合，小寫字母表示元素.a是集合M的元素,記作aM(讀作a屬于M)；a不是集合M的元素,記作aM(讀作a不屬于M).集合定義函數(shù)-集合集合是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體.組成這個(gè)集合函數(shù)-集合例子1.1990年10月1日在南寧市出生的人。2.彩電、電冰箱、VCD。3.x2-5x+6=0的根。集合具有確定性，即對(duì)某一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合是確定的，是或不是二者必居其一。由有限個(gè)元素構(gòu)成的集合，稱為有限集合。由無(wú)限多個(gè)元素構(gòu)成的集合，稱為無(wú)限集合；4.全體偶數(shù)。函數(shù)-集合例子1.1990年10月1日在南寧市出生的人。2函數(shù)-集合集合的表示法1.列舉法：按任意順序列出集合的所有元素,并用{}括起來(lái)。例：由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合A，可表示為：A={2,3}注：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復(fù)。函數(shù)-集合集合的表示法1.列舉法：按任意順序列出集合的所有函數(shù)-集合2.描述法：設(shè)P(a)為某個(gè)與a有關(guān)的條件或法則，A為滿足P(a)的一切a構(gòu)成的集合，記為：A={a|P(a)}例：由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合A，表示為：A={x|x2-5x+6=0}例：全體實(shí)數(shù)組成的集合通常記作R，即：R={x|x為實(shí)數(shù)}函數(shù)-集合2.描述法：設(shè)P(a)為某個(gè)與a有關(guān)的條件或法則，函數(shù)-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA則必xB，就說(shuō)A是B的子集，記作AB(讀作A包含于B)或BA(讀作B包含A)如果AB且或AB，則稱A與B相等。AA即集合A是其自己的子集。傳遞性AB、BC則AC。A，即空集是任何集合A的子集。函數(shù)-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA函數(shù)-集合全集與空集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集,記為:U。不含任何元素的集合稱為空集，記為：

。例1：x2+1=0實(shí)數(shù)根集合為空集。例2：平面上兩條平行線的交點(diǎn)集合為空集。注：{0}及{}都不是空集，前者有元素0，后者有元素。函數(shù)-集合全集與空集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集,記為函數(shù)-集合集合的運(yùn)算集合的并：AB={x|xA或xB}

集合的交：AB={x|xA且xB}

集合的差：A-B={x|xA且xB}

函數(shù)-集合集合的運(yùn)算集合的并：AB={x|xA或x函數(shù)-集合區(qū)間在一條直線上指定了一點(diǎn)作為原點(diǎn)O，再指定了正向，此外又規(guī)定了單位長(zhǎng)度，這條直線就稱為數(shù)軸。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。有時(shí)為了形象化起見，把數(shù)x稱為點(diǎn)x，就是指數(shù)軸上與數(shù)x對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn)。1-10Ox函數(shù)-集合區(qū)間在一條直線上指定了一點(diǎn)作為原點(diǎn)O，再指函數(shù)-集合閉區(qū)間：[a,b]={x|a≤x≤b}開區(qū)間：(a,b)={x|a<x<b}左閉右開區(qū)間：[a,b)={x|a≤x<b}左開右閉區(qū)間：(a,b]={x|a<x≤b}有限區(qū)間OxabOxabOxabOxab函數(shù)-集合閉區(qū)間：[a,b]={x|a≤x≤b}開區(qū)間：(a函數(shù)-集合[a,+∞)={x|a≤x}(-∞,b]={x|x≤b}(-∞,b)={x|x<b}無(wú)限區(qū)間實(shí)數(shù)集Ｒ＝(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}OxaOxb(a,+∞)={x|a<x}OxbOxa函數(shù)-集合[a,+∞)={x|a≤x}(-∞,b]={函數(shù)-集合鄰域Ｕ(a,δ)={x||x-a|<δ}={x|a-δ<x<a+}=(a-δ,a+δ)稱為點(diǎn)a的δ鄰域。a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑。xaa-δa+δ例：Ｕ(2,1)={x||x-2|<1}={x|1<x<3}=(1,3)x213δ=1δ=1函數(shù)-集合鄰域Ｕ(a,δ)={x||x-a|<δ}={x函數(shù)-集合空心鄰域Ｕ(a,δ)={x|0<|x-a|<δ}={x|a-δ<x<a或a<x<a+δ}=(a-δ,a)U(a,a+δ)稱為點(diǎn)a的δ空心鄰域。xaa-δa+δ例：U(2,1)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3}=(1,2)U(2,3)x213δ=1δ=1函數(shù)-集合空心鄰域Ｕ(a,δ)={x|0<|x-函數(shù)-函數(shù)概念定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集，若對(duì)于x∈D，變量y按照確定的法則f總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)記作自變量因變量函數(shù)-函數(shù)概念定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空函數(shù)-函數(shù)概念函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則f因變量約定:如果不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值，稱為函數(shù)的自然定義域。函數(shù)-函數(shù)概念函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則函數(shù)-函數(shù)概念如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．定義:函數(shù)-函數(shù)概念如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)-函數(shù)概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例(1)符號(hào)函數(shù)1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線函數(shù)-函數(shù)概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例(1)符號(hào)函數(shù)1函數(shù)-函數(shù)概念非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)取整函數(shù)y=(x)=x-[x]x=7/3時(shí),[x]=2，(x)=0.5x=1/3時(shí),[x]=0，(x)=1/3x=-8/5時(shí),[x]=-2，(x)=0.4O-2-1121y=(x)xy函數(shù)-函數(shù)概念非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)O-2-1函數(shù)-函數(shù)概念(3)狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(4)取最值函數(shù)yxoyxo函數(shù)-函數(shù)概念(3)狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1x函數(shù)-函數(shù)概念在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).(5)絕對(duì)值函數(shù)oxy定義域R值域函數(shù)-函數(shù)概念在自變量的不同變化范圍中,函數(shù)-函數(shù)概念y=xy=√x21y=x2/x函數(shù)-函數(shù)概念y=xy=√x21y=x2/x函數(shù)-函數(shù)概念例子例1：確定函數(shù)y=的定義域。lg(3x-2)1lg(3x-2)≠03x-2>03x-2≠1x>2/3x≠1{}D=(2/3,1)(1,+∞)例2：確定函數(shù)y=arcsin的定義域。√25-x21x-15+解：解：{x-15

