離散時間隨機信號概述

第五章離散時間隨機信號Discrete-timeStochasticSignal5.5相關序列和協方差序列的性質根據相關函數和協方差函數的定義，稍加推導就可得到它們的一些很有用的性質。我們把這些性質列舉如下，以備將來參考?？紤]兩個實平穩(wěn)隨機過程{xn}和{yn}，它們的自相關序列、自協方差序列、互相關序列和互協方差序列分別是性質1：當mx=0和my=0時，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。證明：根據定義有Rxx(m)=E[xnxn+m]Cxx(m)=E[(xn-mx)(xn+m-mx)]=E[xnxn+m]-mxE[xn]-mxE[xn+m]+m2x

=Rxx(m)-m2xRxy(m)=E[xnyn+m]Cxy(m)=E[(xn-mx)(yn+m-my)=E[xnyn+m]-mxE[yn+m]-myE[xn]+mxmy=Rxy(m)-mxmy性質2：證明：根據定義有Rxx(0)=E[xnxn]=E[x2n]Cxx(0)=E[(xn-mx)(xn-mx)]=E[(xn-mx)2]=σ2x性質3：證明：根據定義有Rxx(-m)=E[xnxn-m]令n-m=n’，即n=n’+m，則上式為Rxx(-m)=E[xn'+mxn']=Rxx(m)根據性質1和上式，得到Cxx(-m)=Rxx(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)用類似的方法不難證明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。性質4：特例：證明：由于已假設{xn}和{yn}都是實隨機過程，因此下列不等式成立：將左式左端展開，得到所以令xn=yn，則上式化簡為其余兩式可用類似的方法證明。從下式開始證明。性質5：若yn=xn-n0，則有證明：令n-n0=n'，根據定義和假設條件yn=xn-n0，有根據性質1，得到由于my=E[yn]=E[xn-n0]=mx，故上式變?yōu)槔眯再|5的第一個結論，即Ryy(m)=Rxx(m)，則上式成為性質6：在隨機過程中，兩隨機變量的時間間隔越大，它們的相關性越小。時間間隔趨于無窮大的兩隨機變量，它們之間不再相關。這一性質可用以下公式表示：根據性質1，由上列兩式可以得出和性質6說明：相關序列和協方差序列都是非周期序列，而且隨著m值的增加逐漸衰減，當m值很大時，序列值已趨近為零。因此，相關序列和協方差序列的Z變換或傅里葉變換通常是存在的。上面6個性質可歸納成圖5.4所示的圖形。記住了這個圖，也就記住了這些性質。從這6個性質可以得出以下重要結論：(1)工程實際中常常要處理的信號是不可預知的具有無限能量的非周期信號，這類信號不滿足絕對可和條件，甚至不滿足乘以指數衰減序列后絕對可和的條件，因此它們的傅里葉變換和Z變換都不存在。但是，如果將這類信號看成是一個離散隨機過程的取樣序列，那么，由于其自相關序列和自協方差序列都是非周期序列，而且當m趨于無窮大時，自協方差序列的值將衰減為零，在均值等于零的條件下，其自相關序列的值也將衰減為零，這說明自相關序列和自協方差序列都是有限能量序列，它們的Z變換和傅里葉變換是存在的，因而可以在頻域或Z域中表示和分析這些信號。(2)自相關序列不僅反映出隨機過程中不同時刻的隨機變量之間相關性的大小，而且可以根據自相關序列求出隨機過程的均值、均方值和方差等數字特征，正如性質6、性質2所說明的那樣。因此，自相關序列或自協方差序列是較全面地描述隨機過程特性的重要參量。5.6功功率譜1、自協方方差序列和和自相關序序列的傅里里葉變換和和z變換在研究確定定性信號時時，人們經經常用傅里里葉變換或或Z變換對對信號進行行頻譜分析析?，F在來來討論離散散隨機信號號的頻譜分分析問題。。離散隨機過過程是它的的無限多個個取樣序列列的集合。。