人教版2020中考數(shù)學(xué)試題分類匯編知識點14一元二次方程的幾何應(yīng)用

一元二次方程的幾何應(yīng)用一、選擇題（2018貴州安順，T6,F3）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程 x2-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A.12 B.9 C.13 D.12或9【答案】A【解析】解x2-7X+10=0,得x=2或5.已知在等腰三角形中，有兩腰相等，且兩邊之和大于第三邊，，腰長為5,底邊長為2.，該等腰三角形的周長為5+5+2=12.【知識點】解一元二次方程，三角形兩邊的和大于第三邊 ^二、填空題（2018湖北黃岡，12題，3分）一個三角形的兩邊長分別為 3和6,第三邊長是方程x2-10x+21=0的根，則三角形的周長為【答案】16【解析】解該方程得x1=3,x2=7,因為兩邊長為3和6,所以第三邊x的范圍為：6-3<x<6+3,即3Vx<9,所以舍去x『3,即三角形的第三邊長為 7,則三角形的周長為3+6+7=16【知識點】解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系（2018江西，12,3分）在正方形ABC珅，AB=6,連接ACBDP是正方形邊上或?qū)蔷€上一點，若 PD=2AR則AP的長為.【答案】2,2小，肝-啦【解析】??.PD=2AP,???設(shè)AP=x,則PD=2x,①當(dāng)P在AD邊上時，如解圖①，AD=6,AP+PD=6,，x+2x=6即x=2, AP=2②當(dāng)P在DC上時，如解圖②在RtAADF^,AP>PD,P[>2AR第12題解圖① 第12題解圖②③當(dāng)P在BC邊上時，如解圖③，DP最大為6y2,A*」、為6,PA2AP④當(dāng)P在AB上時，如解圖④，在RtAADF^,AP+AD=PD2,x2+62=（2x）AP=2聲..M?！?,解得*1=2<3,x2=-243（舍），an日志在力⑸A 絡(luò)dn日志在力⑸G⑤當(dāng)P在AC對角線上時，如解圖⑤，在PO=3y/2—x,PD=2x,DO=AO=3#,一2 2 1 .RtAADCJ^,AO.AB2+BC=6斕，?.AO=2Ao3J2,在RtAPDO）^,pD=pO+dO,（2x）2=（3姆）2+（3W一x）2,解得xi="—山，x2=—/—山（舍），??AP=^14-72;⑥當(dāng)P在DM角線上時，如解圖⑥，在 Rt△APO^,AP=AO+PO, x2=（2x—342）2+（3。2）2,整理得：x2—442x+12=0,??.（—4，2）2—4X1X12=—16V0,??.方程無解，綜上所述： AP=2或2^或戶—>/2【知識點】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （2018浙江省臺州市，16,5分）如圖，在正方形ABCD中，AB3,點E,F分別在CD,AD上，CEDF,BE,CF相交于點G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3,則BCG的周長為【答案】3+、，15【思路分析】通過正方形的邊長可以求出正方形的面積，根據(jù)“陰影部分的面積與正方形的面積之比為 2:3”可以求出空白部分的面積；利用正方形的性質(zhì)可以證明ABC珞CDF一是可以得到ABCG是直角三角形，二是可以得到ABCG的面積，進而求出BGgCG=3；利用勾股定理可以求出BG2+CG2=9,這樣就可以求出BG+CG=底,因而ABCG的周長就可以表示出來了.【解題過程】???在正方形ABCN,AB=32C…S正方形abcd=3=9,??陰影部分的面積與正方形ABCD勺面積之比為2:3,，空白部分的面積與正方形ABCD勺面積之比為1:3,S空白=3,??四邊形ABC比正方形，BC=CD/BCE玄CDF=90??CE=DF,.ABCMCDF(SAS)?/CBE4DCF,??/DCF+ZBCG=90,??/CBE+ZBCG=90,即/BGC=90,ABCG是直角三角形日5 3 1-3易知SBCG=S四邊形FGED=1,SBCG=—BGgCG=_,2 2 2BGgCG=3,根據(jù)勾股定理：BG2+CG2=BC2,即BG2+CG2=92 2 2?(BG+CG)=BG+2BG￡G+CG=9+23=15,BG+CG=質(zhì),.ABCG的周長=BG+CG+BC3+、15【知識點】正方形的性質(zhì)，三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答題1.