2022年高考數(shù)學(xué)平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示知識點(diǎn)專項練習(xí)含答案

專題20平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示一、單選題（本大題共12小題，共60分）在ΔABC中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a|A.∠AOB平分線所在的直線上 B.線段AB垂直平分線上

C.AB邊所在直線上 D.AB已知點(diǎn)A，B，C在圓O上，|OA+OB|=|OA-A.12 B.1 C.32 如圖，在△ABC中，AD⊥AB，，|AD|=2，且AC?AD=12，則2x+y=(A.1 B.-23 C.-13已知△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C不重合)，且AP=5PO+2OB+3OC，則△ACP與△BCPA.2︰1 B.3︰1如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BCA.12DE-74COB.2將函數(shù)fx=4sin(π2-π2x)和直線g(x)=x-1的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，???A.0 B.2 C.6 D.10O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP→?=OA→?+μ(ABAB+ACAC)，A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心定理：點(diǎn)P是ΔABC內(nèi)任一點(diǎn)，則其中SΔBPC,

SΔAPC,SΔAPB分別是ΔBPC，ΔAPC，ΔAPB的面積).該定理的幾何圖形類似于奔馳車標(biāo)，也被戲稱為平面向量的“奔馳定理”.已知ΔABC內(nèi)一點(diǎn)O，滿足SΔBOC=1，SΔABCA.9 B.5 C.2 D.7已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB=60°，設(shè)AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，則A.233 B.33 C.在等腰梯形中，AB//CD，AB=2，AD=1，∠DAB=π3，點(diǎn)F是線段AB上的一點(diǎn)，M為直線BC上的動點(diǎn)，若BC=3CE，AF=λAB，且AE?DFA.14 B.-6364 C.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A和B是圓C:x-12+y2=1上的兩點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)P2,1A.5-2,5+2設(shè)|AB|=10，若平面上點(diǎn)P滿足對任意的λ∈R.，恒有|2AP-λAB|?8，則一定正確的是(A.|PA|≥5 B.|PA+二、單空題（本大題共6小題，共30分）如圖，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線AC上，且AC=3AN，直線CM與BN相交于點(diǎn)P，則線段AP的長為

．在梯形ABCD中，已知AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM=λAC如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E,F分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AE?=λAB?,AF?=μ如圖，在△?ABC中，BD=13BC，點(diǎn)E在線段AD上移動(不含端點(diǎn))，若AE=λAB+μ已知正方形ABCD的邊長為1.當(dāng)λii=1,2,3,4,5,6每個取遍±1時，λ1AB+如圖，在△ABC中，AB=4，AC=2，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．若DE?DF=134，則線段BD的長為三、解答題（本大題共2小題，共30分）19．設(shè)兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使和共線．20．平面內(nèi)給定三個向量，，.（1）求滿足的實(shí)數(shù)m、n；（2）若，求實(shí)數(shù)k；（3）若向量滿足，且，求的坐標(biāo).專題20平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示一、單選題（本大題共12小題，共60分）在ΔABC中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(A.∠AOB平分線所在的直線上 B.線段AB垂直平分線上

C.AB邊所在直線上 D.AB【答案】A【解析】解：∵OA=a，OB=b，OP=p，

且p=t(a|a|+b|b|),t∈R，

∵?a?|??a?|??和??b?|??b?|??是△OAB已知點(diǎn)A，B，C在圓O上，|OA+OB|=|A.12 B.1 C.32 【答案】B【解析】解：∵點(diǎn)A，B，C在圓O上，設(shè)圓O半徑為r，則OA=OB=OC=r，

又|OA+OB|=|OA-OB|,

∴OA+OB2=OA-OB2，

于是2r2+2OA·OB=2r2-2OA·OB，

∴OA·OB=0，從而OA⊥OB．

因此，可以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA，OB分別為x，y如圖，在△ABC中，AD⊥AB，，|AD|=2，且AC?AD=12A.1 B.-23 C.-13【答案】C【解析】解：因?yàn)锽D=xAB+yAC，

所以AD-AB=xAB+yAC

則AD=(x+1)AB+yAC，AD?AD=AD?[(x+1)AB+yAC]

=(x+1)AD?AB+yAD?AC，

因?yàn)閨AD|=2，且已知△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C不重合)，且AP=5PO+2OB+3OC，則△ACPA.2︰1 B.3︰1【答案】A【解析】解：因?yàn)锳P=5PO+2OB+3OC=2PB+3PC=2(AB-AP)+3(AC-AP)，

整理得AP=13AB+12AC，如圖：

如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)FA.12DE-74COB.2【答案】A【解析】解：以AB，AD為基底，

CO=-12AC=-12AB-12AD，

DE=AE-AD=14AC-AD=14AD將函數(shù)fx=4sin(π2-π2x)和直線g(x)=x-1的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2A.0 B.2 C.6 D.10【答案】D【解析】解：f(x)=4sinπ2-π2x=4cosπ2x與g(x)=x-1的所有交點(diǎn)從左往右依次記為A1、A2、A3、A4和A5，

