高三數(shù)學(xué)（文）考點總動員 考點05 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）（解析版）（ 2014高考）

考點05函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）【考點分類】熱點一函數(shù)的單調(diào)性1．【2014高考安徽卷文第5題】設(shè)則（）A．B．C．D．2．【2014高考北京卷文第2題】下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（）A．B．C．D．3．【2014高考福建卷文第8題】若函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列函數(shù)正確的是（）4．【2014高考陜西卷文第7題】下了函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（B）（C）（D）5．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）（A） (B)（C） (D)6．【2014高考天津卷卷文第12題】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【方法規(guī)律】1．對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解．(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．但是，對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進行．2．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致．(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．3．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：f(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則f(x1)<f(x2)f(x1)－f(x2)<0，若函數(shù)是增函數(shù)，則f(x1)<f(x2)x1<x2，函數(shù)不等式(或方程)的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號，化為一般不等式(或方程)求解，但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行．【易錯點睛】誤區(qū)1．用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，錯用“自己證明自己”而致錯（循環(huán)論證）．【例1】（2014廣州綜合測試）證明：函數(shù)f(x)＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．【錯證】設(shè)0≤x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1)－eq\r(x2)，所以eq\r(x1)＜eq\r(x2)，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯誤，本來要證明f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，可在由x1＜x2得到eq\r(x1)＜eq\r(x2)時，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)的結(jié)論，犯下了“自己證明自己”的錯誤．誤區(qū)2．求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，忽視函數(shù)的定義域而致錯【例2】（2014浙江寧波十校聯(lián)考）求y＝eq\r(x2－4x－12)的單調(diào)區(qū)間．【錯解】令t＝x2－4x－12，則t＝x2－4x－12在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，又y＝eq\r(t)是增函數(shù)，所以y＝eq\r(x2－4x－12)的單調(diào)區(qū)間是(－∞，2]與[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增．【剖析】上述解答錯誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域{x|x≤－2或x≥6}．【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，則t＝(x－2)2－16在(－∞，2]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)．又y＝eq\r(t)是增函數(shù)，所以y＝eq\r(x2－4x－12)的單調(diào)區(qū)間是(－∞，－2]與[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上遞減，在[6，＋∞)上遞增．【點撥】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，必須考慮函數(shù)的定義域，建立“定義域優(yōu)先”意識．誤區(qū)3．忽視隱含條件致誤【例3】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x＜1，,logax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()A．(0，1)B．(0，eq\f(1,3))C．[eq\f(1,7)，eq\f(1,3))D．[eq\f(1,7)，1)【錯解】誤選B項的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件，要知道函數(shù)在R上為減函數(shù)，還需使得f(x)＝(3a－1)x＋4a在x＜1上的最小值不小于f(x)＝logax在x≥1上的最大值，多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤．【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，只需滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＜0，,0＜a＜1，,3a－1×1＋4a≥loga1))?eq\f(1,7)≤a＜eq\f(1,3)．故選C．【點評】一般地，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b)上為增函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上為增函數(shù)，則不一定說明函數(shù)f(x)在[a，c]為增函數(shù)，如圖（1），由圖像可知函數(shù)f(x)在[a，c]上整體不呈上升趨勢，故此時不能說f(x)在[a，c]上為增函數(shù)，若圖象滿足如圖（2），即可說明函數(shù)在[a，c]上為增函數(shù)，即只需f(x)在[a，b)上的最大值不大于f(x)在[b，c]上的最小值即可，同理減函數(shù)的情況依據(jù)上述思路也可推得相應(yīng)結(jié)論．需注意以下兩點：(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，如果一個函數(shù)在其定義域的幾個區(qū)間上都是增函數(shù)(或減函數(shù))，不能認為這個函數(shù)在其定義域上就是增函數(shù)(或減函數(shù))，例如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上也是減函數(shù)，但不能說f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，因為當x1＝－1，x2＝1時，有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1不滿足減函數(shù)的定義．(2)當一個函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個時，一般不能直接用“∪”將它們連接起來，例如：函數(shù)y＝x3－3x的單調(diào)增區(qū)間有兩個：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能寫成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．熱點二函數(shù)的奇偶性1．【2014高考廣東卷文第5題】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A2．【2014高考全國1卷文第5題】設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)3．【2014高考重慶卷文第4題】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）4．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）文科】定義域為的四個函數(shù)，，，中，奇函數(shù)的個數(shù)是()A． B． C． D．【答案】C【解析】奇函數(shù)的為與，和為非奇非偶函數(shù)，故選C．5．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）文科】已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，則g（1）等于（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】因為，兩式相加可得．