≤1√25-x2≠025-x2≧0-4≤x

≤6

}|x-1|≤525-x2>0-5<x<5

}D=[-4,5)函數(shù)-函數(shù)概念例子例1：確定函數(shù)y=函數(shù)-函數(shù)概念lg(3x-2)1y=√25-x21x-15+y=函數(shù)-函數(shù)概念lg(3x-2)1y=√25-x21x-15+函數(shù)-函數(shù)概念例3：確定函數(shù)y=的定義域。√lntgx1lntgx>0tgx>0tgx>1x

(

kπ,kπ+){}解：x≠kπ+π2π

2x(kπ+,kπ+)π4π2x(kπ+,kπ+),k=0,±1,±2,±3,……為所求的定義域π4π

2函數(shù)-函數(shù)概念例3：確定函數(shù)y=函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX無(wú)界存在任意函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的。 因?yàn)閨sinx|≦1。例2:f(x)=1/x在(0,1)內(nèi)是無(wú)界的。在[1,+∞)內(nèi)有界。例3:函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)是函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)xyo函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)xyo例如,函數(shù)y=x

3在(-,+)內(nèi)單調(diào)增加。例如,函數(shù)y=x3在(-,+)內(nèi)單調(diào)增加。而函數(shù)

y

=

x

2

在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)增加。而函數(shù)y=x2在區(qū)間(-,0)內(nèi)單函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x3的單調(diào)性。解：對(duì)于任意的xl、x2，設(shè)xl＜x2x23-x13>0,所以x23>

x13，故y=x3在(-∞,+∞)是單調(diào)增加的。當(dāng)

x1

x2≥0時(shí)

x12+

x1

x2+

x22>0所以f(x2)-f(x1)>0f(x2)-f(x1)=x23-

x13

=(x2

-

x1)(x12+

x1

x2+

x22)當(dāng)

x1

x2<0時(shí)

x12+

x1

x2+

x22=(x1+x2)2-x1

x2>0 所以f(x2)-f(x1)>0函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x3的單調(diào)性。解：對(duì)于任意函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例2:判斷函數(shù)y=2x2+1的單調(diào)性。解：xl、x2R，設(shè)xl＜x2(x1+x2)<0當(dāng)xl、x2

(-∞,0]f(x1)-f(x2)=(2x12+1)-(2x22+1)

=2(x12-x22)=2(x1-x2)(x1+x2)f(x1)-f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x)單調(diào)減少(x1+x2)>0當(dāng)xl、x2