實際中要要處理的離離散時間信信號，僅僅僅是無限多多個取樣序序列中的一一個。即使使對于遍歷歷性的平穩(wěn)穩(wěn)隨機過程程，也只能能根據它的的一個取樣樣序列，來來計算出它它的均值、、方差、均均方值、自自相關序列列以及協方方差序列等等特征量，，這些特征征量都是對對隨機過程程的時域特特征的描述述。隨機信號不不僅不可能能用確定信信號的表示示方法來描描述，而且且它們通常常都是無限限時寬和無無限能量的的信號，因因而它們的的傅里葉變變換和Z變變換都是不不存在的。。即使計算算它的Z變變換，得到到的Z變換換往往都沒沒有收斂域域。即使有有收斂域，，這個Z變變換對應的的頻譜與其其它的取樣樣序列的頻頻譜通常也也是不同的的。但是，隨機機過程的自自協方差序序列或自相相關序列卻卻能較全面面描述隨機機過程的特特征，包括括時域特征征和頻域特特征。因為為不管用哪哪個取樣序序列來計算算自協方差差序列或自自相關序列列，得到的的結果總是是相同的。。換句話說說，即使是是由一個取取樣序列計計算出來的的自相關序序列或自協協方差序列列，也能作作為對隨機機過程的本本質描述。。此外，前節(jié)節(jié)曾經指出出，自協方方差序列和和在均值等等于零情況況下的自相相關序列都都是有限能能量序列，，它們的傅傅里葉變換換和Z變換換總是存在在的。因此此，在對離離散隨機過過程進行頻頻譜分析時時，要用自自協方差序序列或自相相關序列取取代隨機過過程的取樣樣序列。2、功率譜譜的定義協方差序列列Cxx(m)的Z變換：稱為平穩(wěn)隨隨機過程的的功率譜。。傳統(tǒng)上，人人們把功率率譜定義成成自相關序序列Rxx(m)的Z變換。但但那樣定義義會帶來不不方便，因因為當mx≠0時，根根據式(5.57)可知，自自相關序列列將不是一一個有限能能量序列，，嚴格地說說，它的Z變換是不不存在的。。為了克服服這個困難難，不得不不把Z變換換的定義推推廣，即允允許在z＝＝1(或ωω＝0)處處功率譜譜有一個沖沖激存在，，因為根據據Z變換的的終值定理理(書本P.49)，有這說明，在在z＝1處處Sxx(z)有一一個極點，，或者說Sxx(ejω)在ω=0處存在一一個沖激。。為減少這這個麻煩，，常把功率率譜定義為為自協方差差序列的Z變換。采用這個定定義，對于于mx＝0的隨機機過程而言言，由于Cxx(m)＝Rxx(m)，所所以現在的的定義與傳傳統(tǒng)的定義義是一致的的；對于mx≠0的隨機機過程而言言，由于Cxx(m)是有有限能量序序列，它的的Z變換始始終是存在在的，所以以就無需對對Z變換的的定義進行行推廣。在今后的討討論中，總總是假定隨隨機信號的的均值為零零，即使對對于均值不不為零的隨隨機信號，，也可以將將其均值置置為零，即即重新定義義一個零均均值隨機信信號{xn}－E[xn]，這對于于隨機過程程的頻譜分分析不會帶帶來任何影影響。因此此，把平穩(wěn)穩(wěn)隨機過程程的功率譜譜的定義改改寫成下式式：(5.59)對于該式，，假定了mx=0。3、功率譜譜的性質(1)根據自相關關序列的性性質3即書書本P.168式式(5.52)，一一個實平穩(wěn)穩(wěn)隨機過程程的自相關關序列是時時間差m的的偶函數，，即Rxx(m)＝Rxx(－m)，，由Z變換換的性質可可以得出功功率譜的一一個性質：：(5.60)即Sxx(z)的極極點是關于于單位圓對對稱的。現現設Sxx(z)最接接近于單位位圓的一個個極點位于于|z|＝＝Ra<1的圓圓周上，那那么Sxx(z)在|z|＝Ra-1>1的圓周周上必存在在一個對應應的極點，，該極點也也是最接近近于單位圓圓的，不過過它處在單單位圓外。。因此，Sxx(z)的收收斂域是一一個包含單單位圓在內內的環(huán)形區(qū)區(qū)域Ra<|z|<Ra-1，這里0<Ra<1；如果果Ra≥1則Sxx(z)沒有有收斂域。。