2023屆河北省唐山市遵化市高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)點(diǎn),,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件2.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.23.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若,則直線的斜率為()A. B. C. D.4.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.已知集合,,則()A. B. C. D.6.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④7.棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點(diǎn)作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為()A. B. C. D.18.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.9.下列選項(xiàng)中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件10.已知函數(shù),,則的極大值點(diǎn)為()A. B. C. D.11.若集合,則=()A. B. C. D.12.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_____.14.高三(1)班共有56人,學(xué)號(hào)依次為1,2,3,…,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知學(xué)號(hào)為6,34,48的同學(xué)在樣本中,那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為.15.如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是棱靠近的三等分點(diǎn),且三棱錐的體積為2,則四棱柱的體積為______.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當(dāng)最大時(shí),三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.18.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn);②求證:對(duì)任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(12分)如圖,內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,平面ABC,,.(1)求證:平面ACD;(2)設(shè),表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.20.(12分)某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米.開發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè).(1)用表示線段并確定的范圍;(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng),求的最大值.21.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.22.(10分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間,對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄,得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時(shí)不超過(分鐘),則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn),,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長(zhǎng).【詳解】過作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標(biāo),然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,故,此時(shí),即.則直線的斜率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.4.D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長(zhǎng)為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.5.B【解析】

求出集合,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析,由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù),所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),,且存在,使.所以當(dāng)時(shí),;由于為偶函數(shù),所以時(shí),所以的最大值為,所以③錯(cuò)誤.依題意,,當(dāng)時(shí),,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述,正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.7.C【解析】

連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱C1D1于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng).【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱C1D1于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.8.D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.10.A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?,故可得,令,因?yàn)?,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點(diǎn)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),屬基礎(chǔ)題.11.C【解析】

求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.70【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。14.20【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組,每組14人,則1至14號(hào)為第一組,15至28號(hào)為第二組,29號(hào)至42號(hào)為第三組,43號(hào)至56號(hào)為第四組.而學(xué)號(hào)6,34,48分別是第一、三、四組的學(xué)號(hào),所以還有一個(gè)同學(xué)應(yīng)該是15+6-1=20號(hào),故答案為20.15.12【解析】

由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積,即可求解。【詳解】由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,則直四棱柱的體積為,又由三棱錐的體積為,解得,即直四棱柱的體積為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計(jì)算問題,其中解答中正確認(rèn)識(shí)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,以及空間想象能力,屬于中檔試題。16.4【解析】設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號(hào),即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,分離參數(shù)只需時(shí),恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)?,,所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因?yàn)?,所以,從而,所?令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.18.(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明見解析;(2)且;【解析】

(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可;②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,則切線在點(diǎn)切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時(shí),故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時(shí),遞減,故當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時(shí),則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時(shí),,故在遞減,可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時(shí),,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時(shí),,遞增,不合題意;③當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,遞減,當(dāng)時(shí),,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19.(1)見解析(2),最大值.【解析】

(1)先證明,,故平面ADC.由,即得證;(2)可證明平面ABC,結(jié)合條件表示出,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圓O的直徑,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),∴當(dāng)時(shí),體積有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.20.(1),;(2)米.【解析】

(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解:過點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因?yàn)?化簡(jiǎn)得,令,,且,因?yàn)?故令即,記,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),的最大值為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)

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