[0,+∞)f(x1)-f(x2)<0f(x1)<f(x2)f(x)單調(diào)增加所以在(-∞,+∞)內(nèi)，不是單調(diào)函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例2:判斷函數(shù)y=2x2+1的單調(diào)性。解：函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)3．函數(shù)的奇偶性:yxox-x偶函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)3．函數(shù)的奇偶性:yxox-x偶函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)yxox-x奇函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)yxox-x奇函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x4-2x2的奇偶性。解：∵f(-x)=(-x)4–2(-x)2=x4-2x2

=f(x)∴y=x4-2x2是偶函數(shù)。例2:判斷函數(shù)y=1/x的奇偶性。解：∵f(-x)=1/(-x)

=-(1/x)

=-f(x)∴y=1/x是奇函數(shù)。例3:判斷函數(shù)y=x3+1的奇偶性。解：∵f(-x)=(-x)3+1

=-x3+1∴y=x3+1既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)?！賔(x)≠-f(x){函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x4-2x2的奇偶性例4討論函數(shù)的奇偶性.所以f(x)是（－∞,+∞）上的奇函數(shù).

函數(shù)f(x)的定義域（－∞,+∞）是對(duì)稱區(qū)間，解例4討論函數(shù)例5是偶函數(shù)；而是奇函數(shù)。證明是容易的。

由此可證：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)必可表示為一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和：例5是偶函數(shù)；而是奇函數(shù)。證明是容易的。由此可證：定例6解故f(x)是偶函數(shù).2-11例6解故f(x)是偶函數(shù).2-11函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)D為函數(shù)f(x)的定義域，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l，xD值，x±lD，且f(x+l)=f(x)恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，l叫做f(x)的周期。通常，我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例1:函數(shù)y=sinx,y=cosx,是周期函數(shù)，周期為2π

。4．函數(shù)的周期性:函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)D為函數(shù)f(x)的定義域，如果存在一注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期.如狄利克雷函數(shù)任何正有理數(shù)都是它的周期,但并不存在最小的正有理數(shù)。注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期.如狄利克雷函數(shù)任何正函數(shù)-反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃。如果yW都有一個(gè)確定且滿足y=f(x)的x

D與之對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)規(guī)則為f-1,定義在W上的函數(shù)x=f-1(y)稱為y=f(x)的反函數(shù)。函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃，x為自變量，y為因變量。函數(shù)x=f-1(y)的定義域?yàn)閃，值域?yàn)镈，y為自變量，x為因變量。若改x為自變量，y為因變量，x=f-1(y)寫成y=f-1(x)。函數(shù)-反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃。如果函數(shù)-反函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的關(guān)系是x、y互換，它們的圖形關(guān)于y=x對(duì)稱。y=f-1(x)。不一定是單值函數(shù)。y=f(x)單調(diào)單值，則y=f-1(x)單調(diào)單值。函數(shù)-反函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的關(guān)系是函數(shù)-反函數(shù)例1:求y=3x-1的反函數(shù)。解：∵y=3x-1∴x、y互換得y=f-1(x)=(x+1)/3為反函數(shù)。

x=(y+1)/3=f-1(y)y=(x+1)/3y=3x-1函數(shù)-反函數(shù)例1:求y=3x-1的反函數(shù)。解：∵y=3x-例如，在(-,+)內(nèi)，y

=

x2不是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，所以它沒有反函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。

在(0,+)內(nèi)y

=

x2有反函數(shù)

在(-,0)內(nèi)，y

=

x2有反函數(shù)

x-x

y例如，在(-,+)內(nèi)，y=x2不解例2

求函數(shù)xyO的反函數(shù)。所以所求反函數(shù)為解例2求函數(shù)xyO的反函數(shù)。所以所求反函數(shù)為例3與互為反函數(shù)。例3與互為反函數(shù)。函數(shù)-復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)的定義域、值域分別是Df、Wfu=φ(x)的定義域、值域分別是Dφ

、Wφ

若

DfWφ

≠則稱y=f[(φ(x)]為復(fù)合函數(shù)其中:x為自變量，y為因變量，u為中間變量。復(fù)合函數(shù)的定義域D={x|xDφ

,

φ

(x)?DfWφ

}復(fù)合函數(shù)的值域

W={y|yWf,且存在uDfWφ

使f(u)=y}或W={y|y=f[(φ(x)],x?

