點線面練習教材

評卷人得分一、簡答題（每空？分，共？分）1、如圖所示，在四棱錐中，，∥且，，點為線段的中點,若，與平面所成角的大小為.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.2、

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2．

（I）求證：AB1∥平面BC1D;

（Ⅱ）若四棱錐B－AA1C1D的體積為3，求二面角C－BCl－D的正切值．13、如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D為AB的中點．（Ⅰ）求證AC⊥BC1；（Ⅱ）求證AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．4、如圖，多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點．（1）求證：MN∥平面CDEF；（2）求多面體A﹣CDEF的體積；（3）求證：CE⊥AF．5、

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中點，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=.（Ⅰ）求證：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求證：PE⊥平面ABCD；

(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值.6、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AC=BC，點D是AB的中點．（Ⅰ）求證：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB1=，求三棱錐B1﹣A1DC的體積．7、如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．（Ⅰ）若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．8、在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E為BB1中點．（Ⅰ）證明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求DE與平面AD1E所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD上是否存在一點P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的長；若不存在，說明理由．9、如圖，在三棱臺DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．（Ⅰ）求證：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大?。?0、已知正方形，分別是邊的中點，將沿折起，如圖所示，（1）證明平面；（2）若為正三角形，求二面角的余弦值．

11、如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，.(1)證明：；(2)若，，,求二面角的余弦值.12、如圖所示，在四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC＝CD＝1.(Ⅰ)求證：平面ACD⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角C－AB－D的大??；(III)若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．評卷人得分二、綜合題（每空？分，共？分）13、如圖，已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4，側(cè)棱長為8，E、F分別為PB、PC上的動點，求截面周長的最小值，并求出此時三棱錐P-AEF的體積.

評卷人得分三、選擇題（每空？分，共？分）14、已知正四棱柱中,,則與平面所成角的正弦值等于（）A．

B．

C．

D．15、下面四個命題：①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，則a∥c．其中真命題的個數(shù)為（）A．4

B．3

C．2

D．1評卷人得分四、填空題（每空？分，共？分）16、關(guān)于直線與平面，有以下四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中正確命題的序號是

。（把你認為正確命題的序號都填上）17、設(shè)m，n為空間的兩條直線，，β為空間的兩個平面，給出下列命題：（1）若m∥，m∥β，則∥β；

（2）若m⊥，m⊥β，則∥β；（3）若m∥，n∥，則m∥n；

（4）若m⊥，n⊥，則m∥n．上述命題中，所有真命題的序號是

．18、三棱錐P－ABC的兩側(cè)面PAB、PBC都是邊長為2的正三角形，AC＝，則二面角A－PB－C的大小為________．評卷人得分五、計算題（每空？分，共？分）19、如圖所示，已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求四棱錐的體積。

