著名不等式公式 - 副本

三角形內(nèi)角的嵌入不等式三角形內(nèi)角的嵌入不等式，在不至于引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個三角形的三個內(nèi)角，則對任意實數(shù)x、y、z，有：算術(shù)-幾何平均值不等式在數(shù)學(xué)中，算術(shù)-幾何平均值不等式是一個常見而基本的不等式，表現(xiàn)了兩類平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間恒定的不等關(guān)系。設(shè)為n個正實數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)是，它們的幾何平均數(shù)是。算術(shù)-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數(shù)，總有：等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。算術(shù)-幾何平均值不等式僅適用于正實數(shù)，是對數(shù)函數(shù)之凹性的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程科學(xué)以及經(jīng)濟學(xué)等其它學(xué)科都有應(yīng)用。算術(shù)-幾何平均值不等式經(jīng)常被簡稱為平均值不等式（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。例子在n=4的情況，設(shè):，那么.可見。歷史上的證明歷史上，算術(shù)-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n=2的情況很早就為人所知，但對于一般的n，不等式并不容易證明。1729年，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調(diào)整法，然而這個證明并不嚴謹，是錯誤的?？挛鞯淖C明1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西在他的著作《分析教程》中給出了一個使用逆向歸納法的證明[1]：命題Pn：對任意的n個正實數(shù)，1.當(dāng)n=2時，P2顯然成立。2.假設(shè)Pn成立，那么P2n成立。證明：對于2n個正實數(shù)，3.假設(shè)Pn成立，那么Pn?1成立。證明：對于n-1個正實數(shù)，設(shè)，，那么由于Pn成立，。但是，，因此上式正好變成綜合以上三點，就可以得到結(jié)論：對任意的自然數(shù)，命題Pn都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數(shù)k，命題都成立。因此對任意的，可以先找k使得，再結(jié)合第三條就可以得到命題Pn成立了。歸納法的證明使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有喬治·克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代數(shù)論》（algebra）的第二卷中給出的[2]：由對稱性不妨設(shè)xn+1是中最大的，由于，設(shè)，則，并且有。根據(jù)二項式定理，于是完成了從n到n+1的證明。此外還有更簡潔的歸納法證明[3]：在n的情況下有不等式和成立，于是：所以，從而有?；谇偕坏仁降淖C明注意到幾何平均數(shù)實際上等于，因此算術(shù)-幾何平均不等式等價于：。由于對數(shù)函數(shù)是一個凹函數(shù)，由琴生不等式可知上式成立。

此外還有基于排序不等式、伯努利不等式或借助調(diào)整法、輔助函數(shù)求導(dǎo)和加強命題的證明。推廣算術(shù)-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式不僅“均勻”的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有不等式，加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間也有不等式。設(shè)和為正實數(shù)，并且，那么：。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩陣形式算術(shù)-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數(shù)的平均數(shù)不等式。對于二維的矩陣，一樣有類似的不等式：對于系數(shù)都是正實數(shù)的矩陣設(shè)，，那么有：也就是說：對k個縱列取算術(shù)平均數(shù)，它們的幾何平均大于等于對n個橫行取的n個幾何平均數(shù)的算術(shù)平均。極限形式也稱為積分形式：對任意在區(qū)間[0,1]上可積的正值函數(shù)f，都有這實際上是在算術(shù)-幾何平均值不等式取成后，將兩邊的黎曼和中的n趨于無窮大后得到的形式。伯努利不等式數(shù)學(xué)中的伯努利不等式是說：對任意整數(shù)，和任意實數(shù)，；如果是偶數(shù)，則不等式對任意實數(shù)x成立?？梢钥吹皆趎=0,1，或x=0時等號成立，而對任意正整數(shù)和任意實數(shù)，，有嚴格不等式：。伯努利不等式經(jīng)常用作證明其他不等式的關(guān)鍵步驟。[編輯]證明和推廣伯努利不等式可以用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=0,1，不等式明顯成立。假設(shè)不等式對正整數(shù)n，實數(shù)時成立，那么。下面是推廣到實數(shù)冪的版本：如果x>?1，那么：若或，有；若，有。這不等式可以用導(dǎo)數(shù)比較來證明：當(dāng)r=0,1時，等式顯然成立。在上定義f(x)=(1+x)r?(1+rx)，其中，對x微分得f'(x)=r(1+x)r?1?r，則f'(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0。分情況討論：0<r<1，則對x>0，f'(x)<0；對?1<x<0，f'(x)>0。因此f(x)在x=0時取最大值0，故得。r<0或r>1，則對x>0，f'(x)>0；對?1<x<0，f'(x)<0。因此f(x)在x=0時取最小值0，故得。在這兩種情況，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0。[編輯]相關(guān)不等式下述不等式從另一邊估計(1+x)r：對任意x,r>0，都有。佩多不等式幾何學(xué)的佩多不等式，是關(guān)連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(DonPedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那么：，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)兩個三角形為一對相似三角形，對應(yīng)邊成比例；