D}函數(shù)-復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)的定義域、值域分別是Df、Wf函數(shù)-復(fù)合函數(shù)符合條件：DfWφ

≠DφDWfWWφDfDfWφy=f(u)u=φ(x)y=f[(φ(x)]xuy函數(shù)-復(fù)合函數(shù)符合條件：DfWφ≠DφDWfWWφD注意復(fù)合次序：

復(fù)合可以多次進(jìn)行。例4例5的復(fù)合。注意復(fù)合次序：復(fù)合可以多次進(jìn)行。例4例5的復(fù)合。重要問題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算或四則運(yùn)算。例6例7重要問題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合運(yùn)(1)解(2)(1)解(2)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)∴-1≤x≤

2即[-1,2]為所求的定義域函數(shù)-復(fù)合函數(shù)∴-1≤x≤2即[-1,2]為函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)例5:函數(shù)-復(fù)合函數(shù)例5:函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)例6解所以于是例6解所以于是初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)一、基本初等函數(shù)

常函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)，圖形為平行于x軸,在y軸上截距為C的直線。

初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)一、基本初等函數(shù)常函數(shù)的定義域?yàn)?

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(函數(shù)-基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).函數(shù)-基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(3.指數(shù)函數(shù)

定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?0,+)，都通過點(diǎn)(0,1),當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。3.指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?0,+4.對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),定義域?yàn)?0,+),圖形通過(1,0)點(diǎn),當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)單調(diào)減少。4.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：換底公式對(duì)數(shù)恒等式對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：換底公式對(duì)數(shù)恒等式5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)

y

=

sinx與y

=

cosx的定義域均為(-,+)，均以2p為周期。y

=

sinx為奇函數(shù)，y

=

cosx為偶函數(shù)。它們都是有界函數(shù)。5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)y=sinx與y定義域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函數(shù)。正切函數(shù)定義域:xnp。周期:p。奇函數(shù)。余切函數(shù)定義域:x(2n+1)p/2。正切函數(shù)定義域:xn正割函數(shù)余割函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)函數(shù)-基本初等函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)函數(shù)-基本初等函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)6.反三角函數(shù)定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).6.反三角函數(shù)定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)減少函數(shù)；非奇非偶.定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)減少函數(shù)；非奇非偶.xy定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).xy定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù).反余切函數(shù)xy定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)減少函數(shù)；非奇非偶.反余切函數(shù)xy定義域：值域：?jiǎn)握{(diào)減少函數(shù)；非奇非偶.反三角函數(shù)值的確定：求arcsinx值的方法：

例1例2類似地有反三角函數(shù)值的確定：求arcsinx值的方法：例1例函數(shù)-初等函數(shù)下面五類函數(shù)基本初等函數(shù)：

冪函數(shù)

y=xα（α是常數(shù),α≠0）

指數(shù)函數(shù)

y=ax(a是常數(shù),a>0,a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)

y=logax(a是常數(shù),a>0,a≠1)三角函數(shù)

y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.α>0,過(0,0),(1,1),在(0,+∞)遞增α<0,過(1,1),在(0,+∞)遞減{D=(-∞,+∞)，W=(0,+∞)過(0,1)a>1遞增,0<a<1遞減{D=(0,+∞)，W=(-∞,+∞)過(1,0)a>1遞增,0<a<1遞減{由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫初等函數(shù)。函數(shù)-初等函數(shù)下面五類函數(shù)基本初等函數(shù)：冪函數(shù)y=x函數(shù)-初等函數(shù)三角函數(shù)

y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;函數(shù)定義域值域周期奇偶單調(diào)y=sinx(-∞,+∞)[-1,1]2π奇(-π/2+2kπ,π/2+2kπ)遞增(π/2+2kπ,3π/2+2kπ)遞減y=cosx(-∞,+∞)[-1,1]2π偶(π+2kπ,2π+2kπ)遞增(2kπ,π+2kπ)遞減y=tgxx≠π/2+kπ(-∞,+∞)π奇(-π/2+kπ,π/2+kπ)遞增y=ctgxx≠kπ(-∞,+∞)π奇(kπ,π+kπ)遞減y=secxx≠π