在0<Ra<1的情況況下，由于于Sxx(z)的收收斂域包含含單位圓，，所以Rxx(m)的傅傅里葉變換換總是存在在的，即(5.61)今后，把式式(5.59)和(5.61)都作為為功率譜的的定義。注注意，Sxx(ejω)是ωω的周周期函函數，，周期期是2π。。式(5.61)有有時稱稱為維維納-辛欣欣定理理。式式(5.59)和(5.61)對對應的的逆變變換公公式分分別為為和一個隨隨機序序列x(n)的的自相相關函函數Rxx(m)與該該序列列的自自功率率譜密密度函函數Sxx(ejω)也是是一個個傅里里葉變變換對對。由上式式可以以得到到根據自自相關關序列列的性性質2，上上式即即該式說說明，，功率率譜在在一個個周期期內的的平均均值就就是隨隨機過過程的的平均均功率率。圖圖5.5畫畫出了了功率率譜函函數在在一個個周期期內的的示意意圖。。函數數曲線線Sxx(ω)在-π<ω<π頻頻率區(qū)區(qū)間所所圍的的面積積恰等等于隨隨機過過程的的平均均功率率的2π倍倍即2πE[x2]。因因此，，Sxx(ω)具有有功率率密度度的物物理意意義。。所以以，功功率譜譜實際際上是是指功功率密密度譜譜，有有時簡簡稱為為譜。。(2)實平穩(wěn)穩(wěn)隨機機過程程的功功率譜譜是非非負的的，即即(3)實平穩(wěn)穩(wěn)隨機機過程程的功功率譜譜是實實函數數，即即式中，，*號號表示示復共共軛。。(4)實平穩(wěn)穩(wěn)隨機機過程程的功功率譜譜是ωω的偶偶函數數，即即從變換換域的的觀點點看，，相關關函數數是一一座橋橋梁：：時域域(序序列)→相相關域域(自自相關關函數數)→→頻頻域(自功功率譜譜)。。自相相關函函數將將無限限能量量序列列轉變變?yōu)橛杏邢弈苣芰啃蛐蛄?，，將隨隨機序序列轉轉變?yōu)闉榇_定定性序序列，，從而而為譜譜分析析鋪平平了道道路。。但是是，在在這過過程中中失去去了相相位信信息。。所以以，從從頻譜譜可以以恢復復出原原時域域信號號，但但從自自功率率譜不不能恢恢復出出原隨隨機序序列，，只能能得出出序列列的統(tǒng)統(tǒng)計特特性Rxx(m)。類似地地，可可以定定義兩兩個平平穩(wěn)隨隨機過過程{xn}和{yn}的互互功率率譜：：或根據互互相關關序列列的性性質3(式式(5.52))，，可以以得出出互功功率譜譜具有有以下下性質質：自功率率譜是是實偶偶的，，互功功率譜譜卻是是復函函數。。因為為Rxy(m)既不不是偶偶函數數，也也不是是奇函函數，，不像像Rxx(m)是實實偶的的。相相關函函數和和功率率譜函函數分分別從從相關關域和和頻域域這兩兩個側側面去去描述述隨機機序列列，它它們反反映的的都是是隨機機序列列的統(tǒng)統(tǒng)計特特性，，可用用于信信號檢檢測、、時延延分析析，數數字系系統(tǒng)設設計和和分析析、故故障診診斷，，信號號譜分分析等等。例5.8假假設已已知零零均值值白噪噪聲隨隨機過過程的的自相相關序序列為為Rxx(m)=σσ2xδ(m)，，這里里σ2x是隨機機過程程的方方差。。求該該隨機機過程程的功功率譜譜。解：由由式(5.59)求求得即白噪噪聲的的功率率譜是是常數數，并并等于于隨機機過程程的方方差。。例5.9相相位位為平平穩(wěn)隨隨機過過程的的正弦弦序列列仍然然是一一個平平穩(wěn)隨隨機過過程，，它的的自相相關序序列為為式中，，A是是正弦弦序列列的振振幅，，ω0是正弦弦序列列的角角頻率率。求求該正正弦序序列的的功率率譜。。解：由由式(5.61)可可以計計算得得到例5.10設設平穩(wěn)穩(wěn)隨機機過程程的自自相關關序列列為求該隨隨機過過程的的功率率譜。。解：以上3個例例子中中得到到的功功率譜譜都是是實的的、非非負的的偶函函數。。5.7離離散隨隨機信信號通通過線線性非非移變變系統(tǒng)統(tǒng)在數字字信號號處理理的廣廣泛應應用領領域中中，常常常需需要用用線性性移不不變系系統(tǒng)對對信號號進行行濾波波或處處理。。