高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升練-直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

空間向量與立體幾何——直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為，則O到平面ABC的距離為()A. B. C.1 D.2.如圖，在所有棱長均相等的直三棱柱中(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)，E是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()

A.平面B.異面直線AE與所成角的正切值為C.平面D.三棱錐的體積是三棱柱體積的3.已知在三棱錐中，平面ABC，垂足為O，且，則點(diǎn)O一定是的().A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心4.設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB與直線AC所成角為，直線PB與平面ABC所成角為，二面角的平面角為，則()A.， B.， C.， D.，5.在長方體中，已知與平面ABCD和平面所成的角均為30°，則()A. B.AB與平面所成的角為30°C. D.與平面所成的角為45°6.在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面7.在正方體中，E是的中點(diǎn).若，則點(diǎn)B到平面ACE的距離等于()A. B. C. D.38.（多選）已知正方體，則()A.直線與所成的角為90° B.直線與所成的角為90°C.直線與平面所成的角為45° D.直線與平面ABCD所成的角為45°9.（多選）如圖在正方體中,E為線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.B.平面平面C.線段上必有F點(diǎn)使得平面平面D.正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為1:210.（多選）如圖,中,為邊上的高,將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到的位置,則()A.記的中點(diǎn)分別為,則旋轉(zhuǎn)過程中平面B.當(dāng)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為C.存在某一位置使得平面D.當(dāng)時(shí),與平面所成角的正弦值為11.已知在四棱錐中，平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足___________時(shí)，平面平面PCD.12.已知矩形ABCD的邊，，平面ABCD.若BC邊上有且只有一點(diǎn)M，使，則a的值為_________________.13.已知中，，P為平面ABC外一點(diǎn)，且，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是_________.14.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.

（1）求A到平面的距離；

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值.15.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，.求證：(1)直線平面BDE.(2)平面平面PCD.

答案以及解析1.答案：C解析：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，因?yàn)槠涿娣e為，所以，解得.故的外接圓半徑.設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為，所以，得.所以O(shè)到平面ABC的距離.故選C.2.答案：B解析：如圖，連接，，，由題意可知是等邊三角形，E是的中點(diǎn)，所以.在直三棱柱中，，，所以平面，故選項(xiàng)A正確；在三棱柱中，，異面直線AE與所成角即為與AE所成角.設(shè)直三棱柱的棱長為a，則，所以在中，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在三棱柱中，，由線面平行的判定定理可知平面，故選項(xiàng)C正確：由棱錐和棱柱的體積公式可知選項(xiàng)D正確，故選B.3.答案：B解析：如圖所示，分別連接OA，OB，OC，由平面ABC，可得，，.又因?yàn)?，所以利用勾股定理，可得，所以點(diǎn)O一定是的外心.故選B.4.答案：B解析：由題意，不妨設(shè)該棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等，因?yàn)辄c(diǎn)P是VA棱以上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，所以直線PB與平面ABC所成的角小于直線VB與平面ABC所成的角，而直線VB與平面ABC所成的角小于二曲角的平角，所以；因?yàn)槠矫鍭BC，所以直線PB直線所成的角大于直線PB與平面ABC所成的角，即.故選B.5.答案：D解析：如圖，連接BD，易知是直線與平面ABCD所成的角，所以在中，，設(shè)，，.易知是直線與平面所成的角，所以在中，，因?yàn)?，所以，，所以在中，，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤.易知是直線AB與平面所成的角，所以在中，，所以，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤.在中，，而，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.易知是直線與平面所成的角，因?yàn)樵谥校?，所以，所以D項(xiàng)正確.故選D.6.答案：A解析：如圖，對(duì)于選項(xiàng)A，在正方體中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以，又，所以，又易知，，從而平面，又平面，所以平面平面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以由選項(xiàng)A知，平面平面不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意知直線與直線必相交，故平面與平面不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，連接，，易知平面平面，又平面與平面有公共點(diǎn)，所以平面與平面不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.7.答案：B解析：在正方體中，，E是的中點(diǎn)，則，，，.設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為h，由，得，解得.故選B.8.答案：ABD解析：如圖，連接，在正方形中，，因?yàn)椋?，所以直線與所成的角為90°.故A正確.

在正方體中，平面，又平面，所以，連接，則，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以，所以直線與所成的角為90°.故B正確.連接，交于點(diǎn)O，則易得平面，連接OB，因?yàn)槠矫?，所以，為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為a，則易得，，所以在中，，所以.故C錯(cuò)誤.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以為直線與平面ABCD所成的角，易得，故D正確.故選ABD.9.答案：ABC解析：在正方體中,平面平面,所以.因?yàn)榈酌鏋檎叫?所以,,所以平面,因此,故選項(xiàng)A正確;因?yàn)槠矫?所以平面平面,所以平面平面,故選項(xiàng)B正確;當(dāng)F為的中點(diǎn),E為的中點(diǎn)時(shí),,因此當(dāng)F為中點(diǎn)時(shí),平面平面,故選項(xiàng)C正確;正方體的內(nèi)切球半徑為,正方體的外接球半徑為,故內(nèi)切球和外接球的半徑比為,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選ABC.10.答案：AC解析：,,.又.記的中點(diǎn)分別為,得.平面平面平面,故選項(xiàng)A正確;,且平面,平面.若,則兩兩垂直,以為鄰邊作長方體,該長方體的長,寬,高分別為2,4,,所以其體對(duì)角線長為,其外接球的半徑為,則長方體的外接球表面積為,即三棱錐的外接球的表面積為,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),由條件可得,此時(shí)平面平面,.又平面,故選項(xiàng)C正確;,設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為d,則,而,,.設(shè)與平面所成角為α,則,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選AC.11.答案：(或)解析：，，易知，當(dāng)時(shí)，，又，平面MBD，又平面PCD，平面平面PCD.12.答案：解析：平面ABCD，平面ABCD，.邊上存在點(diǎn)M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD為直徑的圓和BC相交.，圓的半徑為.點(diǎn)M是唯一的，和以AD的中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓相切，，即.13.答案：平面平面ABC解析：因?yàn)椋訮在所在平面上的射影必落在的外心上，又的外心為BC的中點(diǎn)，設(shè)為O，則平面ABC，又平面PBC，所以平面平面ABC.14.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，

因?yàn)橹比庵捏w積為4，

所以，

又的面積為，，

所以，即點(diǎn)A到平面的距離為.

（2）取的中點(diǎn)E，連接AE，則，

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?/p>

所以平面，所以，

又平面ABC，

所以，因?yàn)?，所以平面?/p>

所以.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，，所以，，

因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，

所以，，，，，，

則，，

設(shè)平面ABD的法向量為，

則即

令，得，

又平面BDC的一個(gè)法向量為，

所以，

設(shè)二面角的平面角為，

則，