/2+kπ(-∞,-1]U[1,+∞)2π偶(2kπ,π/2+2kπ),(π/2+2kπ,π+2kπ)遞增(-π/2+2kπ,2kπ),(π+2kπ,3π/2+2kπ)遞減y=cscxx≠kπ(-∞,-1]U[1,+∞)2π奇(-π/2+2kπ,2kπ),(2kπ,π/2+2kπ)遞增(π/2+2kπ,π+2kπ),(π+2kπ,3π/2+2kπ)遞減函數(shù)-初等函數(shù)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=函數(shù)-初等函數(shù)y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx函數(shù)-初等函數(shù)y=cscxy=secxy=ctgxy=tgx函數(shù)-初等函數(shù)y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx函數(shù)-初等函數(shù)y=arcsinxy=arccosxy=arc由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).二、初等函數(shù)例如，等等。本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù).由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到的一例1是初等函數(shù)嗎？利用對(duì)數(shù)恒等式解是初等函數(shù)。一般地，冪指函數(shù)也是初等函數(shù)：例1是初等函數(shù)嗎？利用對(duì)數(shù)恒等式解是初等函數(shù)。一般地，冪指函例2分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？解不是初等函數(shù)；符號(hào)函數(shù)是初等函數(shù)，因?yàn)?/p>

分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是。分段只是一種形式，不是函數(shù)的新類型。例2分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？解不是初等函數(shù)；符號(hào)函數(shù)是初等函數(shù)習(xí)題選講例設(shè)f(x)=1|x|<10|x|=1-1|x|>1{,g(x)=ex,求f[g(x)]和g[f(x)],并畫圖。Df=(-∞,+∞)Wf={-1,0,1}Dg=(-∞,+∞)Wg=(0,+∞)DfWg=Wg=(0,+∞)所以定義域?yàn)椋篋=Dg=(-∞,+∞)1|g(x)|<1i.ex<00|g(x)|=1i.ex=0-1|g(x)|>1i.ex>0{f[g(x)]=DgWf=Wf={-1,0,1}所以定義域?yàn)椋篋=Df=(-∞,+∞)e1|x|<1e0|x|=1e-1|x|>1{g[f(x)]=ef(x)=e|x|<11|x|=1e-1|x|>1{g[f(x)]=ef(x)=習(xí)題選講例設(shè)f(x)=1|x|<10|x微積分微積分第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值第一章函數(shù)集合函數(shù)概念函數(shù)的幾種特性反函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)第一章函數(shù)集合函數(shù)-集合集合是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.通常用大寫拉丁字母表示集合，小寫字母表示元素.a是集合M的元素,記作aM(讀作a屬于M)；a不是集合M的元素,記作aM(讀作a不屬于M).集合定義函數(shù)-集合集合是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體.組成這個(gè)集合函數(shù)-集合例子1.1990年10月1日在南寧市出生的人。2.彩電、電冰箱、VCD。3.x2-5x+6=0的根。集合具有確定性，即對(duì)某一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合是確定的，是或不是二者必居其一。由有限個(gè)元素構(gòu)成的集合，稱為有限集合。由無(wú)限多個(gè)元素構(gòu)成的集合，稱為無(wú)限集合；4.全體偶數(shù)。函數(shù)-集合例子1.1990年10月1日在南寧市出生的人。2函數(shù)-集合集合的表示法1.列舉法：按任意順序列出集合的所有元素,并用{}括起來(lái)。例：由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合A，可表示為：A={2,3}注：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復(fù)。函數(shù)-集合集合的表示法1.列舉法：按任意順序列出集合的所有函數(shù)-集合2.描述法：設(shè)P(a)為某個(gè)與a有關(guān)的條件或法則，A為滿足P(a)的一切a構(gòu)成的集合，記為：A={a|P(a)}例：由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合A，表示為：A={x|x2-5x+6=0}例：全體實(shí)數(shù)組成的集合通常記作R，即：R={x|x為實(shí)數(shù)}函數(shù)-集合2.描述法：設(shè)P(a)為某個(gè)與a有關(guān)的條件或法則，函數(shù)-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA則必xB，就說(shuō)A是B的子集，記作AB(讀作A包含于B)或BA(讀作B包含A)如果AB且或AB，則稱A與B相等。AA即集合A是其自己的子集。傳遞性AB、BC則AC。A，即空集是任何集合A的子集。函數(shù)-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA函數(shù)-集合全集與空集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集,記為:U。不含任何元素的集合稱為空集，記為：

。例1：x2+1=0實(shí)數(shù)根集合為空集。例2：平面上兩條平行線的交點(diǎn)集合為空集。注：{0}及{}都不是空集，前者有元素0，后者有元素。函數(shù)-集合全集與空集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集,記為函數(shù)-集合集合的運(yùn)算集合的并：AB={x|xA或xB}