這些些信號號通常常都是是遍歷歷性平平穩(wěn)隨隨機過過程的的取樣樣序列列。本本節(jié)討討論當當這樣樣的離離散隨隨機信信號作作用于于一個個線性性移不不變系系統(tǒng)時時，系系統(tǒng)所所產生生的響響應，，具體體要討討論的的是系系統(tǒng)輸輸出的的數字字特征征(均均值、、方差差、自自相關關序列列和功功率譜譜)與與輸入入的數數字特特征之之間的的關系系。設線性性非移移變系系統(tǒng)的的沖激激響應應用h(n)表表示，，加在在系統(tǒng)統(tǒng)輸入入端的的離散散隨機機信號號x(n)是一一個平平穩(wěn)隨隨機過過程(輸入入隨機機過程程)的的一個個取樣樣序列列，系系統(tǒng)產產生的的輸出出信號號(響響應)y(n)也是是一個個離散散隨機機信號號，把把它看看成是是另一一隨機機過程程(輸輸出隨隨機過過程)的一一個取取樣序序列。。不管x(n)是是確定定性的的還是是隨機機性的的信號號，對對于系系統(tǒng)來來說是是沒有有區(qū)別別的，，系統(tǒng)統(tǒng)的沖沖激響響應、、輸入入信號號和輸輸出響響應之之間總總是存存在著著下列列關系系：設輸入入隨機機過程程的均均值、、方差差、自自相關關序列列和功功率譜譜分別別為mx、σ2x、Rxx(m)和Sxx(ejω)，現現在來來計算算輸出出隨機機過程程的相相應的的特征征參數數，并并討論論輸入入隨機機過程程與輸輸出隨隨機過過程之之間這這些參參數的的關系系。系統(tǒng)的的輸出出響應應y(n)是輸輸出隨隨機過過程{yn}的一一個取取樣序序列，，根據據遍歷歷性假假設，，可以以由y(n)求求出{yn}的均均值為為(1)輸出出隨機機過程程y(n)的均均值my由于輸輸入隨隨機過過程是是平穩(wěn)穩(wěn)隨機機過程程，故故上式式中的的E[x(n-k)]等等于mx，于是是上式式化為為式中，，H(ej0)是系系統(tǒng)的的頻率率特性性在ωω=0時的的值。。因此此，輸輸出隨隨機過過程的的均值值是與與時間間n無無關的的一個個常量量，它它與輸輸入隨隨機過過程的的均值值mx成正比比例關關系，，比例例常數數是系系統(tǒng)頻頻率特特性在在零頻頻率上上的取取值。。(2)輸出出隨機機過程程的自自相關關序列列Ryy(n,n+m)由該式式看出出輸出出隨機機過程程的自自相關關序列列只與與時間間差m有關關，而而與時時間起起點的的選取取(即即n的的選取取)無無關，，故可可將Ryy(n,n+m)表示示成Ryy(m)，，上式遂遂化為(5.72)綜合以上上討論可可看出，，輸出隨隨機過程程的均值值為常數數，其自自相關序序列只與與時間差差有關，，故它是是一個平平穩(wěn)隨機機過程。。令r-k＝l，，則式(5.72)可可寫成(5.73)式中，(5.74)它是系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應h(n)的的(確定定性)自自相關序序列。由由式(5.73)可以以看出，，系統(tǒng)輸輸出隨機機過程的的自相關關序列，，等于輸輸入隨機機過程的的自相關關序列與與系統(tǒng)沖沖激響應應的自相相關序列列的線性性卷積。。由于在確確定性離離散時間間信號作作用于線線性非移移變系統(tǒng)統(tǒng)的情況況下，系系統(tǒng)的輸輸出響應應等于輸輸入信號號與系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應的線線性卷積積，因此此，現在在討論的的隨機性性離散時時間信號號作用于于線性非非移變系系統(tǒng)的情情況，與與其非常常相似。。(3)輸輸出隨機機過程的的功率譜譜Syy(z)假設輸入入隨機過過程的均均值mx＝0，因因此輸出出隨機過過程的均均值亦為為零。這這樣，輸輸入和輸輸出隨機機過程的的協方差差序列都都分別與與它們各各自的自自相關序序列相等等。