6．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）文科】已知函數(shù)（）A．B．C．D．7．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】8．【2014高考湖南卷文第15題】若是偶函數(shù)，則____________．【答案】9．【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】已知是定義在上的奇函數(shù)．當時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為．10．【2014高考上海文第20題】設(shè)常數(shù)，函數(shù)．若=4，求函數(shù)的反函數(shù)；根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由．性的定義可知函數(shù)具有奇偶性，在時，函數(shù)的定義域是，不關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．【方法規(guī)律】1．判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法一般地，對于較簡單的函數(shù)解析式，可通過定義直接作出判斷；對于較復(fù)雜的解析式，可先對其進行化簡，再利用定義進行判斷．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(2)圖象法奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱．因此要證函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可；要證函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，只需證明此函數(shù)是偶函數(shù)即可．反之，也可利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性．(3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法①兩個奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù)，一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù)．②奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)，奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函數(shù)．③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”．(4)分段函數(shù)的奇偶性判定分段函數(shù)應(yīng)分段討論，注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì)，要避免分段下結(jié)論，如典例1(3)只有得到當x≠0時都有f(－x)＝f(x)才能給出偶函數(shù)的結(jié)論．2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用技巧(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式．(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)表達式及奇偶性求參數(shù)常常采用待定系數(shù)法，利用f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于x的恒等式，由對應(yīng)項系數(shù)相等可得字母的值．(3)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．【易錯點睛】函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)，其定義中要求f(x)和f(－x)必須同時存在，所以函數(shù)定義域必須關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提．如果某一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，它一定是非奇非偶函數(shù)．誤區(qū)．不明分段函數(shù)奇偶性概念致錯【例1】（2014北京東城期末）判斷f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋3，x＜0，,3，x＝0，,－x2＋2x－3，x＞0，))的奇偶性．【錯解】當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函數(shù)．【剖析】漏x＝0情況．【正解】盡管對于定義域內(nèi)的每一個不為零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但當x＝0時，f(0)＝3≠－f(0)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．熱點三函數(shù)的周期性1．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）文科】x為實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)在上為（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù)2．【2014高考四川卷文第13題】設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當時，，則．3．【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國文科】設(shè)是以2為周期的函數(shù)，且當時，．【方法規(guī)律】1．(1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫f(x)的周期．如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫f(x)的最小正周期．(2)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函數(shù)的定義域無上、下界．2．函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論．設(shè)a是非零常數(shù)，若對f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)；③f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)；④f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期．(以上各式中分母均不為零)．【解題技巧】求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝eq\f(2π,|ω|)計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a．換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．熱點四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．【2014高考湖南卷文第4題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）2．【2014高考大綱卷文第12題】奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)=1，則f(8)+f(9)=（）A．－2B．－1C．0D．13．【2013年全國高考統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（文）卷】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）(A) (B) (C) (D)4．【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）理科】設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．若曲線上存在點使，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）5．【2014高考安徽卷文第14題】若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則．6．【2014高考全國2卷文第15題】偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，，則=________．【方法規(guī)律】1．解這類綜合題的一般方法在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖，根據(jù)簡圖進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問題變的直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了，對問題的解決有很大的幫助．（1）一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負號，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。唬?）