集合的交：AB={x|xA且xB}

集合的差：A-B={x|xA且xB}

函數(shù)-集合集合的運(yùn)算集合的并：AB={x|xA或x函數(shù)-集合區(qū)間在一條直線上指定了一點(diǎn)作為原點(diǎn)O，再指定了正向，此外又規(guī)定了單位長(zhǎng)度，這條直線就稱為數(shù)軸。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。有時(shí)為了形象化起見，把數(shù)x稱為點(diǎn)x，就是指數(shù)軸上與數(shù)x對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn)。1-10Ox函數(shù)-集合區(qū)間在一條直線上指定了一點(diǎn)作為原點(diǎn)O，再指函數(shù)-集合閉區(qū)間：[a,b]={x|a≤x≤b}開區(qū)間：(a,b)={x|a<x<b}左閉右開區(qū)間：[a,b)={x|a≤x<b}左開右閉區(qū)間：(a,b]={x|a<x≤b}有限區(qū)間OxabOxabOxabOxab函數(shù)-集合閉區(qū)間：[a,b]={x|a≤x≤b}開區(qū)間：(a函數(shù)-集合[a,+∞)={x|a≤x}(-∞,b]={x|x≤b}(-∞,b)={x|x<b}無(wú)限區(qū)間實(shí)數(shù)集Ｒ＝(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}OxaOxb(a,+∞)={x|a<x}OxbOxa函數(shù)-集合[a,+∞)={x|a≤x}(-∞,b]={函數(shù)-集合鄰域Ｕ(a,δ)={x||x-a|<δ}={x|a-δ<x<a+}=(a-δ,a+δ)稱為點(diǎn)a的δ鄰域。a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑。xaa-δa+δ例：Ｕ(2,1)={x||x-2|<1}={x|1<x<3}=(1,3)x213δ=1δ=1函數(shù)-集合鄰域Ｕ(a,δ)={x||x-a|<δ}={x函數(shù)-集合空心鄰域Ｕ(a,δ)={x|0<|x-a|<δ}={x|a-δ<x<a或a<x<a+δ}=(a-δ,a)U(a,a+δ)稱為點(diǎn)a的δ空心鄰域。xaa-δa+δ例：U(2,1)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3}=(1,2)U(2,3)x213δ=1δ=1函數(shù)-集合空心鄰域Ｕ(a,δ)={x|0<|x-函數(shù)-函數(shù)概念定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集，若對(duì)于x∈D，變量y按照確定的法則f總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)記作自變量因變量函數(shù)-函數(shù)概念定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空函數(shù)-函數(shù)概念函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則f因變量約定:如果不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值，稱為函數(shù)的自然定義域。函數(shù)-函數(shù)概念函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則函數(shù)-函數(shù)概念如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．定義:函數(shù)-函數(shù)概念如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)-函數(shù)概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例(1)符號(hào)函數(shù)1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線函數(shù)-函數(shù)概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例(1)符號(hào)函數(shù)1函數(shù)-函數(shù)概念非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)取整函數(shù)y=(x)=x-[x]x=7/3時(shí),[x]=2，(x)=0.5x=1/3時(shí),[x]=0，(x)=1/3x=-8/5時(shí),[x]=-2，(x)=0.4O-2-1121y=(x)xy函數(shù)-函數(shù)概念非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)O-2-1函數(shù)-函數(shù)概念(3)狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(4)取最值函數(shù)yxoyxo函數(shù)-函數(shù)概念(3)狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1x函數(shù)-函數(shù)概念在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).(5)絕對(duì)值函數(shù)oxy定義域R值域函數(shù)-函數(shù)概念在自變量的不同變化范圍中,函數(shù)-函數(shù)概念y=xy=√x21y=x2/x函數(shù)-函數(shù)概念y=xy=√x21y=x2/x函數(shù)-函數(shù)概念例子例1：確定函數(shù)y=的定義域。lg(3x-2)1lg(3x-2)≠03x-2>03x-2≠1x>2/3x≠1{}D=(2/3,1)(1,+∞)例2：確定函數(shù)y=arcsin的定義域?！?5-x21x-15+解：解：{x-15