對式式(5.73)左右兩兩端進行行Z變換換，得到到式中，Syy(z)和和Sxx(z)分分別是輸輸出和輸輸入隨機機過程的的功率譜譜，它們們分別等等于Ryy(m)和和Rxx(m)的的Z變換換，即Shh(z)是是Rhh(m)的的Z變換換，設h(n)是實序序列，從從式(5.74)可以以看出，，Rhh(l)是是h(n)和h(-n)的線線性卷積積，則Shh(z)為為Rhh(l)的的z變換換對應于于h(n)和h(-n)的z變換的的乘積，，則有(5.76)式(5.76)中，H(z)是系統(tǒng)統(tǒng)的系統(tǒng)統(tǒng)函數。。如果h(n)是復序序列，那那么(5.77)于是式(5.75)可可寫成(5.78)由上式可可以看出出，假如如H(z)在z=zp處有一個個極點，，那么Syy(z)將將在z=zp和共軛倒倒數位置置z=1/z*p上各有一一個極點點；類似似地，若若H(z)在z=z0處有一個個零點，，那么Syy(z)將將在互成成共軛倒倒數關系系的兩個個位置z=z0和z=1/z*0上各有一一個零點點。在h(n)為實實序列的的情況下下，將式式(5.76)代入式式(5.75)，有式中，|H(z)|是是H(z)的模模。如果系統(tǒng)統(tǒng)是穩(wěn)定定的，那那么Syy(z)的收收斂域包包含單位位圓，由由上式可可以得出出由式(5.80)看出出，輸出出隨機過過程的功功率譜等等于輸入入隨機過過程的功功率譜與與系統(tǒng)頻頻率特性性幅度平平方的乘乘積。當當輸入信信號功率率譜為常常數時(例如輸輸入隨機機過程是是一個白白噪聲過過程)，，系統(tǒng)的的輸出信信號的功功率譜與與系統(tǒng)頻頻率特性性幅度的的平方具具有完全全相似的的形狀。。(4)輸輸入隨機機過程與與輸出隨隨機過程程的互相相關序列列Rxy(m)(5.81)上式說明明，系統(tǒng)統(tǒng)的輸入入信號與與輸出信信號之間間的互相相關序列列，等于于輸入信信號自相相關序列列與系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應的線線性卷積積。式(5.74)定義了了系統(tǒng)沖沖激響應應的自相相關序列列Rhh(l)，，實際上上它就是是h(m)與h(-m)的線線性卷積積，代入入式(5.73)，得得到(5.82)考慮到式式(5.81)的結果果，上式式可寫成成：(5.83)該式說明明，輸出出隨機信信號的自自相關序序列，可可以通過過輸入與與輸出間間的互相相關序列列與系統(tǒng)統(tǒng)沖激響響應進行行相關計計算來得得到(注注意，與與h(-m)進進行線性性卷積運運算等效效于與h(m)進行相相關運算算)。式式(5.81)、式(5.82)和和式(5.83)可以以用圖5.6來來說明:式(5.81)是一個個重要結結果。如如果輸入入是一個個零均值值的平穩(wěn)穩(wěn)白噪聲聲隨機過過程，它它的方差差為σ2x，自相關關序列是是一個沖沖激Rxx(m)=σ2xδ(m)，功率率譜等于于常數Sxx(z)＝＝σ2x，這時式式(5.81)化為(5.84)上式對應應的Z變變換為或由此得到到(5.85)如果計算算得到了了系統(tǒng)輸輸入和輸輸出之間間的互相相關序列列或互功功率譜，，那么便便可根據據式(5.84)或式式(5.85)求出系系統(tǒng)的沖沖激響應應或頻率率特性，，這提供供了一種種辨識數數字濾波波器的方方法。(5)輸輸出隨機機過程的的方差由于前面面已經討討論過均均值的計計算，所所以這里里只需討討論均方方值的計計算，就就能解決決方差的的計算問問題。輸出隨機機過程的的均方值值為(5.85)從而式中的積積分圍線線可選擇擇為單位位圓。直接計算算上式很很復雜，，一個較較簡便的的方法是是利用部部分分式式展開來來計算逆逆Z變換換。將Sxx(z)H(z)H(z-1)z-1展開成部部分分式式式中，|αi|<1是是單位圓圓內的極極點，|βi|>1是是單位圓圓外的極極點，N和M分分別是單單位圓內內、外極極點的數數目。