畫函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點的位置，然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個定義域內(nèi)的圖象．2．函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性之間內(nèi)在聯(lián)系若函數(shù)有兩條對稱軸(或兩個對稱中心，或一對稱軸一對稱中心)，則該函數(shù)必是周期函數(shù)．特別地，有以下結(jié)論(其中a≠0)：若f(x)有對稱軸x＝a，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為2a；若f(x)有對稱軸x＝a，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為4a；若f(x)有對稱中心(a，0)，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為4a；若f(x)有對稱中心(a，0)，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為2a．【易錯點睛】誤區(qū)1．函數(shù)的性質(zhì)挖掘不全致誤【例1】奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對常數(shù)T＞0，恒有f(x＋T)＝f(x)，則在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個數(shù)至少有()A．3個B．4個C．5個D．6個【錯解】由f(x)是R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0?x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0?x2＝T，x3＝2T．即在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個數(shù)最小值為3個．【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－x＝－fx①,fx＝x＋T②))解時要把抽象性質(zhì)用足，不僅要充分利用各個函數(shù)方程，還要注意方程①和②互動．【正解】由方程①得f(0)＝0?x1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0?x2＝T，x3＝2T．又∵f(x－eq\f(T,2))＝f(x＋eq\f(T,2))，令x＝0得f(－eq\f(T,2))＝f(eq\f(T,2))．又f(－eq\f(T,2))＝－f(eq\f(T,2))，f(eq\f(T,2))＝0，x4＝eq\f(T,2)．再由②得f(eq\f(T,2)＋T)＝0?x5＝eq\f(3T,2)，故方程f(x)＝0至少有5個實數(shù)根．故選C．誤區(qū)2．忽視隱含條件的挖掘致誤【例2】（2014江蘇模擬）設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x＜0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R．若f(eq\f(1,2))＝f(eq\f(3,2))，則a＋3b的值為________．【錯解】因為f(x)的周期為2，所以f(eq\f(3,2))＝f(eq\f(3,2)－2)＝f(－eq\f(1,2))，即f(eq\f(1,2))＝f(－eq\f(1,2))．又因為f(－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2)a＋1，f(eq\f(1,2))＝eq\f(\f(b,2)＋2,\f(1,2)＋1)＝eq\f(b＋4,3)，所以－eq\f(1,2)a＋1＝eq\f(b＋4,3)，∴3a＋2b＝－2．【剖析】(1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，從而無法求出a、b的值．【正解】因為f(x)的周期為2，所以f(eq\f(3,2))＝f(eq\f(3,2)－2)＝f(－eq\f(1,2))，即f(eq\f(1,2))＝f(－eq\f(1,2))．又因為f(－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2)a＋1，f(eq\f(1,2))＝eq\f(\f(b,2)＋2,\f(1,2)＋1)＝eq\f(b＋4,3)，所以－eq\f(1,2)a＋1＝eq\f(b＋4,3)．整理，得a＝－eq\f(2,3)(b＋1)．①又因為f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，即b＝－2a． ②將②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10．【考點剖析】一．最新考試說明：1．理解函數(shù)的單調(diào)性，會討論和證明函數(shù)的單調(diào)性．2．理解函數(shù)的奇偶性，會判斷函數(shù)的奇偶性．3．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值．二．命題方向預(yù)測：1．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點．2．函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點．3．函數(shù)奇偶性的判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點解決相關(guān)問題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值等問題是重點，也是難點．3．題型以選擇題和填空題為主，函數(shù)性質(zhì)其他知識點交匯命題．三．課本結(jié)論總結(jié)：1．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．注意：確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法、性質(zhì)法等．2．若奇函數(shù)定義域中有0，則必有．即的定義域時，是為奇函數(shù)的必要非充分條件．對于偶函數(shù)而言有：．3．確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等．4．若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則可以表示為，該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和．5．既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集）．6．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點是：“同增異減”；復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”．復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化（即復(fù)合有意義）．7．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱．推廣一：如果函數(shù)對于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對稱．推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對稱．8．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱．推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱（由“和的一半確定”）．9．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點中心對稱．推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱．10．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．推廣：曲線關(guān)于直線的對稱曲線是；曲線關(guān)于直線的對稱曲線是．11．曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（逆時針橫變再交換）．特別：繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得．曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（順時針縱變再交換）．特別：繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得．12．類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為．若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為．如果函數(shù)的圖像有下一個對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為．如果是R上的周期函數(shù)，且一個周期為，那么．特別：若恒成立，則．若恒成立，則．若恒成立，則．如果是周期函數(shù)，那么的定義域“無界”．四、名師二級結(jié)論：一個防范函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)y＝eq\f(1,x)分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”連接．一條規(guī)律函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．