基本不等式 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)提升精講精練 （含答案解析）

2.2基本不等式（精練）（提升版）題組一基本不等式?？夹问?．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，且恒成立，則的最大值是（

）題組一基本不等式?？夹问紸． B． C． D．【答案】C【解析】等價(jià)于，故得到則的最大值是4.故選：C.2．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)）已知，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】，因?yàn)椋?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，即的最小值是7.故選：C3．（2022··一模）（多選）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】BC【解析】，且，，對(duì)于A，利用基本不等式得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于D，利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，，故D錯(cuò)誤；故選：BC4．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）已知，，且，則（

）A．xy的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的最小值是3 D．的最小值是【答案】BD【解析】因?yàn)?，，所以，所以，解得，即，則A錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以，即，解得，則B正確.因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?所以，則C錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則D正確.故選：BD5．（2022·山東德州·高三期末）（多選）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為16C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【解析】由可得，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），故A正確；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），即，故D正確；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），即，故B錯(cuò)誤；，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），故C正確；故選：ACD6．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）設(shè)，，則的最小值是（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，設(shè)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）當(dāng)，，時(shí)，恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)椋艉愠闪?，則，解得．故選：AB.8．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為__________.【答案】2【解析】因?yàn)椋?2，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：29．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故的最小值為．故答案為：題組二題組二1．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，若，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【解析】對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9.故選：B.2．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C.3．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知、，直線，，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椤?，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D4．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．8【答案】B【解析】由題可知圓的圓心為，若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則說明直線過圓心，即，即，變形可得故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故最小值為4.故選：B5．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））若，，，則的最小值等于（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】由，且，所以，又由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值等于.故選：D.6．（2022·浙江·紹興一中高三期末）若兩圓（）和（）恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】圓化為，則圓心為，半徑，圓化為，則圓心為，半徑，因?yàn)閮蓤A（）和（）恰有三條公切線，所以兩圓外切，則圓心距，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.7．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．3 B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為的最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D8．（2022·安徽·池州市第一中學(xué)）中，為邊上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)、），且，滿足則（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】D【解析】因?yàn)樵谶吷?，設(shè)，其中，即，則，因?yàn)?，則且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，有最小值.故選：D.9．（2022·安徽安慶·二模（文））如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且.過點(diǎn)的直線分別交射線、于不同的兩點(diǎn)、.若，，則（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】B【解析】先證明結(jié)論：設(shè)為與、、不在同一直線外的一點(diǎn)，三點(diǎn)、、共線且.若三點(diǎn)、、共線，可設(shè)，其中，則，所以，，設(shè)，則，所以，三點(diǎn)、、共線且.若且，則，所以，，可得，故三點(diǎn)、、共線，即三點(diǎn)、、共線且.所以，三點(diǎn)、、共線且.本題中，連接，則，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，由題意可知且，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.故選：B.10．（2022·甘肅張掖·高三期末（理））在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，所以，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最大值為4.故選：A.11．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三開學(xué)考試）若函數(shù)的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且最大值為，所以，即，故A一定成立；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，故B一定成立；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，故C一定成立；，當(dāng)同號(hào)時(shí)，，當(dāng)異號(hào)時(shí)，，故D不一定成立.故選：D12．（2021·江蘇·高考真題）已知奇函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足則的最小值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)槠婧瘮?shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：B13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知隨機(jī)變量，若，則的最小值為___________.【答案】9【解析】依題意，由正態(tài)分布知識(shí)可得，，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為9.故答案為：9.14．（2022·河南濮陽·高三階段練習(xí)（理））已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．【答案】【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，對(duì)求導(dǎo)得，所以，即，所以，所以切點(diǎn)為，由切點(diǎn)在切線上，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值是．故答案為：．題組三題組三連用兩次基本不等式1.已知a＞b＞0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為________．【答案】4【解析】題意a＞b＞0，則a－b＞0，所以b(a－b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq\f(a2,4)，所以a2＋eq\f(1,ba－b)≥a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a－b且a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)，所以a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為4.2.若x，y是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是________．【答案】4【解析】∵x＞0，y＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x))).又2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))＝2xy＋eq