20、如圖，在三棱柱中，⊥，⊥，，為的中點，且⊥.(1)求證：⊥平面；(2)求三棱錐的體積.一、簡答題1、

解：（1）證明：，，

又中，，點為線段的中點，

（2），又，，連結(jié)，可得是與平面所成角，又與平面所成角的大小為，，在中，，.分2、

3、【考點】用空間向量求直線間的夾角、距離；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【專題】計算題；證明題．【分析】解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判斷出AC⊥BC，同時因為三棱柱為直三棱柱，從而證出．（2）：因為D為AB的中點，連接C1B和CB1交點為E，連接DE，∵D是AB的中點，E是BC1的中點，根據(jù)三角形中位線定理得DE∥AC1，得到AC1∥平面CDB1；第三問：因為AC1∥DE，所以∠CED為AC1與B1C所成的角，求出此角即可．解法二：利用空間向量法．如圖建立坐標系，（1）：證得向量點積為零即得垂直．（2）：=λ，與兩個向量或者共線或者平行可得．第三問：【解答】證明：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴AC⊥BC1；（Ⅱ）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連接DE，∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE∥AC1，∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）∵DE∥AC1，∴∠CED為AC1與B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴cos∠CED==，∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．解法二：∵直三棱錐ABC﹣A1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖建立坐標系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（﹣3，0，0），=（0，4，4），∴?=0，∴⊥．（Ⅱ）設(shè)CB1與C1B的交點為E，則E（0，2，2）∵=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），∴=，∴∥∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）∵=（﹣3，0，4），=（0，4，4），∴cos＜，＞==，∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為．【點評】本題考查向量的幾何意義a?b=|a||b|cosα；向量垂直?a?b=0；直線與平面的證明方法．4、【考點】直線與平面平行的判定；由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）由多面體AEDBFC的三視圖知，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形，由三角形中位線的性質(zhì)得：MN∥EC，從而證得MN∥平面CDEF．（2）先證四邊形CDEF是矩形，利用面面垂直的性質(zhì)證明并求出棱錐的高，代入體積公式計算棱錐的體積．（3）由BC⊥平面ABEF，證明BC⊥AF，面ABFE是正方形，證得EB⊥AF，進而AF⊥面BCE，結(jié)論得證．【解答】證明：（1）：由多面體AEDBFC的三視圖知，三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．連接EB，則M是EB的中點，在△EBC中，MN∥EC，且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，∴MN∥平面CDEF．（2）因為DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，∴四邊形CDEF是矩形，且側(cè)面CDEF⊥平面DAE取DE的中點H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴，且AH⊥平面CDEF．所以多面體A﹣CDEF的體積．（3）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AF，∵面ABFE是正方形，∴EB⊥AF，∴AF⊥面BCE，∴CE⊥AF．【點評】本題考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，利用三視圖求面積和體積．5、【考點】平面法向量的求法空間的角垂直平行【試題解析】解：（Ⅰ）取的中點，連接，因為是中點，是中點，所以，又因為，所以四邊形是平行四變形面，面所以面

（Ⅱ）連接，因為在中，，點是邊在的中點，所以且，在中，，，所以在中，，，，所以又因為面，面所以面

（Ⅲ）取中點，以，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，各點坐標為：，，，，因為：，所以面面的法向量為設(shè)面的法向量為，由圖可知二面角為銳二面角，設(shè)銳二面角為二面角余弦值為：

【答案】見解析6、【考點】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）連接AC1交A1C于點E，連接DE，只要證明DE∥BC1；（2）求出CD⊥面AA1B1B，得到CD是棱錐的高，利用棱錐的體積公式解答．【解答】（Ⅰ）證明：連接AC1交A1C于點E，連接DE因為四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點又D是AB的中點，DE∥BC1，又DE?面CA1D，BC1?面CA1D，所以BC1∥面CA1D；（2）解：AC=BC，D是AB的中點，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD?面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD?面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B所以CD是三棱錐B1﹣A1DC的高，又=，所以=×AD==1；【點評】本題考查了三棱柱中線面平行的判斷以及棱錐的體積的求法，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線線平行的判斷以及棱錐的高的求法．7、【考點】平面與平面垂直的判定．【專題】作圖題；證明題；綜合題；探究型；轉(zhuǎn)化思想．【分析】法一（Ⅰ）D為AA1中點，推出平面B1CD內(nèi)的直線CD，垂直平面B1C1D內(nèi)的兩條相交直線DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D，即可得到平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）在平面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB1，則EB1⊥CD，可得∠B1EC1為二面角B1﹣CD﹣C1的平面角，設(shè)AD=x，△DCC1的面積為1求出x，在AA1上存在一點D滿足題意．法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標系．計算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．（Ⅱ）設(shè)AD=a，則D點坐標為（1，0，a），通過計算求出a，即可說明在AA1上存在一點D滿足題意．【解答】解法一：（Ⅰ）證明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°∴B1C1⊥A1C1又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1．∴B1C1⊥CD由AA1=BC=2AC=2，D為AA1中點，可知，∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D又CD?平面B1CD故平面B1CD⊥平面B1C1D（Ⅱ）解：當時二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．假設(shè)在AA1上存在一點D滿足題意，由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．如圖，在平面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB1，則EB1⊥CD所以∠B1EC1為二面角B1﹣CD﹣C1的平面角∴∠B1EC1=60°由B1C1=2知，設(shè)AD=x，則∵△DCC1的面積為1∴解得，即∴在AA1上存在一點D滿足題意解法二：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．則C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．即由得由得又DC1∩C1B=C1∴CD⊥平面B1C1D又CD?平面B1CD∴平面B1CD⊥平面B1C1D（Ⅱ）當時二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．設(shè)AD=a，則D點坐標為（1，0，a），設(shè)平面B1CD的法向量為則由令z=﹣1得又∵為平面C1CD的法向量則由解得，故．∴在AA1上存在一點D滿足題意【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力、計算能力，是中檔題．8、【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（I）利用線面垂直的判定定理，證明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，確定面AD1E的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DE與平面AD1E所成角的正弦值；（Ⅲ）利用BP∥平面AD1E，可得，利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：連接BD∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，∴D1D⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分在長方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分而D1E?平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），∴…5分設(shè)平面AD1E的法向量為，則，即令z=1，則…7分

