第1講 排列組合基本方法高分套路(原卷版)

第1講排列組合的基本方法【套路秘籍】一．計(jì)數(shù)原理1．分類計(jì)數(shù)原理如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法,……,在第n類方式中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m,+m” m種不同的方法.2.分步計(jì)數(shù)原理如果完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有in】種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mXmX-Xm種不同的方法.n 1 2 n3.分類和分步的區(qū)別，關(guān)鍵是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用分類計(jì)數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計(jì)數(shù)原理，將種數(shù)相乘.二、排列組合排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同兀素中取出m(mWn)個(gè)兀素按照一定的順序排成一列組合合成一組排列數(shù)與組合數(shù)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用A表示.n⑵組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用住表示.

3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式n！(1)Am=n(n—1)(n—2)???(n—m+1)=, 「n J (n—m)!，、?Amn(n—1)(n—2)???(n—m+1) n!2Cn=Am= m! =m!(n—m)!m '丿性質(zhì)0!=1；An=n!nCm=Cn-m；Cm=Cm+Cm—Tn n n+1 n n套路修煉】考向一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理【例1】(1)滿足a,bw{—l,0,l,2}，且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為 ．有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有 種不同的報(bào)名方法．TOC\o"1-5"\h\z【套路總結(jié)】 I\o"CurrentDocument"I ■乘法分步計(jì)數(shù)原理! I利用分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿I足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.I(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.TOC\o"1-5"\h\zI |加法分類計(jì)數(shù)原理j(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不I同的方法，不能重復(fù). |分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.1 I利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路【舉一反三】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 個(gè)．(用數(shù)字作答)如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的TOC\o"1-5"\h\z區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為 ．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 ．考向二排列【例2】(1)用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有 個(gè)．2)6名同學(xué)站成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有 種不同站法【舉一反三】1．某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方寫(xiě)一條畢業(yè)留言，那么全班共寫(xiě)了 條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．考向三組合【例3】男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．I組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：I I!(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，iI 一 一則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.|(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)>-鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，【舉一反三】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有 種.在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 .(用數(shù)字作答)考向四常用的方法【例4】7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？老師甲必須站在中間或兩端；兩名女生必須相鄰而站；4名男生互不相鄰；若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站.【套路總結(jié)】j排列組合常用方法TOC\o"1-5"\h\zi ii?簡(jiǎn)單問(wèn)題直接法：直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，直接進(jìn)行排列組合解答I I2.特殊元素（特殊位置）優(yōu)先法：優(yōu)先考慮一些特殊的元素和位置.I 13?相鄰問(wèn)題捆綁法：先把相鄰元素捆綁在一起，再進(jìn)行排列.4?不相鄰問(wèn)題插空法：先把沒(méi)有位置要求的元素排列好，再排不相鄰的元素5?定序問(wèn)題縮倍法（等概率問(wèn)題縮倍法）先把所有的元素安排好，再縮小一定的倍數(shù)6?至少問(wèn)題間接法：一般先考慮全部的排法，再排除不滿足題意的排法 |17?平均分組除法法：一般先分堆，再除以An.&元素相同問(wèn)題隔板法:將n個(gè)相同的元素分成m份（nm為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔Cm—1板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cn—i.【舉一反三】為配合足球國(guó)家戰(zhàn)略，教育部特派6名相關(guān)專業(yè)技術(shù)人員到甲、乙、丙三所足校進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn)，每TOC\o"1-5"\h\z所學(xué)校至少一人，其中王教練不去甲校的分配方案有 種．某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 ．大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開(kāi)使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A,B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名（乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置），其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來(lái)自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有 種．某賓館安排A,B,C,D,E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A,B不能住同一房間，則共有 種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）【套路運(yùn)用】1．