≤1√25-x2≠025-x2≧0-4≤x

≤6

}|x-1|≤525-x2>0-5<x<5

}D=[-4,5)函數(shù)-函數(shù)概念例子例1：確定函數(shù)y=函數(shù)-函數(shù)概念lg(3x-2)1y=√25-x21x-15+y=函數(shù)-函數(shù)概念lg(3x-2)1y=√25-x21x-15+函數(shù)-函數(shù)概念例3：確定函數(shù)y=的定義域?！蘬ntgx1lntgx>0tgx>0tgx>1x

(

kπ,kπ+){}解：x≠kπ+π2π

2x(kπ+,kπ+)π4π2x(kπ+,kπ+),k=0,±1,±2,±3,……為所求的定義域π4π

2函數(shù)-函數(shù)概念例3：確定函數(shù)y=函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX無(wú)界存在任意函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的。 因?yàn)閨sinx|≦1。例2:f(x)=1/x在(0,1)內(nèi)是無(wú)界的。在[1,+∞)內(nèi)有界。例3:函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)是函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)xyo函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)xyo例如,函數(shù)y=x

3在(-,+)內(nèi)單調(diào)增加。例如,函數(shù)y=x3在(-,+)內(nèi)單調(diào)增加。而函數(shù)

y

=

x

2

在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)增加。而函數(shù)y=x2在區(qū)間(-,0)內(nèi)單函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x3的單調(diào)性。解：對(duì)于任意的xl、x2，設(shè)xl＜x2x23-x13>0,所以x23>

x13，故y=x3在(-∞,+∞)是單調(diào)增加的。當(dāng)

x1

x2≥0時(shí)

x12+

x1

x2+

x22>0所以f(x2)-f(x1)>0f(x2)-f(x1)=x23-

x13

=(x2

-

x1)(x12+

x1

x2+

x22)當(dāng)

x1

x2<0時(shí)

x12+

x1

x2+

x22=(x1+x2)2-x1

x2>0 所以f(x2)-f(x1)>0函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x3的單調(diào)性。解：對(duì)于任意函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例2:判斷函數(shù)y=2x2+1的單調(diào)性。解：xl、x2R，設(shè)xl＜x2(x1+x2)<0當(dāng)xl、x2

(-∞,0]f(x1)-f(x2)=(2x12+1)-(2x22+1)

=2(x12-x22)=2(x1-x2)(x1+x2)f(x1)-f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x)單調(diào)減少(x1+x2)>0當(dāng)xl、x2

[0,+∞)f(x1)-f(x2)<0f(x1)<f(x2)f(x)單調(diào)增加所以在(-∞,+∞)內(nèi)，不是單調(diào)函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例2:判斷函數(shù)y=2x2+1的單調(diào)性。解：函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)3．函數(shù)的奇偶性:yxox-x偶函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)3．函數(shù)的奇偶性:yxox-x偶函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)yxox-x奇函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)yxox-x奇函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x4-2x2的奇偶性。解：∵f(-x)=(-x)4–2(-x)2=x4-2x2

=f(x)∴y=x4-2x2是偶函數(shù)。例2:判斷函數(shù)y=1/x的奇偶性。解：∵f(-x)=1/(-x)

=-(1/x)

=-f(x)∴y=1/x是奇函數(shù)。例3:判斷函數(shù)y=x3+1的奇偶性。解：∵f(-x)=(-x)3+1

=-x3+1∴y=x3+1既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)?！賔(x)≠-f(x){函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例1:判斷函數(shù)y=x4-2x2的奇偶性例4討論函數(shù)的奇偶性.所以f(x)是（－∞,+∞）上的奇函數(shù).

函數(shù)f(x)的定義域（－∞,+∞）是對(duì)稱區(qū)間，解例4討論函數(shù)例5是偶函數(shù)；而是奇函數(shù)。證明是容易的。

由此可證：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)必可表示為一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和：例5是偶函數(shù)；而是奇函數(shù)。證明是容易的。由此可證：定例6解故f(x)是偶函數(shù).2-11例6解故f(x)是偶函數(shù).2-11函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)D為函數(shù)f(x)的定義域，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l，xD值，x±lD，且f(x+l)=f(x)恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，l叫做f(x)的周期。通常，我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例1:函數(shù)y=sinx,y=cosx,是周期函數(shù)，周期為2π

。4．函數(shù)的周期性:函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)D為函數(shù)f(x)的定義域，如果存在一注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期.如狄利克雷函數(shù)任何正有理數(shù)都是它的周期,但并不存在最小的正有理數(shù)。注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期.如狄利克雷函數(shù)任何正函數(shù)-反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃。如果yW都有一個(gè)確定且滿足y=f(x)的x