∴…8分∴DE與平面AD1E所成角的正弦值為…9分（Ⅲ）解：假設(shè)在棱AD上存在一點P，使得BP∥平面AD1E．設(shè)P的坐標為（t，0，0）（0≤t≤1），則∵BP∥平面AD1E∴，即，∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分∴在棱AD上存在一點P，使得BP∥平面AD1E，此時DP的長．…13分．【點評】本題考查線面垂直，考查線面角，考查線面平行，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9、解：（Ⅰ）證明：根據(jù)已知條件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四邊形EFHB為平行四邊形；∴BE∥HF，HF?平面FGH，BE?平面FGH；∴BE∥平面FGH；同樣，因為GH為△ABC中位線，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD?平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）連接HE，則HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)HC=1，則：H（0，0，0），G（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），B（﹣1，0，0）；連接BG，根據(jù)已知條件BA=BC，G為AC中點；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG?平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量為平面ACFD的法向量；設(shè)平面FGH的法向量為，則：，取z=1，則：；設(shè)平面FGH和平面ACFD所成的銳二面角為θ，則：cosθ=|cos|=；∴平面FGH與平面ACFD所成的角為60°．10、（1）證明：、分別是正方形的邊、的中點.且四邊形是平行四邊形平面而平面平面………………6分（2）過點用平面垂足為連接為正三角形在的垂直平分線上。又是的垂直平分線點在平面內(nèi)的射影在直線上過作，垂足為，連接則是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，為直角三角形，在中，………………15分11、

(Ⅰ)連結(jié)，交于，連結(jié)．因為側(cè)面為菱形，所以，且為與的中點．又，所以平面，故又

，故

………4分（Ⅱ）因為且為的中點，所以

又因為，所以.故，從而,兩兩互相垂直．

以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示空間直角坐標系．

因為，所以為等邊三角形．又，則，，，，

設(shè)是平面的法向量，則，

即

所以可取設(shè)是平面的法向量，則，

同理可取則，所以二面角的余弦值為.

12分12、解：解法一：(1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.∴二面角C－AB－D的大小為45°.(3)過點B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH.∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°.在Rt△BHD中，BD＝，∴BH＝.又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1.解法二：(1)同解法一．(2)設(shè)AB＝a，建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，則B(0,0,0)、A(0,0，a)、C(0,1,0)、D(1,1,0)，＝(1,1,0)、＝(0,0，a)．平面ABC的法向量＝(1,0,0)，設(shè)平面ABD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則有·n＝x＋y＝0，·n＝az＝0，∴z＝0，取y＝1，則x＝－1，∴n＝(－1,1,0)．∴cos〈，n〉＝＝－，由圖可知二面角C－AB－D為銳角，∴二面角C－AB－D的大小為45°.(3)＝(0,1，－a)、＝(1,0,0)、＝(1,1,0)．設(shè)平面ACD的一個法向量是m＝(x′，y′，z′)，則·m＝y(tǒng)′－az′＝0，·m＝x′＝0，令z′＝1，∴y′＝a，則m＝(0，a,1)．∵直線BD與平面ACD所成角為30°，∴cos〈，m〉＝＝＝cos60°，解得a＝1，∴AB＝1.二、綜合題13、解析：如圖，沿側(cè)棱剪開，得到正三棱錐的側(cè)面展開圖，則的長為的周長的最小值。由平面幾何知識可證≌，于是，又，故.因為，所以∽，所以，所以，.由有，所以，所以，所以周長的最小值是11，此時，即分別在的四等分點處.取BC中點G，連AG、PG，過P作，垂足為O，則，過A作，垂足為H，則.在中，，在中，，又，所以由等積原理可得，由于E、F是PB、PC的四等分點，所以，所以

三、選擇題14、A15、D【考點】命題的真假判斷與應用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；③由異面直線所成的角的定義知③正確；④若a⊥b，