注意：分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有當對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．兩個應(yīng)用1．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式．2．已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù)．常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值．三種方法判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法．判斷函數(shù)的奇偶性的三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法．在判斷函數(shù)是否具有奇偶性時，為了便于判斷，有時需要將函數(shù)進行化簡，或應(yīng)用定義的變通形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?eq\f(f(-x),f(x))＝±1，f(x)≠0．四條性質(zhì)1．若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0．2．設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性．4．若f(x)是偶函數(shù)，則有f(-x)＝f(x)＝f(|x|)．五、課本經(jīng)典習(xí)題：(1)新課標人教A版必修一第36頁練習(xí)第1（3）題判斷下列函數(shù)的奇偶性：．【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進行多角度變式．變式題：關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①其圖象關(guān)于軸對稱；②當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；③的最小值是；④在區(qū)間上是增函數(shù)；⑤無最大值，也無最小值．其中所有正確結(jié)論的序號是．解：為偶函數(shù)，故①正確；令，則當時，在上遞減，在上遞增，∴②⑤錯誤，③④正確，故選①③④．(2)新課標人教A版必修一第44頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題設(shè)，求證：（1）；（2）．【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進行改編、變式或拓展．改編：設(shè)定在R上的函數(shù)滿足：，則 ．解：由．得．由所求式子特征考查：．．(3)新課標人教A版必修一第83頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題對于函數(shù)．（1）探索函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)a使為奇函數(shù)？【經(jīng)典理由】典型的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，可以進行改編、變式或拓展．改編對于函數(shù)．（1）用定義證明：在R上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．證明：（1）設(shè)＜，則f（）-f（）=-=．∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)（2）∵是奇函數(shù)，∴f（0）=0?a=-1．（3）由（1）（2）可得在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．轉(zhuǎn)化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥}．(4)新課標人教A版必修一第83頁復(fù)習(xí)參考題B組第4題設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）．【經(jīng)典理由】典型的證明函數(shù)性質(zhì)題，可以進行改編、變式或拓展．改編1：設(shè)，給出如下結(jié)論：①對任意，有；②存在實數(shù)，使得；③不存在實數(shù)，使得；④對任意，有；其中所有正確結(jié)論的序號是 解：對于①：對于②：，即恒有；對于③：，故不存在，使對于④：，故正確的有①③④改編2：已知函數(shù)滿足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．解：，得，即，解得，，即得，參數(shù)分離得，因為（當且僅當，即時取等號，的解滿足），所以．六．考點交匯展示：(1)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點交匯例1．【2014高考湖北卷文第9題】已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的集合為（）A．B．C．D．(2)函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點交匯例2．【2014高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相同），則實數(shù)的取值范圍是．(3)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的交點問題例3．【穩(wěn)派2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】已知函數(shù)和都是定義在R上的偶函數(shù)，若時，，則為（）A．正數(shù)B．負數(shù)C．零D．不能確定【答案】A【解析】試題分析：∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴．又函數(shù)也是偶函數(shù)，∴函數(shù)既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，故有，．又當時，恒成立，故函數(shù)為增函數(shù)．又，則，故選A．考點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性．【考點特訓(xùn)】1．【山東省濟南市2013屆高三高考第一次模擬考試】“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．【山東省棗莊市2013屆高三第一次模擬考試】若既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)()A．既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù) B．既是周期函數(shù)，又是偶函數(shù)C．不是周期函數(shù)，但是奇函數(shù) D．不是周期函數(shù)，但是偶函數(shù)3．【山東省威海市2013屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則實數(shù)的值可以是()（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對稱，所以區(qū)間關(guān)于對稱，所以，即，所以選B．4．【安徽省皖南八校2013屆高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)且滿足，則的值為()A．0 B1 C．2 D．45．【湖北省黃岡市黃岡中學(xué)2013屆高三五月第二次模擬考試】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當時，，則方程在區(qū)間上的解的個數(shù)是（）A．8B．9C．10D．116．【2014合肥二模數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)，則（）A．2014B．C．2015D．【答案】D【解析】由題意，，故選D．【考點】分段函數(shù)的求值．7．【2014年皖北協(xié)作區(qū)高三年級聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，若，則8．【2014安徽江南十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)文）】已知函數(shù)，若有成立，則實數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．9．【2014安徽宿州高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)文】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1B．2C．0D．0或210．【北京市順義區(qū)2014屆高三第一次統(tǒng)考（文）】下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A．B．C．D．11．【浙江省“六市六?！甭?lián)盟2014屆高考模擬考試】已知，定義，其中，則等于（）A．B．C．D．【答案】B12．【2014年浙江省嘉興市2014屆高三3月教學(xué)測試（一）】若的圖像是中心對稱圖形，則()A．4B．C．2D．13．【上海市六校2014屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為（）（A）（B）（C）（D）考點：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．14．【河南省