(2018浙江杭州，21,10分)如圖，在^ABC中，/ACB=90,以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D,以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E,連接CD(1)若/A=28°,求/ACD勺度數(shù)；(2)設(shè)BC=a,AC=b①線段AD的長度是方程x22axb20的一個根嗎？說明理由；一 a②若AD=EC求一的值。b【思路分析】(1)先求/B,再根據(jù)等腰三角形知識求/BCD在用直角求出/ACD(2)根據(jù)勾股定理表示出AB,2 2 1表再不出AD,根據(jù)一兀一次萬程的解表不出 x22axb20的解進行對比；由AD=AE則可得ADhb,從而可2列方程求解出比值【解題過程】(1)QAB900,A280,B62O,QBDBC,BDCBCD,QBBDCBCD1800,A,ACD59A,ACD59O28031°18O0620 oBDC 59,QBDCACD2⑵設(shè)AD=m,QBD2 2 2(ma)ab,(3)設(shè)AD=m,ADBCa,ABADBDma,在RTABC中，AB2BC2m22amb20,AD長為方程x22axb20的根。ACAEbm,QACb,CEACAEm,QCEAD,AC2,

bmm,2,即吟將x9代入x22axb20得:(b)2+2a-b20,Qb(a-b)0,2 2 40,ab,4【知識點】三角形內(nèi)角和，等腰三角形角度計算，勾股定理，線段轉(zhuǎn)換1.(2018湖北鄂州，20,8分)已知關(guān)于x的方程x23k3x2k24k20.(1)求證：無論k為何值，原方程都有實數(shù)根;(2)若該方程的兩實數(shù)根x1,x2為一菱形的兩條對角線之長,且x/22x12336,求k值及該菱形的面積.【思路分析】(1)只需證明根的判別式0,即可證得無論k為何值，原方程都有實數(shù)根;(2)利用韋達定理求出k值，再利用菱形的面積等于對角線乘積的一半就能求出該菱形的面積.【解析】解：(1)證明由題意可知，a=1,b=—(3k+3),c=2k24k2,△=b2-4ac=2 2(3k3) 42k24k22 2 2 29k218k98k216k8k22k1(k1)2,二(k1)2)0,k為何值,原方程都有實數(shù)根;(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1x2 b1 2 a2x1x22x12x236,x〔x22x1x236,2k24kc一2一(3k3)3k3,x1x2-2k24k2,12a2223k3 36,化簡得k25k140,(k2)(k7) 0,解得k=2或一7,???x1,x2為一菱形的兩條對角線之長，且x1+x2=3k+3,，3k+3>0,1k=—7舍去，k=2,??.該菱形的面積為一/x21 2—2k24k221 2-222422=9.2【知識點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程；根的判別式；菱形的性質(zhì)；菱形的面積公式2.(2018湖北宜昌，21,8分)如圖，在ABC中，ABAC.以AB為直徑的半圓交AC于點D,交BC于點E.延長AE至點F,使EFAE,連接FB,FC.⑴求證：四邊形ABFC是菱形；(2)若AD7,BE2,求半圓和菱形ABFC的面積.(第21題圖)【思路分析】(1)先由EFAE,以及到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，得到CEBE,證明四邊形ABFC是平行四邊形；再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，證明平行四邊形 ABFC是菱形.(2)設(shè)CDx,則ABAC7x,連接BD,在Rt^BDA^,BD2AB2AD2,在RtABDA^,BD2BC2CD2,AB2AD2BC2CD2,從而建立方程，求出x的值，并求出BD的值,求出半圓和菱形ABFC的面積.【解析】(1)證明：QAB為半圓的直徑，AEB90o,QABAC,CEBE,又QEFAE,???四邊形ABFC是平行四邊形.又QABAC,(或AEB900,)???平行四邊形ABFC是菱形.⑶解：連接BD,.AD7,BECE2,設(shè)CDx,則ABAC7x,（第21題第2問答圖）???AB為半圓的直徑，ADB90o,在RtABDA^,BD2AB2AD2,在RtABDA^,BD2BC2CD2,AB2AD2CB2CD2TOC\o"1-5"\h\