也就是a/A=b/B=c/C。[編輯]證明由海倫公式，兩個三角形的面積可用邊長表示為16f2=(a+b+c)(a+b?c)(a?b+c)(b+c?a)=(a2+b2+c2)2?2(a4+b4+c4)16F2=(A+B+C)(A+B?C)(A?B+C)(B+C?A)=(A2+B2+C2)2?2(A4+B4+C4),再由柯西不等式，16Ff+2a2A2+2b2B2+2c2C2=(a2+b2+c2)(A2+B2+C2)于是，=A2(b2+c2?a2)+B2(a2+c2?b2)+C2(a2+b2?c2)，命題得證。等號成立當(dāng)且僅當(dāng),也就是說兩個三角形相似。

ABC是第一個三角形，A'B'C'是取相似后的第二個三角形，BC與B'C'重合幾何證法三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個系數(shù)λ2，使得λA=a，幾何意義是將第二個三角形取相似（如右圖）。設(shè)這時A、B、C變成x、y、z，F(xiàn)變成F'?？紤]AA'的長度。由余弦公式，將,代入就變成：兩邊化簡后同時乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A與A'重合，即兩個三角形相似。內(nèi)斯比特不等式內(nèi)斯比特不等式是數(shù)學(xué)的一條不等式，它說對任何正實數(shù)a，b，c，都有：[編輯]證明此不等式證明方法很多，例如從平均數(shù)不等式我們有：，移項得出：，整理左式：，。因而不等式得證。埃爾德什－莫德爾不等式如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點O到三個頂點的距離之和（綠色線段）大于到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍在幾何學(xué)中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀(jì)初期發(fā)現(xiàn)的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對于任何三角形ABC和其內(nèi)部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小于或等于點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學(xué)中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大于等于內(nèi)切圓半徑的兩倍。[編輯]歷史該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數(shù)學(xué)月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之后，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明[1]。之后不斷有更簡潔、更基本的證明出現(xiàn)。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現(xiàn)了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發(fā)現(xiàn)了根據(jù)托勒密定理的證明。[編輯]證明如右圖，O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊于D、E、F。設(shè)線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r，那么埃爾德什-莫德爾不等式為：一個初等的證明方式是使用三角函數(shù)以及均值不等式。首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四點共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點A對應(yīng)的內(nèi)角）。過點F、E作關(guān)于BC的垂線交BC于X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，，。于是：另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的長度大于等于直角腰UV。因此：類似地，還有：，三式相加，得到：根據(jù)均值不等式，，等等，于是最終得到：這就是埃爾德什-莫德爾不等式。外森比克不等式設(shè)三角形的邊長為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式（Weitzenb?ck'sinequality）成立。當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形，等號成立。HYPERLINK"/zh-c