同濟(jì)線性代數(shù)課件第二章

1第二章矩陣及其運(yùn)算2§1

矩陣線性方程組與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)明：上述的有序數(shù)表完全確定了原線性方程組(1),對(duì)它的研究可以判斷(1)的解得情況.34簡(jiǎn)記為其中數(shù)稱為的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。5同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。矩陣相等：6行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMatrix):只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)2.矩陣的分類：實(shí)矩陣和復(fù)矩陣一些特殊的矩陣7方陣(SquareMatrix):是3階方陣.行數(shù)與列數(shù)都等于n

的矩陣，稱為n

階方陣(或n

階矩陣),記作An8零矩陣(ZeroMatrix):元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.9單位矩陣(IdentityMatrix):主對(duì)角元素全為1，其余元素都為零的方陣。記作:10數(shù)量矩陣(ScalarMatrix):主對(duì)角元素全為非零常數(shù)k，其余元素全為零的方陣。11對(duì)角陣(DiagonalMatrix):主對(duì)角線以外的元素都為零的方陣。12§2

矩陣的基本運(yùn)算一、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定為1.定義注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.13負(fù)矩陣：稱為矩陣A的負(fù)矩陣。142.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律:例1：求矩陣X，使X+A=B,其中A=解：因?yàn)閄+A+(-A)=B+(-A)，所以X=B-A15二、數(shù)與矩陣相乘（矩陣的數(shù)乘）1.定義162.數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：設(shè)

A,B為m×n矩陣，l,m為數(shù)17例2：已知且（2A-X）+2(B-X)=O,求X.解：因?yàn)?A-X+2B-2X=O，所以3X=2A+2B,因此X=2(A+B)/3注意：矩陣的加減與數(shù)乘矩陣運(yùn)算合起來(lái),又稱為矩陣的線性運(yùn)算.181.定義并把此乘積記作C=

AB三、矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)

m×s矩陣，是一個(gè)

s×n矩陣，那末規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中ss切記：當(dāng)A的行數(shù)等于B的列數(shù)，AB才有意義，即A和B相乘可行.19例3：但是無(wú)意義.切記：當(dāng)A的行數(shù)等于B的列數(shù)，AB才有意義，即A和B相乘可行.20則＊為：212.矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律：221.矩陣乘法不滿足交換律注意：設(shè)A左乘BB右乘A232.

矩陣乘法不滿足消去律設(shè)但注意：注意：3.AB=O,24注意：1.矩陣乘法不滿足交換律2.

矩陣乘法不滿足消去律3.AB=O25若A是n

階方陣，則為A的次冪，即3.方陣的冪：并且26例4.計(jì)算解：設(shè)方法一故猜測(cè)：27用數(shù)學(xué)歸納法：(2)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即(3)則n=k+1時(shí)，(1)由上述分析知，當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立，也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知：28方法二：拆項(xiàng)法29例5設(shè)解：30注：求的基本方法是數(shù)學(xué)歸納法，一些特殊方法：比如拆項(xiàng)法，特殊法(例5)，對(duì)角化法(實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化)但對(duì)于一些特殊的矩陣可以采取31四.矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義:把矩陣

A

的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例:2.轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：32例6：已知解1：解2：33對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸。對(duì)稱陣:設(shè)A為n

階方陣，如果滿足，即那末A

稱為對(duì)稱陣.34反對(duì)稱陣:設(shè)A為n

階方陣，若滿足，即則稱A為反對(duì)稱陣.顯然,反對(duì)稱陣的主對(duì)角元都是零。35例7注：對(duì)稱矩陣的乘積不一定是對(duì)稱矩陣36例8證明：矩陣A=O的充要條件是證明:3738注：即：A=O39五、方陣的行列式1.定義：由

n階方陣

A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或

detA402.運(yùn)算規(guī)律：注:雖然

但(A,B為n階方陣)41例9設(shè)有3階方陣且已知42定義：行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.43性質(zhì)：注：該性質(zhì)表明：44§3逆矩陣一：定義：設(shè)

A是

n階方陣,若存在n階方陣B使AB=BA=E則稱

A是可逆的,并稱B是A的逆矩陣.性質(zhì)1：若A是可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的證明：設(shè)B,C都是A的逆矩陣，則有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C記A的逆矩陣為45定理1:證明：n階方陣

A可逆充要條件是|A|≠

0,且當(dāng)

A可逆時(shí),

A可逆,存在B,使得

AB=

E

于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠0|A|≠0,46若|A|＝

0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)

若|A|≠0,則稱A為非奇異矩陣(非退化矩陣)

推論：證明：47方陣A的逆矩陣的求法:例148例2例349二：可逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律:注：5051例4：解52于是53例5：設(shè)解方程解：54例6：所以A可逆，且證：所以可逆，55例7設(shè)56例8若A,B,C為同階矩陣,且A可逆,則下列結(jié)論成立？

(1)若AB=AC,則B=C.(2)若AB=CB,則A=C.(3)若AB=O,則B=O.(4)若BC=O,則B=O.57三：關(guān)于伴隨矩陣58證明:(1)(2)(3)證明略59(5)(6)例960§4矩陣的分塊法矩陣的分塊法是討論矩陣時(shí)一種有效的手段。具體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的一個(gè)子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.61例：62一:分塊矩陣的運(yùn)