且A1和A5，A2和A4O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP→?=OA→?+μ(ABAB+ACACA.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【答案】B【解析】解：∵AB|AB|、AC|∴AB|AB又∵OP∴OP∴向量AP的方向與∠BAC的角平分線一致，∴P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心．故選B．定理：點(diǎn)P是ΔABC內(nèi)任一點(diǎn)，則其中SΔBPC,

SΔAPC,SΔAPB分別是ΔBPC，ΔAPC，ΔAPB的面積).該定理的幾何圖形類似于奔馳車標(biāo)，也被戲稱為平面向量的“奔馳定理”.已知ΔABC內(nèi)一點(diǎn)O，滿足SΔBOC=1，A.9 B.5 C.2 D.7【答案】A【解析】解：因?yàn)镺是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，

所以若，則，

因此由“奔馳定理”知：OA+xOB+6-xOC=0，

即OA=-xOB+x-6OC．

又因?yàn)?OA+3OB+mOC=0，

所以2-xOB+x-6OC+3OB+mOC已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB=60°，設(shè)AD=λAB+μACA.233 B.33 C.【答案】A【解析】解：由題意可建立坐標(biāo)系并作出如下圖形：

∵∠BAC=90°，AB=1，AC=2，

∴A(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b)，∵∠DAB=60°，∴b=3a，

∴Da,3a，AD=a,3a，

∵AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)在等腰梯形中，AB//CD，AB=2，AD=1，∠DAB=π3，點(diǎn)F是線段AB上的一點(diǎn)，M為直線BC上的動點(diǎn)，若BC=3CE，AF=λAB，且AEA.14 B.-6364 C.【答案】B【解析】解：因?yàn)锳B//CD，AB=2，AD=1，，BC=3CE,AF=λAB，

則AD=BC=1，由AE?DF=-1，

得到(BE-BA)·(AF-AD)=(43BC+AB)·(λAB-AD)

，

解得λ=14，

設(shè)AB的中點(diǎn)為O，CD的中點(diǎn)為H，

以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，OH為y軸建立直角坐標(biāo)系，

則B(1,0)，C(12,32)，D(-1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A和B是圓C:x-12+y2=1上的兩點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)A.5-2,5+2【答案】A【解析】解：AB=2，取AB中點(diǎn)為M，CM=22，且CM⊥AB，

延長MA至Q，使得MQ=3MA=322，

所以2PA-PB=PA+PA-PB=PM+MA+BA=PM+3MA=設(shè)|AB|=10，若平面上點(diǎn)P滿足對任意的λ∈R.，恒有|2AP-λAB|?8A.|PA|≥5 B.|PA+【答案】C【解析】解：由2AP-λAB≥8，得到AP-λ2AB≥4可知點(diǎn)P到直線AB的距離為4，

∴PA≥4，所以選項A不正確，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則|PM|min=4，

∴PA+PB=二、單空題（本大題共6小題，共30分）如圖，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線AC上，且AC=3AN，直線CM與BN相交于點(diǎn)P，則線段AP的長為

【答案】21【解析】解：因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)x滿足AP=xAB+(1-x)AN=xAB+1-x3AC，

因?yàn)镃，P，M三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)y滿足AP=yAM+(1-y)AC=y2AB+(1-y)AC，

又AB，AC不共線，則在梯形ABCD中，已知AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM【答案】3【解析】如圖示：∵梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB．∴AM=AC+CM=AC+1如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E,F分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AE?=λAB?,AF【答案】7【解析】解：連接AM、AN，

∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1,A=120°,∴AB·AC=|AB|·|AC|cos120°=-12

∵AM是△AEF的中線，

∴AM=12(AE+AF)=12(λAB+μAC)，

同理，可得AN=12(AB+如圖，在△?ABC中，BD=13BC，點(diǎn)E在線段AD上移動(不含端點(diǎn))，若AE=λ【答案】(【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AD上移動(不含端點(diǎn))，

所以設(shè)AE=kAD0<k<1．

又因?yàn)锽D=13BC，

所以BD=13BC=13AC-AB，

因此AE=kAD=k?AB+BD=k?AB+13AC-13AB=k?(23AB+13已知正方形ABCD的邊長為1.當(dāng)λii=1,2,3,4,5,6每個取遍±1時，λ1【答案】2【解析】解：如圖，

正方形ABCD的邊長為1，可得AB+AD=AC，BD=AD-AB，AB?AD=0，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5

(AB+AD)+λ6

(AD-AB)|=|(λ1-λ3+λ如圖，在△ABC中，AB=4，AC=2，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．若DE?DF=134，則線段【答案】3【解析】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，過A點(diǎn)的AB的垂線為y軸建立坐標(biāo)系，如下圖：

由題意得A(0,0)，B(4,0)，C(1,3)，E(2,0)，F(xiàn)(12,32)，

設(shè)D(x,y)(1≤x≤4,0≤y≤3)，

則DE=(2-x,-y)，DF=(12-x,32-y)，BC=(-3,3)，BD=(x-4,y)，

則DE?DF=2-x12-x-y32-y=134，①，

又三、解答題（本大題共2小題，共30分）19．設(shè)兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）