2019年4月25日-27日,北京召開(kāi)第二屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇,組委會(huì)要從6個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國(guó)外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)行提問(wèn),要求這三個(gè)媒體團(tuán)中既有國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)又有國(guó)外媒體團(tuán),且國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問(wèn),則不同的提問(wèn)方式的種數(shù)為（ ）A．198 B．268 C．306 D．3782020年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì)將設(shè)置■-■-米男女混合泳接力這一新的比賽項(xiàng)目，比賽的規(guī)則是：每個(gè)參賽國(guó)家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，按照仰泳-蛙泳-蝶泳-自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運(yùn)動(dòng)員完成,且每名運(yùn)動(dòng)員都要出場(chǎng),若中國(guó)隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單,其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳，男運(yùn)動(dòng)員乙只能承擔(dān)蝶泳或者自由泳，剩下的2名運(yùn)動(dòng)員四種泳姿都可以承擔(dān)，則中國(guó)隊(duì)的排兵布陣的方式共有（）A.144種 B.24種 C.12種 D.6種中國(guó)古代的五經(jīng)是指：《詩(shī)經(jīng)》、《尚書(shū)》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊%名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書(shū)作為課外興趣研讀，若甲乙都沒(méi)有選《詩(shī)經(jīng)》，乙也沒(méi)選《春秋》，貝廬名同學(xué)所有可能的選擇有（）A.I；種 B.種 C.種 D.種用數(shù)字0,2,4,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中大于420789的正整數(shù)個(gè)數(shù)為（）A.479 B.480 C.455 D.4565.在中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)期間，有甲、乙、丙、丁4名游客準(zhǔn)備到貴州的黃果樹(shù)瀑布、梵凈山、萬(wàn)峰林三個(gè)景點(diǎn)旅游參觀，其中的每個(gè)人只去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少要去一個(gè)人，則游客甲去梵凈山的概率為（）1112TOC\o"1-5"\h\zA； B.' C.〉： D.'6．第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪報(bào)導(dǎo)。工作過(guò)程中的任務(wù)劃分為：“負(fù)重扛機(jī)”，“對(duì)象采訪”，“文稿編寫(xiě)”“編制剪輯”等四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人參加，但兩名女記者不參加“負(fù)重扛機(jī)”，則不同的安排方案數(shù)共有（）A.150 B.126 C.90 D.547?今有■個(gè)人組成的旅游團(tuán)，包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，去廬山旅游，準(zhǔn)備同時(shí)乘纜車觀光，現(xiàn)有三輛不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了安全起見(jiàn)，小孩乘纜車必須要大人陪同，則不同的乘車方式有（）種A.204B.2麗 C.十翻 D.珈為慶祝中國(guó)人民解放軍建軍90周年，南昌市某校打算組織高一6個(gè)班級(jí)參加紅色旅游活動(dòng)，旅游點(diǎn)選取了八一南昌起義紀(jì)念館，南昌新四軍軍部舊址等5個(gè)紅色旅游景點(diǎn).若規(guī)定每個(gè)班級(jí)必須參加且只能游覽1個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至多有兩個(gè)班級(jí)游覽，則這6個(gè)班級(jí)中沒(méi)有班級(jí)游覽新四軍軍部舊址的不同游覽方法數(shù)為（）A.3600 B.1080 C.1440 D.2520若用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方案數(shù)有用6種不同的顏色對(duì)正四棱錐的8條棱染色，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種（）A．14400 B．28800 C．38880 D．43200定義“有增有減”數(shù)列｛a｝如下：3tgN*，滿足a<a，且3seN*，滿足a>a.已知“有增n t t+1 S S+1有減”數(shù)列｛a｝共4項(xiàng)，若ae｛x,y,z｝C=1,2,3,4），且x<y<z，則數(shù)列｛a｝共有（）n i nA.64個(gè)B.57個(gè)C.56個(gè)D.54個(gè)一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？（）A.5 B.25 C.55 D.75一名同學(xué)想要報(bào)考某大學(xué)，他必須從該校的8個(gè)不同專業(yè)中選出5個(gè)，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的順序填寫(xiě)志愿表.若A專業(yè)不能作為第一、第二志愿，則他共有 種不同的填法（用數(shù)字作答）.在一次中學(xué)生志愿者活動(dòng)中，需要將A,B,C,D,E共5名志愿者分派到2個(gè)不同的地點(diǎn)進(jìn)行愛(ài)心活動(dòng)，要求每個(gè)地點(diǎn)至少有1人活動(dòng)，并且A,B兩名同學(xué)必須在同一個(gè)地點(diǎn)，則不同的愛(ài)心分派方案共有 種（用數(shù)字作答）.習(xí)近平總書(shū)記在湖南省湘西州十八洞村考察時(shí)首次提出“精準(zhǔn)扶貧”概念，精準(zhǔn)扶貧成為我國(guó)脫貧攻堅(jiān)的基本方略.為配合國(guó)家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級(jí)教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為 .分配5名水暖工去4個(gè)不同的居民家里檢查暖氣管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一個(gè)居民家，且每個(gè)居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有 種（用數(shù)字作答）.把四本不同的書(shū)分給三位同學(xué)，每人至少分到一本，每本書(shū)都必須有人分到，J“不能同時(shí)分給同一個(gè)人，則不同的分配方式共有 種（用數(shù)字作答）.某共享汽車停放點(diǎn)的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為 ．19．某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語(yǔ)翻譯，小李等3名日語(yǔ)翻譯，另外2名既能翻譯英語(yǔ)又能翻譯日語(yǔ)，現(xiàn)需選取5名翻譯參加翻譯工作，3名翻譯英語(yǔ)，2名翻譯日語(yǔ)，且小張與小李恰有1人選中，則有 種不同選取方法.20.用五種不同顏色給三棱臺(tái)I'* 的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染TOC\o"1-5"\h\z不同顏色.則不同的染色方法有 種.21．2017年1月27日，哈爾濱地鐵3號(hào)線一期開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個(gè)地方，哈西站一定要有人去，則不同的游覽方案為 種．22．用六種不同的顏色給如圖所示的六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有 種．23.如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