D與之對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)規(guī)則為f-1,定義在W上的函數(shù)x=f-1(y)稱為y=f(x)的反函數(shù)。函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃，x為自變量，y為因變量。函數(shù)x=f-1(y)的定義域?yàn)閃，值域?yàn)镈，y為自變量，x為因變量。若改x為自變量，y為因變量，x=f-1(y)寫成y=f-1(x)。函數(shù)-反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃。如果函數(shù)-反函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的關(guān)系是x、y互換，它們的圖形關(guān)于y=x對(duì)稱。y=f-1(x)。不一定是單值函數(shù)。y=f(x)單調(diào)單值，則y=f-1(x)單調(diào)單值。函數(shù)-反函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的關(guān)系是函數(shù)-反函數(shù)例1:求y=3x-1的反函數(shù)。解：∵y=3x-1∴x、y互換得y=f-1(x)=(x+1)/3為反函數(shù)。

x=(y+1)/3=f-1(y)y=(x+1)/3y=3x-1函數(shù)-反函數(shù)例1:求y=3x-1的反函數(shù)。解：∵y=3x-例如，在(-,+)內(nèi)，y

=

x2不是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，所以它沒有反函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。

在(0,+)內(nèi)y

=

x2有反函數(shù)

在(-,0)內(nèi)，y

=

x2有反函數(shù)

x-x

y例如，在(-,+)內(nèi)，y=x2不解例2

求函數(shù)xyO的反函數(shù)。所以所求反函數(shù)為解例2求函數(shù)xyO的反函數(shù)。所以所求反函數(shù)為例3與互為反函數(shù)。例3與互為反函數(shù)。函數(shù)-復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)的定義域、值域分別是Df、Wfu=φ(x)的定義域、值域分別是Dφ

、Wφ

若

DfWφ

≠則稱y=f[(φ(x)]為復(fù)合函數(shù)其中:x為自變量，y為因變量，u為中間變量。復(fù)合函數(shù)的定義域D={x|xDφ

,

φ

(x)?DfWφ

}復(fù)合函數(shù)的值域

W={y|yWf,且存在uDfWφ

使f(u)=y}或W={y|y=f[(φ(x)],x?

D}函數(shù)-復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)的定義域、值域分別是Df、Wf函數(shù)-復(fù)合函數(shù)符合條件：DfWφ

≠DφDWfWWφDfDfWφy=f(u)u=φ(x)y=f[(φ(x)]xuy函數(shù)-復(fù)合函數(shù)符合條件：DfWφ≠DφDWfWWφD注意復(fù)合次序：

復(fù)合可以多次進(jìn)行。例4例5的復(fù)合。注意復(fù)合次序：復(fù)合可以多次進(jìn)行。例4例5的復(fù)合。重要問題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算或四則運(yùn)算。例6例7重要問題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合運(yùn)(1)解(2)(1)解(2)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)∴-1≤x≤

2即[-1,2]為所求的定義域函數(shù)-復(fù)合函數(shù)∴-1≤x≤2即[-1,2]為函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)例5:函數(shù)-復(fù)合函數(shù)例5:函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)函數(shù)-復(fù)合函數(shù)例6解所以于是例6解所以于是初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)一、基本初等函數(shù)

常函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)，圖形為平行于x軸,在y軸上截距為C的直線。

初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)一、基本初等函數(shù)常函數(shù)的定義域?yàn)?

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(函數(shù)-基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).函數(shù)-基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(

冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：

2.冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(3.指數(shù)函數(shù)

定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?0,+)，都通過點(diǎn)(0,1),當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。3.指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?0,+4.對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),定義域?yàn)?0,+),圖形通過(1,0)點(diǎn),當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)單調(diào)減少。4.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù),對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：換底公式對(duì)數(shù)恒等式對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：換底公式對(duì)數(shù)恒等式5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)

y

=

sinx與y

=

cosx的定義域均為(-,+)，均以2p為周期。y

=

sinx為奇函數(shù)，y

=

cosx為偶函數(shù)。它們都是有界函數(shù)。5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)y=sinx與y定義域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函數(shù)。正切函數(shù)定義域:xnp。周期:p。奇函數(shù)。余切函數(shù)定義域:x(2n+1)p/2。正切函數(shù)定義域:xn正割函數(shù)余割函數(shù)正