上上式可以以變?yōu)槿绻挥杏幸浑A極極點，則則括號中中都只有有第一項項存在。。與單位位圓內極極點對應應的項將將展開成成正時間間序列，，與單位位圓外極極點對應應的項將將展開成成負時間間序列。。Ai1z／(z-αi)的逆Z變換為為Ai1αniu(n)，在n=0處處為Ai1，而所有有其它項項的逆Z變換在在n=0處都為為零。因因此可以以得到(5.87)可以看出出，用式式(5.87)計算均均方值時時只需用用到Ai1參數，其其它系數數Ai2、Ai3、…、Bj1、Bj2、…在進進行部分分分式展展開時都都不需要要計算。。如果只只有1階階極點沒沒有高階階極點，，則Ai1可按下式式計算(1)相關－卷卷積定理理卷積的相相關等于于相關的的卷積。。(2)輸出自功率譜譜等于輸入自自功率譜與系系統(tǒng)能量譜的的乘積。總結：(3)輸入輸出互相相關定理輸入、輸出序序列的互相關關等于輸入自自相關與系統(tǒng)統(tǒng)單位取樣響響應的卷積。。即輸入、輸出序序列互功率譜譜等于輸入自自功率譜與系系統(tǒng)頻響的乘乘積。即(4)均值定理輸出隨機序列列的均值等于于輸入隨機序序列的均值與與系統(tǒng)零頻(直流)響應應的乘積。9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Sunday,December25,202210、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。19:14:3919:14:3919:1412/25/20227:14:39PM11、以我我獨沈沈久，，愧君君相見見頻。。。12月月-2219:14:3919:14Dec-2225-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。19:14:3919:14:3919:14Sunday,December25,202213、乍見翻疑疑夢，相悲悲各問年。。。12月-2212月-2219:14:3919:14:39December25,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。25十十二月20227:14:39下午午19:14:3912月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。十二月227:14下午午12月-2219:14December25,202216、行動出成果果，工作出財財富。。2022/12/2519:14:3919:14:3925December202217、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點的射線線向前。。7:14:39下午7:14下下午19:14:3912月-229、沒有失敗敗，只有暫暫時停止成成功！。12月-2212月-22Sunday,December25,202210、很多事情情努力了未未必有結果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒有。。。19:14:3919:14:3919:1412/25/20227:14:39PM11、成功就是是日復一日日那一點點點小小努力力的積累。。。12月-2219:14:3919:14Dec-2225-Dec-2212、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對對圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無無限限完完美美。。。。19:14:3919:14:3919:14Sunday,December25,202213、不不知知香香積積寺寺